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文档简介
问题的提出▶设向量值函数F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j在平面区域D
上连续,A
和B
是D
中两点▶对于从A
到B
的有向曲线Γ,第二类曲线积分∫Pdx
+Qdy
通常与积分路径Γ有关。Γ问题:▶对哪些向量值函数F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j?第二类曲线积分与路径无关,只与路径的起点和终点有关,即,任意的两条从A
到B
的有向曲线Γ1
和Γ2,有∫
∫Pdx
+
Qdy=
Pdx
+
QdyΓ1
Γ22
/
23问题的提出实例▶设原点处一电量为q
的电荷,产生静电场.▶由Coulomb
定律,该静电场在点(x,y,z)的电场强度为E
=
q
r
,4πε
∥r∥3√其中
r
=
(x,
y,
z)
且
∥r∥
=
x2
+
y2
+
z2
.▶另一单位电荷在电场中从A点移动到B点,电场力所做的功与路径无关。3
/
23与路径无关的第二类曲线积分定理设D
是平面区域(未必单连通),函数P(x,y)和Q(x,y)在D
上有定义。4
/
23则第二类曲线积分∫Pdx
+Qdy
与路径Γ无关的充要条件是Γ存在D
上的函数u(x,y)使得∇u
=(P,Q),或等价地du
=Pdx
+Qdy.5
/
23保守场与势函数▶保守场:设F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j是平面区域D上的向量值函数,若存在D
上的函数u,使得F
=∇u,则称F(x,y)是区域D
上的保守场。▶势函数函数u(x,y)称为保守场F(x,y)的一个势函数。6
/
23术语:数学中的场▶数量场:数值函数▶向量场:
向量值函数7
/
23保守场与势函数▶保守场F(x,y)的势函数不唯一,不同的势函数之间相差一常数。▶设u(x,y)是保守场F(x,y)=P(x,y)i
+Q(x,y)j的势函数。给定区域D
中的两点A(a1,a2)和B(b1,b2),对于D
中任意∫从A
到B
的曲线ΓAPdx
+
Qdy=
u|B
:=
u(B
)
−
u(A).Γ(第二类曲线积分的Newton-Leibniz
公式)▶势函数u(x,y)可以理解为保守场F(x,y)对应于第二类曲线积分的原函数。8
/
23保守场与势函数▶因为保守场F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j
的第二类曲线积分与路径无关。因此,对于D
中从A
到B
的曲线Γ,也可将第二类曲线积分写为∫
BA∫Pdx
+
Qdy
:=
Pdx
+
Qdy.Γ保守场例设函数f
(t)连续,判断向量场F(x,
y)
=
f
(x
+
y)(i
+
j)是否为保守场。利用定义判断向量场是否为保守场需找到它的势函数u,这通常比较
,因此有必要寻找更为直接的保守场判别法。9
/
23单连通域上保守场的判别定理10
/
23f设D是平面上的一个单连通开区域,函数P(x,y),Q(x,y)在D上连续且有连续的一阶偏导函数.则下列四个命题等价:(1)
对于D
中的任意闭曲线Γ,P
dx
+Qdy
=0.Γ∫第二类曲线积分
Pdx
+
Qdy
与
D
内的积分路径Γ无关,Γ只与Γ的起点和终点有关。存在D
上的函数u(x,y),使得∇u
=(P,Q),或等价地,du
=
Pdx
+
Qdy.∂y
∂x(4)
在D
内,有∂P
=∂Q
.单连通域上保守场的判别例11
/
23设曲线积分∫xy2
dx
+yφ(x)dy
与路径无关,Γ其中φ(x)有连续的导数且φ(0)=0。计算∫
(1,1)xy2
dx
+
yφ(x)dy.(0,0)利用保守场简化曲线积分的计算例设Γ为参数曲线x
=
a(t−
sin
t),
y
=
a(1
−
cos
t),
0
⩽
t
⩽
2π.曲线方向为参数增加的方向。计算第二类曲线积分∫(cos(x
+
y2
)d
x
+2y
cos(x
+
y2)
−
√11
+
y412
/
23)dy.Γ因为保守场的第二类曲线积分与路径无关,计算保守场的第二类曲线积分时可重新选取适当的积分路径。利用保守场简化曲线积分的计算例2设Γ为曲线y
=cos
x
从A(−π,0)到B(π,0)的一段,求13
/
23∫Γ−ydx
+
xdy
x2
+
4y2.计算保守场的第二类曲线积分时可更换积分路径,但需注意:新的积分路径和原积分路径所围的区域上不能有向量场的奇点。14
/
23势函数的求法I:取特殊的积分路径▶若F(x,y)=P(x,y)i
+Q(x,y)j
为区域D
上的保守场。▶取定D
内一点(a,b),则函数(变上限的曲线积分)∫
(x,y)u(x,
y)
:=
P(ξ,
η)dξ
+
Q(ξ,
η)dη,
(x,
y)
∈
D,(a,b)是保守场F(x,y)的一个势函数。▶其中(x,y)是D
内的动点,积分路径为D
中任意从(a,b)到(x,y)的曲线。▶保守场F(x,y)的任意势函数为u(x,y)+C,C
为常数。▶势函数可通过取特殊的积分路径做第二类曲线积分求出。势函数的求法I:取特殊的积分路径例判断向量场(ey
+x)i
+(xey
−2y)j是否为保守场。若为保守场,求出其势函数。写势函数时, 记
+C.15
/
2316
/
23势函数的求法II:凑微分▶函数u(x,y)是保守场P(x,y)i
+Q(x,y)j
当且仅当du
=
Pdx
+
Qdy.▶利用微分的基本公式和性质将Pdx
+Qdy
凑成全微分du,则保守场P(x,y)i
+Q(x,y)j
的势函数为u(x,y)+C.▶常用的凑微分d(xy)
=
ydx
+
xdy.d(
x
)yydx
−
xdy
y2=.势函数的求法II:凑微分例▶求保守场(ey
+x)i+(xey
−2y)j
的势函数。▶求保守场(x2
+x3
+y)i
+(1+x)j
的势函数。例设D
是xOy
平面上除y
的负半轴和原点外的开区域,验证xdx
+
ydyx2
+
y2是某个函数u(x,y)的全微分,并求出其原函数。17
/
23势函数的求法II:凑微分例设f
(x)在(−∞,∞)有连续的导数,Γ是从A
(3,2
)到B(1,2)的直线段。3计算曲线积分∫Γy1
+
y2f
(xy)
dx
+18
/
23x
(y2)y2
f
(xy)
−
1
dy.势函数的求法III:偏积分▶函数u(x,y)是保守场P(x,y)i+Q(x,y)j的势函数当且仅当∇u
=(P,Q),即,∂u
∂u∂x
=
P,
∂y
=
Q.19
/
23▶令∫u(x,
y)
=
P(x,
y)dx+
φ(y).其中φ(y)为y
的函数(待定),与x
无关。∂x▶此时,u
满足∂u
=P。势函数的求法III:偏积分∂y▶由∂u
=Q,可得Q(x,
y)
==∂u
∂
∫∂y
∂yP(x,
y)dx
+
φ′
(y).由此可解出∂
∫∂y20
/
23∫
()φ(y)
=Q(x,
y)
−P(x,
y)dx
dy
+
C.势函数的求法III:偏积分▶保守场P(x,y)i+Q(x,y)j
的势函数为∫u
=
P(x,
y)dx
+
φ(y).其中,∫
(∂
∫∂y21
/
23)φ(y)
=Q(x,
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