数学分析下课件-第九章

问题的提出▶设向量值函数F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j在平面区域D

上连续，A

和B

是D

中两点▶对于从A

到B

的有向曲线Γ，第二类曲线积分∫Pdx

+Qdy

通常与积分路径Γ有关。Γ问题：▶对哪些向量值函数F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j？第二类曲线积分与路径无关，只与路径的起点和终点有关，即，任意的两条从A

到B

的有向曲线Γ1

和Γ2，有∫

∫Pdx

+

Qdy=

Pdx

+

QdyΓ1

Γ22

/

23问题的提出实例▶设原点处一电量为q

的电荷，产生静电场.▶由Coulomb

定律，该静电场在点(x,y,z)的电场强度为E

=

q

r

,4πε

∥r∥3√其中

r

=

(x,

y,

z)

且

∥r∥

=

x2

+

y2

+

z2

.▶另一单位电荷在电场中从A点移动到B点，电场力所做的功与路径无关。3

/

23与路径无关的第二类曲线积分定理设D

是平面区域（未必单连通），函数P(x,y)和Q(x,y)在D

上有定义。4

/

23则第二类曲线积分∫Pdx

+Qdy

与路径Γ无关的充要条件是Γ存在D

上的函数u(x,y)使得∇u

=(P,Q),或等价地du

=Pdx

+Qdy.5

/

23保守场与势函数▶保守场：设F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j是平面区域D上的向量值函数，若存在D

上的函数u，使得F

=∇u，则称F(x,y)是区域D

上的保守场。▶势函数函数u(x,y)称为保守场F(x,y)的一个势函数。6

/

23术语：数学中的场▶数量场：数值函数▶向量场：

向量值函数7

/

23保守场与势函数▶保守场F(x,y)的势函数不唯一，不同的势函数之间相差一常数。▶设u(x,y)是保守场F(x,y)=P(x,y)i

+Q(x,y)j的势函数。给定区域D

中的两点A(a1,a2)和B(b1,b2)，对于D

中任意∫从A

到B

的曲线ΓAPdx

+

Qdy=

u|B

:=

u(B

)

−

u(A).Γ（第二类曲线积分的Newton-Leibniz

公式）▶势函数u(x,y)可以理解为保守场F(x,y)对应于第二类曲线积分的原函数。8

/

23保守场与势函数▶因为保守场F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j

的第二类曲线积分与路径无关。因此，对于D

中从A

到B

的曲线Γ，也可将第二类曲线积分写为∫

BA∫Pdx

+

Qdy

:=

Pdx

+

Qdy.Γ保守场例设函数f

(t)连续，判断向量场F(x,

y)

=

f

(x

+

y)(i

+

j)是否为保守场。利用定义判断向量场是否为保守场需找到它的势函数u，这通常比较

，因此有必要寻找更为直接的保守场判别法。9

/

23单连通域上保守场的判别定理10

/

23f设D是平面上的一个单连通开区域，函数P(x,y),Q(x,y)在D上连续且有连续的一阶偏导函数.则下列四个命题等价：(1)

对于D

中的任意闭曲线Γ，P

dx

+Qdy

=0.Γ∫第二类曲线积分

Pdx

+

Qdy

与

D

内的积分路径Γ无关，Γ只与Γ的起点和终点有关。存在D

上的函数u(x,y)，使得∇u

=(P,Q)，或等价地，du

=

Pdx

+

Qdy.∂y

∂x(4)

在D

内，有∂P

=∂Q

.单连通域上保守场的判别例11

/

23设曲线积分∫xy2

dx

+yφ(x)dy

与路径无关，Γ其中φ(x)有连续的导数且φ(0)=0。计算∫

(1,1)xy2

dx

+

yφ(x)dy.(0,0)利用保守场简化曲线积分的计算例设Γ为参数曲线x

=

a(t−

sin

t),

y

=

a(1

−

cos

t),

0

⩽

t

⩽

2π.曲线方向为参数增加的方向。计算第二类曲线积分∫(cos(x

+

y2

)d

x

+2y

cos(x

+

y2)

−

√11

+

y412

/

23)dy.Γ因为保守场的第二类曲线积分与路径无关，计算保守场的第二类曲线积分时可重新选取适当的积分路径。利用保守场简化曲线积分的计算例2设Γ为曲线y

=cos

x

从A(−π,0)到B(π,0)的一段，求13

/

23∫Γ−ydx

+

xdy

x2

+

4y2.计算保守场的第二类曲线积分时可更换积分路径，但需注意：新的积分路径和原积分路径所围的区域上不能有向量场的奇点。14

/

23势函数的求法I：取特殊的积分路径▶若F(x,y)=P(x,y)i

+Q(x,y)j

为区域D

上的保守场。▶取定D

内一点(a,b)，则函数（变上限的曲线积分）∫

(x,y)u(x,

y)

:=

P(ξ,

η)dξ

+

Q(ξ,

η)dη,

(x,

y)

∈

D,(a,b)是保守场F(x,y)的一个势函数。▶其中(x,y)是D

内的动点，积分路径为D

中任意从(a,b)到(x,y)的曲线。▶保守场F(x,y)的任意势函数为u(x,y)+C，C

为常数。▶势函数可通过取特殊的积分路径做第二类曲线积分求出。势函数的求法I：取特殊的积分路径例判断向量场(ey

+x)i

+(xey

−2y)j是否为保守场。若为保守场，求出其势函数。写势函数时， 记

+C.15

/

2316

/

23势函数的求法II：凑微分▶函数u(x,y)是保守场P(x,y)i

+Q(x,y)j

当且仅当du

=

Pdx

+

Qdy.▶利用微分的基本公式和性质将Pdx

+Qdy

凑成全微分du，则保守场P(x,y)i

+Q(x,y)j

的势函数为u(x,y)+C.▶常用的凑微分d(xy)

=

ydx

+

xdy.d(

x

)yydx

−

xdy

y2=.势函数的求法II：凑微分例▶求保守场(ey

+x)i+(xey

−2y)j

的势函数。▶求保守场(x2

+x3

+y)i

+(1+x)j

的势函数。例设D

是xOy

平面上除y

的负半轴和原点外的开区域，验证xdx

+

ydyx2

+

y2是某个函数u(x,y)的全微分，并求出其原函数。17

/

23势函数的求法II：凑微分例设f

(x)在(−∞,∞)有连续的导数，Γ是从A

(3,2

)到B(1,2)的直线段。3计算曲线积分∫Γy1

+

y2f

(xy)

dx

+18

/

23x

(y2)y2

f

(xy)

−

1

dy.势函数的求法III：偏积分▶函数u(x,y)是保守场P(x,y)i+Q(x,y)j的势函数当且仅当∇u

=(P,Q)，即，∂u

∂u∂x

=

P,

∂y

=

Q.19

/

23▶令∫u(x,

y)

=

P(x,

y)dx+

φ(y).其中φ(y)为y

的函数（待定），与x

无关。∂x▶此时，u

满足∂u

=P。势函数的求法III：偏积分∂y▶由∂u

=Q，可得Q(x,

y)

==∂u

∂

∫∂y

∂yP(x,

y)dx

+

φ′

(y).由此可解出∂

∫∂y20

/

23∫

()φ(y)

=Q(x,

y)

−P(x,

y)dx

dy

+

C.势函数的求法III：偏积分▶保守场P(x,y)i+Q(x,y)j

的势函数为∫u

=

P(x,

y)dx

+

φ(y).其中，∫

(∂

∫∂y21

/

23)φ(y)

=Q(x,