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文档简介
2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若函数恰有3个零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值是()A.7 B.5 C.3 D.23.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长为()A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图,则输出的值为()A. B. C. D.5.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积等于()cm3A. B. C. D.6.已知与之间的一组数据:12343.24.87.5若关于的线性回归方程为,则的值为()A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.4.57.已知将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若和的图象都关于对称,则下述四个结论:①②③④点为函数的一个对称中心其中所有正确结论的编号是()A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④8.已知正项数列满足:,设,当最小时,的值为()A. B. C. D.9.如图,正方体的棱长为1,动点在线段上,、分别是、的中点,则下列结论中错误的是()A., B.存在点,使得平面平面C.平面 D.三棱锥的体积为定值10.若,则()A. B. C. D.11.已知等差数列的前n项和为,,则A.3 B.4 C.5 D.612.已知集合,,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.的展开式中,项的系数是__________.14.过直线上一动点向圆引两条切线MA,MB,切点为A,B,若,则四边形MACB的最小面积的概率为________.15.在直角坐标系中,某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为,函数的图象经过该三角形的三个顶点,则的解析式为___________.16.已知函数,且,,使得,则实数m的取值范围是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数的定义域为.(1)求实数的取值范围;(2)设实数为的最小值,若实数,,满足,求的最小值.18.(12分)已知函数.(1)当时.①求函数在处的切线方程;②定义其中,求;(2)当时,设,(为自然对数的底数),若对任意给定的,在上总存在两个不同的,使得成立,求的取值范围.19.(12分)如图,在四棱锥中底面是菱形,,是边长为的正三角形,,为线段的中点.求证:平面平面;是否存在满足的点,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.20.(12分)已知椭圆的离心率为,且过点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)点P是椭圆上异于短轴端点A,B的任意一点,过点P作轴于Q,线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N,D为线段BN的中点,设O为坐标原点,试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.21.(12分)一种游戏的规则为抛掷一枚硬币,每次正面向上得2分,反面向上得1分.(1)设抛掷4次的得分为,求变量的分布列和数学期望.(2)当游戏得分为时,游戏停止,记得分的概率和为.①求;②当时,记,证明:数列为常数列,数列为等比数列.22.(10分)已知数列满足:对一切成立.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】
求导函数,求出函数的极值,利用函数恰有三个零点,即可求实数的取值范围.【题目详解】函数的导数为,令,则或,上单调递减,上单调递增,所以0或是函数y的极值点,函数的极值为:,函数恰有三个零点,则实数的取值范围是:.故选B.【答案点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数,来确定参数的取值范围的问题,在解题的过程中,注意应用导数研究函数图象的走向,利用数形结合思想,转化为函数图象间交点个数的问题,难度不大.2、B【答案解析】
由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论.【题目详解】画出约束条件,表示的可行域,如图,由可得,将变形为,平移直线,由图可知当直经过点时,直线在轴上的截距最大,最大值为,故选B.【答案点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.3、D【答案解析】
先根据三视图还原几何体是一个四棱锥,根据三视图的数据,计算各棱的长度.【题目详解】根据三视图可知,几何体是一个四棱锥,如图所示:由三视图知:,所以,所以,所以该几何体的最长棱的长为故选:D【答案点睛】本题主要考查三视图的应用,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.4、B【答案解析】
列出每一次循环,直到计数变量满足退出循环.【题目详解】第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:,退出循环,输出的为.故选:B.【答案点睛】本题考查由程序框图求输出的结果,要注意在哪一步退出循环,是一道容易题.5、D【答案解析】解:根据几何体的三视图知,该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,结合图中数据,计算它的体积为:V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=(6+1.5π)cm1.故答案为6+1.5π.点睛:根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,结合图中数据计算它的体积即可.6、D【答案解析】
利用表格中的数据,可求解得到代入回归方程,可得,再结合表格数据,即得解.【题目详解】利用表格中数据,可得又,.解得故选:D【答案点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.7、B【答案解析】
首先根据三角函数的平移规则表示出,再根据对称性求出、,即可求出的解析式,从而验证可得;【题目详解】解:由题意可得,又∵和的图象都关于对称,∴,∴解得,即,又∵,∴,,∴,∴,,∴①③④正确,②错误.故选:B【答案点睛】本题考查三角函数的性质的应用,三角函数的变换规则,属于基础题.8、B【答案解析】
由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由递推公式求出.【题目详解】由得,即,,当且仅当时取得最小值,此时.故选:B【答案点睛】本题主要考查了数列中的最值问题,递推公式的应用,基本不等式求最值,考查了学生的运算求解能力.9、B【答案解析】
根据平行的传递性判断A;根据面面平行的定义判断B;根据线面垂直的判定定理判断C;由三棱锥以三角形为底,则高和底面积都为定值,判断D.【题目详解】在A中,因为分别是中点,所以,故A正确;在B中,由于直线与平面有交点,所以不存在点,使得平面平面,故B错误;在C中,由平面几何得,根据线面垂直的性质得出,结合线面垂直的判定定理得出平面,故C正确;在D中,三棱锥以三角形为底,则高和底面积都为定值,即三棱锥的体积为定值,故D正确;故选:B【答案点睛】本题主要考查了判断面面平行,线面垂直等,属于中档题.10、D【答案解析】
直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果.【题目详解】∵,∴,故选D【答案点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,同角三角函数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.11、C【答案解析】
方法一:设等差数列的公差为,则,解得,所以.故选C.方法二:因为,所以,则.故选C.12、D【答案解析】
根据集合的基本运算即可求解.【题目详解】解:,,,则故选:D.【答案点睛】本题主要考查集合的基本运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、240【答案解析】
利用二项式展开式的通项公式,令x的指数等于3,计算展开式中含有项的系数即可.【题目详解】由题意得:,只需,可得,代回原式可得,故答案:240.【答案点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用,相对不难.14、.【答案解析】
先求圆的半径,四边形的最小面积,转化为的最小值为,求出切线长的最小值,再求的距离也就是圆心到直线的距离,可解得的取值范围,利用几何概型即可求得概率.【题目详解】由圆的方程得,所以圆心为,半径为,四边形的面积,若四边形的最小面积,所以的最小值为,而,即的最小值,此时最小为圆心到直线的距离,此时,因为,所以,所以的概率为.【答案点睛】本题考查直线与圆的位置关系,及与长度有关的几何概型,考查了学生分析问题的能力,难度一般.15、【答案解析】
结合题意先画出直角坐标系,点出所有可能组成等腰直角三角形的点,采用排除法最终可确定为点,再由函数性质进一步求解参数即可【题目详解】等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点,其中点与已有的两个顶点横坐标重复,舍去;若为点则点与点的中间位置的点的纵坐标必然大于或小于,不可能为,因此点也舍去,只有点满足题意.此时点为最大值点,所以,又,则,所以点,之间的图像单调,将,代入的表达式有由知,因此.故答案为:【答案点睛】本题考查由三角函数图像求解解析式,数形结合思想,属于中档题16、【答案解析】
根据条件转化为函数在上的值域是函数在上的值域的子集;分别求值域即可得到结论.【题目详解】解:依题意,,即函数在上的值域是函数在上的值域的子集.因为在上的值域为()或(),在上的值域为,故或,解得故答案为:.【答案点睛】本题考查了分段函数的值域求参数的取值范围,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【答案解析】
(1)首先通过对绝对值内式子符号的讨论,将不等式转化为一元一次不等式组,再分别解各不等式组,最后求各不等式组解集的并集,得到所求不等式的解集;(2)首先确定m的值,然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.【题目详解】(1)因为函数定义域为,即恒成立,所以恒成立由单调性可知当时,有最大值为4,即;(2)由(1)知,,由柯西不等式知所以,即的最小值为.当且仅当,,时,等号成立【答案点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法,柯西不等式及其应用,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18、(1)①;②8079;(2).【答案解析】
(1)①时,,,利用导数的几何意义能求出函数在处的切线方程.②由,得,由此能求出的值.(2)根据若对任意给定的,,在区间,上总存在两个不同的,使得成立,得到函数在区间,上不单调,从而求得的取值范围.【题目详解】(1)①∵,∴∴,∴,∵,所以切线方程为.②,.令,则,.因为①,所以②,由①+②得,所以.所以.(2),当时,函数单调递增;当时,,函数单调递减∵,,所以,函数在上的值域为.因为,,故,,①此时,当变化时、的变化情况如下:—0+单调减最小值单调增∵,,∴对任意给定的,在区间上总存在两个不同的,使得成立,当且仅当满足下列条件,即令,,,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减所以,对任意,有,即②对任意恒成立.由③式解得:④综合①④可知,当时,对任意给定的,在上总存在两个不同的,使成立.【答案点睛】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题,会利用导函数的正负确定函数的单调性,会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值,掌握不等式恒成立时所满足的条件.不等式恒成立常转化为函数最值问题解决.19、证明见解析;2.【答案解析】
利用面面垂直的判定定理证明即可;由,知,所以可得出,因此,的充要条件是,继而得出的值.【题目详解】解:证明:因为是正三角形,为线段的中点,所以.因为是菱形,所以.因为,所以是正三角形,所以,而,所以平面.又,所以平面.因为平面,所以平面平面.由,知.所以,,.因此,的充要条件是,所以,.即存在满足的点,使得,此时.【答案点睛】本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识;考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识;考查化归与转化、函数与方程等数学思想,属于难题.20、(1)(2)点在以为直径的圆上【答案解析】
(1)根据题意列出关于,,的方程组,解出,,的值,即可得到椭圆的标准方程;(2)设点,,则,,求出直线的方程,进而求出点的坐标,再利用中点坐标公式得到点的坐标,下面结合点在椭圆上证出,所以点在以为直径的圆上.【题目详解】(1)由题意可知,,解得,椭圆的标准方程为:.(2)设点,,则,,直线的斜率为,直线的方程为:,令得,,点的坐标为,,点的坐标为,,,,又点,在椭圆上,,,,点在以为直径的圆上.【答案点睛】本题主要考查了椭圆方程,考查了中点坐标公式,以及
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