复变函数与积分变换-chapter-1-PPT幻灯片

1

复变函数（Chapter1–Chapter5）

教材：《复变函数》

(第四版)

西安交通大学高等数学教研室积分变换（Chapter1–Chapter2）

教材：《积分变换》

(第四版)

东南大学高等数学系共计54学时复变函数与积分变换主要内容2对象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。主要内容复变函数的积分、级数、留数复数与复变函数、解析函数、复变函数简介复变函数与积分变换3第一章复数与复变函数复变函数与积分变换二、复数及代数运算四、复数的乘幂与方根一、复变函数的起源及应用三、复数的几何表示五、区域六、复变函数七、复变函数的极限和连续性6第一节、复数及其代数运算复变函数与积分变换1.复数的概念

一般,任意两个复数不能比较大小。定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=x+yi为复数。复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)

复数的模

判断复数相等72.复数的代数运算二、复数及代数运算复变函数与积分变换定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1)请证明

z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)证明：

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=x1(x2+iy2)+iy1(x2+iy2)

=x1x2+ix1y2+ix2y1-y1y2

=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1)82.复数的代数运算二、复数及代数运算复变函数与积分变换定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的商为：z1+z2=z2+z1；

z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；

z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即，3.复数的运算规律9三、共轭复数复变函数与积分变换定义若z=x+iy,称z=x-iy为z的共轭复数.共轭复数的性质根据(3)，计算时，把分子与分母同乘以，可得到所求的商。10复变函数与积分变换例题11例2：复变函数与积分变换例题解：12复变函数与积分变换例题例3设z1,z2是两个复数,证明证明因为13复变函数与积分变换练习2.求，，，，解：1.2.14复变函数与积分变换第二节复数的几何表示

点的表示

向量表示法

三角表示法

指数表示法复球面151.点的表示复变函数与积分变换点的表示：数z与点z同义.162.向量表示法oxyP(x,y)xy

称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边,以向量为终边的角的弧度数称为复数z=x+iy的辐角.（z≠0时）复变函数与积分变换17复变函数与积分变换辐角无穷多：把其中满足的称为辐角Argz的主值，记作计算argz(z≠0)的公式18复变函数与积分变换当z落于一,四象限时，

不变当z落于第二象限时，

加当z落于第三象限时，

减说明19复变函数与积分变换θ3.向量三角、指数表示利用直角坐标与极坐标之间的关系再利用Euler公式

复数z=x+yi可表示为

称为复数z的三角表示式.复数z=x+yi又可表示为称为复数的指数表示式,其中r=|z|,q=Argz.20共轭复数的几何性质一对共轭复数z和在复平面的位置是关于实轴对称的.复变函数与积分变换当时,当时,复数和与差的模的性质21例题复变函数与积分变换例1.将下列复数化为三角表示式与指数表示式解

1），由于z在第三象限，所以

三角表示形式指数表示形式22解

2）三角表示形式指数表示形式复变函数与积分变换23例2.设、为任意两个复数，证明：证明：1)复变函数与积分变换24复变函数与积分变换证明：2)因为所以所以25oxyLz1z2z例3.通过两点与的直线用复数形式的方程来表示。其中解：因为通过两点（x1，y1）与（x1，y2）的直线可以用参数方程表示为所以它的复数形式参数方程为由到直线段的参数方程为当时，为线段的中点，表示为复变函数与积分变换26复变函数与积分变换例4.求下列方程所表示的曲线1）2）3）xyO-i2解：1）如右图所示，以-i为中心，半径为2的圆。y=-x

2i

2y=-32）y=-x

3）设，则有，所以

因此y=-327复变函数与积分变换练习题1.用代数的方法求例4中的（1）和（2）。2.P31，第1题和第2题28作业P31，第4题（1）、（3）、（6）

第8题（2）、（4）、（6）29复变函数与积分变换4复球面与无穷远点

复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示复数.

取一个与复平面切于原点z=0的球面.球面上的一点S与原点重合，通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点N.称N为北极，S为南极。(如图).30

球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们用球面上的点来表示复数.

球面上的北极N不能对应复平面上的定点,当球面上的点离北极

N

越近,它所表示的复数的模越大.球面上的N就是复数无穷大的表示，因此球面上的每一个点，有唯一的一个复数与它对应，这样的球面称为复球面复变函数与积分变换31复变函数与积分变换

对于复数的无穷远点而言,它的实部、虚部,辐角等概念均无意义,规定它的模为正无穷大.(1)加法(2)减法(3)乘法(4)除法32第三节、复数的乘幂与方根复变函数与积分变换

复数的乘积与商复数的乘幂复数的方根33复变函数与积分变换1.复数的乘积定理1两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。设z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2则z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)于是|z1z2|=|r1||r2|，Arg(z1z2)=Argz1+Argz234复变函数与积分变换1.复数的乘积几何意义Z1z2表示将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。oxyz1z2z2当|z2|=1，乘法变成只是旋转。例如iz相当于将z逆时针旋转90°，-z相当于逆时针旋转180°。当Argz2=0时，乘法变成了仅仅是伸长（缩短）35复变函数与积分变换1.复数的乘积要使上式成立,必须且只需k=m+n+1.36复变函数与积分变换2.复数的商定理2两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。定义

z=z2/z1，（z1≠0），即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2|z2/z1|=|z2|/||z1|，Arg

(z2/z1)

=Argz2-Argz1用指数形式表示：37复变函数与积分变换2.复数的商例2、已知正三角型的两个顶点为z1=1，z2=2+i，求它的另一个顶点。z2=2+iz1=1z3z3’解：如右图所示，将z2-z1的向量绕z1旋转（或）就得到另一向量，其终点即为所求的顶点z3（或z3’），复数的模为1，转角为，由复数的乘法，有38复变函数与积分变换类似可得39复变函数与积分变换3.复数的幂利用数学归纳法可以证明：如果特别地,如果那么那么因为z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]40如果写成指数形式，即如果那么特别地，当|z|=r=1时,变为复变函数与积分变换3.复数的幂如果z1=z2=…=zn,即称为棣莫弗（DeMovie公式）.41复变函数与积分变换4.复数的方根方根,记做或如果于是,当时,对给定的复数z,方程wn=z的解w称为z的n次42复变函数与积分变换4.复数的方根满足以上三式的充分必要条件是其中表示算术根.于是

当取k=0,1,2,···,n-1时,可得n个相异根如下43由三角函数的周期性复变函数与积分变换44复变函数与积分变换当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现，如k=n时几何意义：的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。45复变函数与积分变换xyo例3.求解：xyo46复变函数与积分变换例4.求几何意义：这三个根是内接于中心在原点半径为1的圆的正三角形的3个顶点。147复变函数与积分变换例5.求方程w4+16=0的四个根.解：因为-16=24e(2k+1)pi

,所以w4=24e(2k+1)pi

.于是48复变函数与积分变换几何意义：w0，w1,w2,w3

恰好是以原点为圆心、半径为2的圆|z|=2的内接正方形的四个顶点(如图).49

区域的概念

简单曲线（或Jordan曲线)

单连通域与多连通域第四节、区域复变函数与积分变换50复变函数与积分变换1.区域的概念邻域复平面上以z0为中心，任意δ>0为半径的圆|z-z0|<δ内部的点的集合称为点z0的δ邻域，记为Ｕ(z0,δ)即，设G是一平面上点集内点

对任意z0属于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使该邻域内的所有点都属于G，则称z0是G的内点。而称由不等式0<|z–z0|<δ所确定的点集为去心邻域，记为Ｕ0(z0,δ)，即51复变函数与积分变换开集若G内的每一点都是内点，则称G是开集。连通是指区域

(1)

D是一个开集；(2)

D是连通的.同时满足这两个条件时，称平面点集D是一个区域。D-区域边界与边界点已知点P不属于D，若点P的任何邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是D的边界点；内点外点D的所有边界点组成D的边界。P52例如

设z0是定点,r>0是常数,则z0为中心,以r为半径的圆的内部点,即满足不等式|z-z0|<r的一切点z所组成的点集(z0的r邻域)是开集.

当0r<R(r和R均是常数)时,满足不等式r<|z-z0|<R的一切z所组成的点集也是开集.

但满足不等式r<|z-z0|R的一切点所组成的点集不是开集.因为在圆周|z-z0|=R上的点属于集合r<|z-z0|R,但这些点不是它的内点,而是边界点.复变函数与积分变换

在圆周|z-z0|=r和圆周|z-z0|=R上的点都是点集r<|z-z0|<R和r<|z-z0|R的边界点.53有界区域闭区域区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域,复变函数与积分变换

如果一个平面点集完全包含在原点的某一个邻域内,那么称它是有界的.不是有界集的点集叫做无界集.54复变函数与积分变换满足不等式|z|R的一切点所组成的点集是无界区域.无界区域图1边界图2边界55(1)圆环域:例1.6判断下列区域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)无界.复变函数与积分变换56令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;则曲线方程可记为：z=z(t)，a≤t≤b复变函数与积分变换2.简单曲线（或Jardan曲线)（1）光滑曲线称曲线是一条光滑曲线.

57

由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线.

能求出长度的曲线称为可求长曲线.分段光滑曲线是可求长曲线.光滑曲线分段光滑曲线58

曲线C在复平面上的方程z=z(t)，a≤t≤b不仅确定了曲线的形状,实际上还给出了曲线的方向,也就是说,曲线是沿着t增加的方向变化的.

复平面上对应于z(a)=x(a)+iy(a)的点称为曲线C的起点,对应于z(b)=x(b)+iy(b)的点称为曲线C的终点.

若曲线C的起点与终点重合,即z(a)=z(b),则称C是闭曲线.

例如,z=z(t)=r(cost+isint)(0t2p)是一条闭曲线,因为z(0)=z(2p)=r.复变函数与积分变换59复变函数与积分变换重点设连续曲线C：z=z(t)，a≤t≤b，对于t1∈(a，b),t2∈[a,b],当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)，称z(t1)为曲线C的重点。定义称没有重点的连续曲线C为简单曲线或Jardan曲线;若简单曲线C满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线。z(a)=z(b)简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线60下列曲线是否为简单闭曲线?答案简单不闭不简单,不闭61复变函数与积分变换简单闭曲线的性质任一条简单闭曲线C：z=z(t)，t∈[a，b]，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部外部边界62定义

复平面上的一个区域B，如果B内的任何简单闭曲线的内部总在B内，就称B为单连通域；非单连通域称为多连通域。3.单连通域与多连通域复变函数与积分变换例如

|z|<R（R>0）是单连通的；0≤r<|z|≤R是多连通的。单连通域多连通域多连通域单连通域63复变函数与积分变换练习1指出下列不等式所确定的点集,是否有界?是否区域?如果是区域,单连通的还是多连通的?无界的单连通区域(如图).解

(1)当时,64复变函数与积分变换是角形域,无界的单连通域(如图).周外部,无界多连通区域(如图).是以原点为中心,半径为的圆65复变函数与积分变换第五节、复变函数

复变函数的定义

映射的概念

反函数或逆映射66复变函数与积分变换1.复变函数的定义——与实变函数定义相类似设G是一个复数z=x+iy的集合，存在法则f，对于集合G中的每一个复数z，有一个或几个复数w=u+iv与之对应，则称复变数w是复变数z的函数（简称复变函数）记作

定义w=f(z)而是多值函数例如,w=|z|是以复平面C为定义域的单值函数67复变函数与积分变换其中u(x,y)和v(x,y)都是实变量的二元函数.68复变函数与积分变换例1:w=z2

是一个复变函数.则于是函数w=z2对应于两个二元实函数令于是令例2.若已知f(z)=69复变函数与积分变换例3.70复变函数与积分变换oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，w=f(z)可以看作：定义域函数值集合zw=f(z)w2.映射的概念——复变函数的几何意义71复变函数与积分变换

以下不再区分函数与映射（变换）。在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u，v

与x，y

之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）说明72复变函数与积分变换例4解—关于实轴对称的一个映射oxy(z)uv(w)o73x、uy、v(z)、(w)o复变函数与积分变换74复变函数与积分变换—旋转变换(映射)例5解：设x、uy、v(z)、(w)o75复变函数与积分变换例6求z平面上的下列图形在映射w=z2下的象。解：设7676复变函数与积分变换oxy(z)ouv(w)77复变函数与积分变换因为所以因为所以oxy(z)ouv(w)R=2R=478复变函数与积分变换因为所以oxy(z)ouv(w)z平面上的两族分别以y=±x和坐标轴为渐进线的等轴双曲线，分别映射成w平面上的两族平行线79复变函数与积分变换映为将直线消y，建立所满足的象曲线方程，是以原点为焦点，开口向左的抛物线（见图c1)vu图c12其是以原点为焦点，开口向右的抛物线（见图c2）。

将线映为，消x得80例设w=z2

则称为w=z2的反函数或逆映射∴为多值函数,2支.定义设w=f(z)

的定义集合为G,函数值集合为G*则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.3.反函数或逆映射复变函数与积分变换813.反函数或逆映射复变函数与积分变换8282复变函数与积分变换第六节、复变函数的极限和连续性

函数的极限

运算性质

函数的连续性83复变函数与积分变换uv(w)oAxy(z)o几何意义:

当变点z一旦进入z0的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中。1.函数的极限定义

设函数定义在z0的去心邻域内。如果有一确定的数A存在，对于任意给定的，相应的必有一正数，使得当时有那么称A为当z趋于z0时的极限，记作84(1)意义中的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高。(2)

A是复数.定理1(3)若f(z)在处有极限,其极限是唯一的.2.运算性质注意复变函数与积分变换那么的充要条件是85复变函数与积分变换证明：如果，那么根据极限的定义，就有：当时，或当