江苏省淮安市洪泽区2022～2023学年九年级（上）期中数学试卷【含答案】

江苏省淮安市洪泽区2022～2023学年九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列说法中，不正确的是（）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心2．一元二次方程x2＝2﹣3x化成ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式后，a，b，c的值分别为（）A．0，2，﹣3 B．1，2，﹣3 C．1，﹣2，3 D．1，3，﹣23．一元二次方程x2＝2x的根是（）A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣24．用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0，经过配方后得到的方程是（）A．（x+3）3＝10 B．（x﹣3）2＝10 C．（x﹣3）2＝8 D．（x﹣2）2＝85．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠A＝40°，则∠BOC的度数是（）A．100° B．80° C．60° D．40°6．某工厂8月份的产值是50万元，10月份的产值达到72万元，设这两个月的产值平均月增长率为x，则列出方程正确的是（）A．50（1+x2）＝72 B．72（1﹣x2）＝50 C．72（1﹣2x）＝50 D．50（1+x）2＝727．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，则该圆玻璃镜的直径是（）A．cm B．5cm C．6cm D．10cm8．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（3，6），半径为4，那么y轴与⊙P的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不是二．填空题（共8小题）9．一元二次方程x2﹣16＝0的解是．10．一个扇形的圆心角为120°，半径为4，则该扇形的弧长为．11．已知m是关于x的方程x2+4x﹣5＝0的一个根，则2m2+8m＝12．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣4x+m2﹣9＝0有一个根为0，则m＝13．用一个圆心角为150°，半径为9的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为．14．如图，在长为10m，宽为8m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为48m2，则道路的宽应为m．15．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝118°．连接BD，则∠ABD的度数为16．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝90°，底边BC＝2，则△ABC的面积为．三．解答题（共11小题）17．用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2﹣36＝0（2）5x（x﹣3）＝2（x﹣3）18．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0（1）若方程有一个根为3，求k的值；（2）若k为任意实数，判断方程根的情况并说明理由．19．如图，A、B、C、D在⊙O上，∠CAB＝∠ADB＝60°，AB＝2，求△ABC的周长．20．如图，AB是⊙O的弦，点C、D在弦AB上，且OC＝OD．求证：AC＝BD．21．如图，AB是半圆O的直径，∠ABC＝40°，∠BAD＝70°，试说明：点D是的中点．22．有长为30m的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是72m2时，求AB的长．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．24．如图，AB为⊙O的直径，过点C的切线DE交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E．求证：AC平分∠BAE．25．某汽车专卖店经销某种型号的汽车已知该型号汽车的进价为10万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为20万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆（1）若每辆汽车的售价降低x万元，则每周的销售量是辆（用含x的代数式表示）（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，需将每辆汽车的售价降低多少万元？26．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒（1）如图1，过点P作PM⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的，求t的值；（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．27．如图，⊙O的半径为（r＞0），若点P′在射线OP上（P′可以和射线端点重合），满足OP′+OP＝2r，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．（1）当⊙O的半径为8时，①若OP1＝17，OP2＝12，OP3＝4，则P1，P2，P3中存在关于⊙O的反演点”的是．②点O关于⊙O的“反演点”的集合是，若P关于⊙O的“反演点在⊙O内，则OP取值范围是；（2）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12，⊙O的圆心在射线CB上运动，半径为1．若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙O的“反演点”P′在⊙O的内部，求OC的取值范围．

答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列说法中，不正确的是（）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B．圆有无数条对称轴 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．圆的对称中心是它的圆心【分析】利用圆的对称性质逐一求解可得．解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B．圆有无数条对称轴，正确；C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；D．圆的对称中心是它的圆心，正确；故选：C．2．一元二次方程x2＝2﹣3x化成ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式后，a，b，c的值分别为（）A．0，2，﹣3 B．1，2，﹣3 C．1，﹣2，3 D．1，3，﹣2【分析】先移项有x2+3x﹣2＝0，然后根据一元二次方程的一般形式即可得到a、b、c的值．解：方程x2＝2﹣3x化成一般式为x2+3x﹣2＝0，则a＝1，b＝3，c＝﹣2，故选：D．3．一元二次方程x2＝2x的根是（）A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2【分析】利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）＝0，即可得x＝0或x﹣2＝0，则求得原方程的根．解：∵x2＝2x，∴x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，∴一元二次方程x2＝2x的根x1＝0，x2＝2．故选：C．4．用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0，经过配方后得到的方程是（）A．（x+3）3＝10 B．（x﹣3）2＝10 C．（x﹣3）2＝8 D．（x﹣2）2＝8【分析】首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式．解：∵x2﹣6x﹣1＝0，∴x2﹣6x＝1，∴x2﹣6x+9＝1+9，∴（x﹣3）2＝10．故选：B．5．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠A＝40°，则∠BOC的度数是（）A．100° B．80° C．60° D．40°【分析】直接利用圆周角定理计算．解：∠BOC＝2∠A＝2×40°＝80°．故选：B．6．某工厂8月份的产值是50万元，10月份的产值达到72万元，设这两个月的产值平均月增长率为x，则列出方程正确的是（）A．50（1+x2）＝72 B．72（1﹣x2）＝50 C．72（1﹣2x）＝50 D．50（1+x）2＝72【分析】设这两个月的产值平均月增长率为x，根据该工厂8月份及10月份的产值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：设这两个月的产值平均月增长率为x，根据题意得：50（1+x）2＝72．故选：D．7．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，则该圆玻璃镜的直径是（）A．cm B．5cm C．6cm D．10cm【分析】根据90°圆周角所对的弦是直径，然后根据勾股定理即可求得MN的长，本题得以解决．解：∵把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，∴线段MN的就是该圆的直径，∵OM＝8cm，ON＝6cm，∠MON＝90°，∴MN＝10cm，故选：D．8．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（3，6），半径为4，那么y轴与⊙P的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不是【分析】由题意可得圆心P到y轴的距离为3，根据直线与圆的位置关系的判断方法可求解．解：∵⊙P的圆心坐标为（3，6），∴圆心P到y轴的距离为3∵3＜半径4∴y轴与⊙P的位置关系是相交故选：A．二．填空题（共8小题）9．一元二次方程x2﹣16＝0的解是x1＝﹣4，x2＝4．【分析】方程变形后，开方即可求出解．解：方程变形得：x2＝16，开方得：x＝±4，解得：x1＝﹣4，x2＝4．故x1＝﹣4，x2＝410．一个扇形的圆心角为120°，半径为4，则该扇形的弧长为π．【分析】根据弧长的公式l＝进行计算即可．解：根据弧长的公式l＝，得到：l＝＝π，故答案是：π．11．已知m是关于x的方程x2+4x﹣5＝0的一个根，则2m2+8m＝10【分析】利用一元二次方程的解的定义得到m2+4m＝5，再把2m2+8m变形为2（m2+4m），然后利用整体代入的方法计算．解：∵m是关于x的方程x2+4x﹣5＝0的一个根，∴m2+4m﹣5＝0，∴m2+4m＝5，∴2m2+8m＝2（m2+4m）＝2×5＝10．故答案为10．12．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣4x+m2﹣9＝0有一个根为0，则m＝﹣3【分析】把x＝0代入方程（m﹣3）x2﹣4x+m2﹣9＝0得m2﹣9＝0，然后解关于m的方程后利用一元二次方程的定义确定m的值．解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2﹣4x+m2﹣9＝0得m2﹣9＝0，解得m1＝3，m2＝﹣3，而m﹣3≠0，所以m的值为﹣3．故答案为﹣3．13．用一个圆心角为150°，半径为9的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为．【分析】根据弧长公式先计算出扇形的弧长，再利用圆的周长和圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．解：扇形的弧长＝＝7.5π，设圆锥的底面半径为R，则2πR＝7.5π，所以R＝．故．14．如图，在长为10m，宽为8m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为48m2，则道路的宽应为2m．【分析】设道路的宽为xm，则剩余部分可合成长为（10﹣x）m，宽为（8﹣x）米的长方形，根据矩形的面积公式结合绿化面积为48m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．解：设道路的宽为xm，则剩余部分可合成长为（10﹣x）m，宽为（8﹣x）米的长方形，根据题意得：（10﹣x）（8﹣x）＝48，整理得：x1＝2，x2＝16．∵8﹣x＞0，∴x＜8，∴x＝2．故2．15．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝118°．连接BD，则∠ABD的度数为59°【分析】先利用圆内接四边形的性质求出∠A＝62°，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠ABD的度数．解：∵∠A+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣118°＝62°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABD＝×（180°﹣62°）＝59°．故答案为59°．16．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝90°，底边BC＝2，则△ABC的面积为1+或﹣1．【分析】分两种情形讨论：①当圆心O在△ABC内部时．②当点O在△ABC外时．分别求解即可．解：①当圆心O在△ABC内部时，作AE⊥BC于E．∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴△OBC是等腰直角三角形，∴OB＝OC＝，∴AE＝OA+OE＝1+，∴S△ABC＝•BC•AE＝×2×（1+）＝1+．②当点O在△ABC外时，连接OA交BC于E．S△ABC＝•BC•AE＝×2×（﹣1）＝﹣1，故1+或﹣1．三．解答题（共11小题）17．用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）2﹣36＝0（2）5x（x﹣3）＝2（x﹣3）【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．解：（1）∵（x﹣1）2﹣36＝0，∴（x﹣1）2＝36，则x﹣1＝±6，∴x＝±6+1，则x1＝7，x2＝﹣5；（2）∵5x（x﹣3）＝2（x﹣3），∴（5x﹣2）（x﹣3）＝0，∴5x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝，x2＝3．18．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0（1）若方程有一个根为3，求k的值；（2）若k为任意实数，判断方程根的情况并说明理由．【分析】（1）将x＝3代入方程得出关于k的方程，解之可得；（2）利用一元二次方程根的判别式即可得出结论．解：（1）当x＝3时，9﹣3（k+2）+2k＝0，解得：k＝3；（2）∵a＝1，b＝﹣（k+2），c＝2k，∴b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝k2+4k+4﹣8k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，∴方程定有两个实数根．19．如图，A、B、C、D在⊙O上，∠CAB＝∠ADB＝60°，AB＝2，求△ABC的周长．【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝60°，则判断△ABC是等边三角形，然后计算△ABC的周长．解：∵∠ACB＝∠ADB＝60°，而∠CAB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴△ABC的周长＝3AB＝6．20．如图，AB是⊙O的弦，点C、D在弦AB上，且OC＝OD．求证：AC＝BD．【分析】过点O作OH⊥AB，垂足为H，由垂径定理可知AH＝BH，再由OC＝OD可判断出△OAD是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知CH＝DH，进而可求出答案．证明：过点O作OH⊥AB，垂足为H，（1分）∴AH＝BH，（2分）∵OC＝OD，且OH⊥CD，∴CH＝DH，（4分）∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD．（6分）21．如图，AB是半圆O的直径，∠ABC＝40°，∠BAD＝70°，试说明：点D是的中点．【分析】连结BD，如图，根据AB是半圆的直径，得到∠BDA＝90°，求出∠DBA＝20°，等量代换得到∠ABD＝∠CBD根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．解：连结BD，如图，∵AB是半圆的直径，∴∠BDA＝90°，又∠BAD＝70°，∴∠DBA＝20°，又∠ABC＝40°，∴∠CBD＝20°，∴∠ABD＝∠CBD∴＝，∴点D是的中点．22．有长为30m的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是72m2时，求AB的长．【分析】设AB长为xm，则BC长为（30﹣3x）m，根据矩形的面积公式结合花圃的面积是72m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．解：设AB长为xm，则BC长为（30﹣3x）m，根据题意得：x（30﹣3x）＝72，整理得：x2﹣10x+24＝0，解得：x1＝4，x2＝6．答：AB的长4m或6m．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据角平分线的作法求出角平分线BO；（2）过O作OD⊥AB交AB于点D，先根据角平分线的性质求出DO＝CO，再根据切线的判定定理即可得出答案．解：（1）如图：（2）AB与⊙O相切．证明：作OD⊥AB于D，如图．∵BO平分∠ABC，∠ACB＝90°，OD⊥AB，∴OD＝OC，∴AB与⊙O相切．24．如图，AB为⊙O的直径，过点C的切线DE交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E．求证：AC平分∠BAE．【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠CAO，即AC平分∠BAE．解：如图：连接OC∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE又∵AE⊥DC∴OC∥AE∴∠ACO＝∠EAC∵OA＝OC∴∠ACO＝∠OAC∴∠EAC＝∠OAC∴AC平分∠BAE25．某汽车专卖店经销某种型号的汽车已知该型号汽车的进价为10万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为20万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆（1）若每辆汽车的售价降低x万元，则每周的销售量是（8+2x）辆（用含x的代数式表示）（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，需将每辆汽车的售价降低多少万元？【分析】（1）由售价每降低0.5万元平均每周多售出1辆，结合不降价时平均每周售出8辆，即可得出结论；（2）根据总利润＝每辆车的销售利润×每周销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．解：（1）根据题意得：每周的销售量为8+＝（8+2x）辆．故（8+2x）．（2）根据题意得：（20﹣x﹣10）（8+2x）＝90，整理得：x2+6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5．当x＝1时，8+2x＝10；当x＝5时，8+2x＝18；∵18＞10，∴尽快减少库存，x1＝1不符合题意，舍去．答：每辆汽车的售价降低5万元．26．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒（1）如图1，过点P作PM⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的，求t的值；（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．【分析】（1）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）由题意得，AP＝t，PQ＝2AP，求得PQ＝2t，①如图1，当0≤t≤2时，②如图2，当2≤t≤3时，③如图3，当3≤t≤6时，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S△ABC＝6×6＝18，∵AP＝t，CP＝6﹣t，∴△PBC与△PAD的面积和＝t2+×6×（6﹣t），∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的，∴t2+×6×（6﹣t）＝18×，解之，得t1＝2，t2＝4；（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，∴PQ＝2t，①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣t2＝t2＝8，解得：t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），②如图2，当2≤t≤3时，S＝×6×6﹣t2﹣（6﹣2t）2＝′12t﹣t2＝8，解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝（不合题意，舍去），③如图3，当3≤t≤6时，S＝6×6﹣t2＝8，解得：t1＝2，t2＝﹣2（不合题意