指数函数-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2指数函数4.2.1指数函数的概念

上一章我们学习了函数的概念和基本性质，并通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法。今天，我们继续来研究另一类很重要的基本初等函数——指数函数。首先我们来看几个情境实例。情境设置问题1

随着中国经济的高速增长，旅游人数不断增加，A、B两个景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了门票价格，B地则取消了门票.下

表给了A、B两个景区2001~2015年的游客人次及逐年增加量.

比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？A地区经营地比较平衡，B地区发展比较快.为了便于观察，我们把表格中的数据画成图像：B景区的游客人次是非线性增长，年增加量越来越大，难从图像和年增加量都难看出变化规律。观察图像和表格，可以发现：A景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万人次)；探究我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.那么能否通过对B景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？尝试从2002年起，将B景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到结论结果表明，B景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数.2002年游客人次2001年游客人次=

2003年游客人次2002年游客人次=

2015年游客人次2014年游客人次=

总结像这样，增长率为常数的变化方式，称为指数增长.因此，B景区的游客人数近似于指数增长.即从2001年起，每一年的游客人次都是上一年的1.1倍左右，增长量越来越多.x年后，B景区游客人次是2001年的1.11x倍.即x年后B景区的游客人次:这是一个函数，其中指数x是自变量.问题2

当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。追问1:该情境中有何变量关系？追问2:将衰减率设为p，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，完成表格···

追问3:若死亡的生物体内碳14含量记为y，死亡年数记为x，那么试写出死亡生物体内碳14含量与死亡年数间的关系式。

死亡年数1年2年3年··5730年

碳14含量

当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。

自变量在指数位置上底数是一个大于0且不等于1的常量.观察与思考：请同学类比于幂函数概念，说出这两个式子有什么特征？你能否用一个式子反映这些特征？

一、指数函数的定义：

概念生成一般地,函数其中x是自变量，函数定义域是R。叫做指数函数。追问3：观察指数函数的解析式有什么特点?幂的系数为1底数a为正数且不为1自变量x的系数为1，仅有这一种形式解：依题意，可知，得:分析：已知函数类型用待定系数法4.2指数函数4.2.2指数函数的图象和性质

下面我们类比研究幂函数性质的过程与方法，进一步研究指数函数.华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，下面我们尝试画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质，那通常研究函数的哪几个性质？1.定义域2.值域3.单调性4.奇偶性等……-2-1011224……这两个函数图象关于y轴对称，那它们是偶函数吗？

x…-2.5-2-1-0.500.5122.5……0.060.10.30.611.73915.6……15.6931.710.60.30.10.06…x…-2.5-2-1-0.500.5122.5……0.060.10.30.611.73915.6……15.6931.710.60.30.10.06…这两个函数图象也是关于y轴对称的。归纳：进一步：

这两组的函数图象都关于y轴对称,你想明白为什么了吗？一般地，指数函数的图象和性质如下表所示：补充：（1）当0<a<1时（2）当0<a<1时小练11.已知函数的图象恒过点P,则点P的坐标是。2.当x>0时，函数的值总大于1，则实数a的取值范围

。

例3.比较下列各数的大小。比较指数式大小的类型及处理方法：(1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断.(2)底数不同，指数相同：利用幂函数的单调性来判断.(3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较.构造函数，利用函数的单调性解决。

例4.说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系，并画出他们的图象:⑴y=2x+1⑵y=2x-2将y=2x的图象向左平移一个单位，就得到y=2x+1的图象将y=2x的图象向右平移两个单位，就得到y=2x-2的图象41232x013-1-2y思考题:怎样由y=2x的图象得到y=1+2x的图象。一般两个方案：1.描点法2.平移法1.当函数的图象与x轴有交点时，m的取值范围是

。练一下例5.求下列函数的定义域和值域：例6：1.求函数的值域。2.若函数在区间[-1，1]上的最大值为14，求实数a的值。分析：整体代换转化成二次函数问题。例7：1.求函数的值域与单调增区间。分析：这是复合函数问题。我们把形如y=f［g(x)］的函数称为复合函数。若设t=g(x),则y=f(t)。我们称t=g(x)为内层函数，y=f(t)外层函数复合函数的单调性法则：同增异减。例8.截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经