中职-机械基础（多学时）课件第2章构件的承载能力分析

第2章构件的承载能力分析1.为什么有些建筑物那么坚固，而有些则会倒塌呢？2.为什么旗杆做成空心的？第1节直杆轴向拉伸与压缩第2节剪切与挤压第3节圆轴扭转第4节直梁弯曲第5节组合变形第6节交变应力和疲劳强度第7节压杆稳定1.1.1轴向拉伸和压缩的概念1.1直杆轴向拉伸与压缩的概念受拉伸受压缩轴向拉伸是在轴向力作用下，杆件产生伸长变形，也简称拉伸；轴向压缩是在轴向力作用下，杆件产生缩短变形，也简称压缩。如图所示的三角架ABC，AB杆受拉伸，BC杆受压缩。图2-1三角架受力简图如图所示桁架中的杆件，分别受拉力和压力作用而产生拉伸或压缩变形。图2-2桁架杆件受力图

这些受力杆件的共同特点是：杆件是直杆；外力(或外力合力)的作用线沿杆件轴线。这种情况下，杆件的主要变形为轴向伸长或缩短，如图2-3(a)所示杆件在外力作用下发生轴向拉伸变形；如图2-3(b)所示杆件在外力作用下发生轴向压缩变形。这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩，这类杆件称为拉杆或压杆。图2-3直杆受力简图1.1.2直杆轴向拉伸和压缩的计算

杆件在外力作用下将发生变形，与此同时，杆件内部各部分之间将产生相互作用力，此相互作用力称为内力。内力随外力的变化而变化，外力去掉后，内力将随之消失。杆件的强度、刚度等问题均与内力这个因素有关，在分析这些问题时，常常需要知道杆件在外力作用下某一横截面上的内力值。求杆件任一横截面上的内力，通常采用下述的截面法。设一等直杆在两端轴向拉力F的作用下保持平衡，如图2-4(a)所示，为求杆件横截面m-m上的内力，可以假想有一平面沿横截面m-m将杆件截分为I、II两部分，任取其中一部分(如部分I)作为分离体来分析，而另一部分(如部分II)对第一部分(如部分I)的作用可用截开横截面上的内力来代替。由于杆件是连续体，内力在横截面上的分布也是连续的，通常将横截面上的分布内力用位于截面形心处的合力FN来代替。FN即为横截面m-m上的内力。如图2-4(b)所示。图2-4受拉直杆的内力

需要说明的是，如果变形体在外力作用下保持平衡，则从其上截取的任一部分也是平衡的。这个任一部分可以是截开的两部分中的任一部分。因此图2-4(b)所示的第I部分也应该是保持平衡的。由平衡方程得式中，FN为杆件任一横截面m-m上的内力，其作用线与杆的轴线重合，这种内力称为轴力，并规定用符号FN来表示。同样的，如果保留第II部分来考虑，也可根据平衡方程计算出m-m横截面上的轴力。其实根据作用力与反作用力的原理可知，部分II横截面上的轴力应与部分I横截面上的轴力大小相等，方向相反，如图2-4(c)所示。

为了区分拉伸与压缩，对轴力的正负号作如下规定：引起纵向伸长变形的轴力为正，称为拉力(FN指向其所在截面的外法线方向)，引起纵向缩短变形的轴力为负，称为压力(FN指向其所在的截面)。

上述分析轴力的方法称为截面法，用截面法求内力的方法可归纳为：(1)截：在需要计算内力的横截面处，用一假想的平面将杆件截开；(2)代：任取其中一部分，将丢弃部分对保留部分的作用以内力来代替，并假设内力为正；(3)平：对保留部分建立平衡方程，计算出内力值。截面法是求内力最基本的方法。当杆件受到多个轴向外力作用时，在杆的不同横截面上的轴力将各不相同。为了表现横截面上的轴力随横截面位置变化的情况，可用轴力图来表示其变化规律。根据轴力图，便可确定某段是受拉还是受压，以及整个杆件上最大轴力的数值及其所在横截面的位置。用平行于杆轴线的x坐标表示横截面位置，用垂直于x的坐标FN表示横截面轴力的大小，按选定的比例，把轴力表示在x-FN坐标系中，描出的轴力随截面位置变化的曲线。

1.3材料在拉伸币U压缩时的力学性

材料在外力作用下，其强度和变形方面所表现出来的性能称为材料的力学性能。它是通过试验的方法测定的，是进行强度、刚度计算和选择材料的重要依据。

工程材料的种类:根据其性能分为塑性材料和脆性材料两大类。低碳钢和铸铁是这两类材料的典型代表，它们在拉伸和压缩时表现出来的力学性能具有广泛的代表性。下面我们就以低碳钢的拉伸试验和铸铁的压缩试验来研究材料在拉伸和压缩过程中所表现出来的力学性能。1．低碳钢拉伸时的力学性能

国家标准《金属材料室温拉伸试验法》（GB/T228-2002）规定了标准试件的形状与尺寸。用来测量变形的长度l称为标距。对于圆截面，标准规定l=5d或l=10d。试件形状如图2-6所示。图2-6低碳钢标准拉伸试件

低碳钢标准拉伸试件安装在拉伸试验机上，然后对试件缓慢施加拉伸载荷，直至把试件拉断。根据拉伸过程中记录的试件承受的拉力F值和试件标距l长度内的变形量Δl的关系图线（图2-7a），称为拉伸图或F—Δl

曲线。为了反映材料本身的性能，将拉伸图的纵坐标F除以试件的横截面积A，即F/A=σ（称为应力）；横坐标Δl

除以试件的标距l，即Δl/l=ε（称为线应变），取横坐标为σ，纵坐标为ε，于是得到σ—ε关系曲线（图2-7b），称为应力—应变图。

图27低碳钢拉伸试验曲线试样在拉伸过程中经历了四个阶段。①弹性阶段——比例极限σp：低碳钢拉伸试验σ—ε曲线，oa段是直线，应力与应变在此段成正比关系，材料符合虎克定律，即σ=Eε式中E为常数，称为弹性模量或杨氏模量。直线oa的斜率tanα=σ/ε=E就是材料的弹性模量，直线部分最高点所对应的应力值记作σp，称为材料的比例极限。曲线超过a点，图上ab段已不再是直线，说明材料已不符合虎克定律。但在ab段内卸载，变形也随之消失，说明ab段也发生弹性变形，所以ab段称为弹性阶段。b点所对应的应力值记作σe

，称为材料的弹性极限。弹性极限与比例极限非常接近，工程实际中通常对二者不作严格区分，而近似地用比例极限代替弹性极限。

②屈服阶段——屈服点σs(屈服极限)：曲线超过b点后，出现了一段锯齿形曲线，这—阶段应力没有增加，而应变依然在增加，材料好像失去了抵抗变形的能力，把这种应力不增加而应变显著增加的现象称作屈服，bc段称为屈服阶段。屈服阶段曲线最低点所对应的应力σs称为屈服点(或屈服极限)。在屈服阶段卸载，将出现不能消失的塑性变形。工程上一般不允许构件发生塑性变形，并把塑性变形作为塑性材料破坏的标志，所以屈服点σs是衡量材料强度的一个重要指标。

③强化阶段——抗拉强度σb：经过屈服阶段后，曲线从c点又开始逐渐上升，说明要使应变增加，必须增加应力，材料又恢复了抵抗变形的能力，这种现象称作强化，cd段称为强化阶段。曲线最高点所对应的应力值记作σb，称为材料的抗拉强度(或强度极限)，它是衡量材料强度的又一个重要指标。

④缩颈断裂阶段：曲线到达d点前，试件的变形是均匀发生的，曲线到达d点，在试件比较薄弱的某一局部(材质不均匀或有缺陷处)，变形显著增加，有效横截面急剧减小，出现了缩颈现象，试件很快被拉断，所以de段称为缩颈断裂阶段。

试件断裂后，工作段的残余伸长量Δl=l1-l0与标距长度l0的比值．代表了试件拉断后的塑性变形程度，称为材料断后伸长率。即：式中：l0——试件原来的标距长度；l1——试件断裂后的标距长度。也可以用断面收缩率来表示。即式中：A0——实验前试件的横截面积；A1一试件断口处最小横截面面积。Ψ大，说明材料断裂时产生的塑性变形大，塑性好。工程上通常将Ψ＞5％的材料称为弹性材料，如钢、铜、铝等；Ψ

＜5％的材料称为脆性材料．如铸铁、玻璃、陶瓷等。2铸铁压缩时的力学性能

压缩试件为短圆柱形，圆柱高度一般为直径的2.5～3.5倍。压缩试验——试验σ-ε曲线，如图2-8所示。图2-8铸铁压缩试验曲线

曲线没有明显的直线部分，应力较小时，近似认为符合虎克定律。曲线没有屈服阶段，曲线最高点的应力值称为抗压强度。铸铁材料抗压性能远好于抗拉性能，这也是脆性材料共有的属性。因此，工程中常用铸铁等脆性材料作受压杆件，而不用作受拉杆件。

轴向拉伸和压缩时的强度计算(1）极限应力、许用应力与安全系数应力

材料丧失工作能力时的应力称为极限应力。脆性材料的极限应力是其强度极限σ

b,塑性材料的极限应力是其屈服极限σs

。

为了保证构件的安全可靠，需要一定的强度储备，应将材料的极限应力除以大于1的安全系数n，作为材料的许用应力，用

[σ]表示。对于塑性材料有对于脆性材料式中nb、ns是与屈服极限或抗拉强度相对应的安全系数。

(2）拉（压）杆的强度计算

为了保证拉（压）杆可靠地工作，必须使杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力。于是，得到构件轴向拉伸或压缩的强度条件

产生最大正应力的截面称为危险截面，适中的FN

和A分别是危险截面的轴力和横截面面积。第2节剪切与挤压2.1剪切与挤压的概念1.剪切剪切变形是杆件的基本变形之一。工程实际中的铆钉连接、螺纹连接、键连接等，都是剪切变形的实例。下面以铆钉连接为例，说明剪切变形的概念。

铆钉连接如图2-9(a）所示，当两个被连接的钢板沿水平方向承受外力F

作用时，外力通过钢板传到铆钉杆上，使铆钉杆的左上侧面和右下侧面受力，如图2-9(b）所示。这时铆钉杆的上半部分和下半部分在外力作用下分别

向左和向右移动，沿截面m-m

发生相对错动。这就是剪切变形，如图29(c）所示。截面m-m

称为剪切面。剪切面上与截面相切的内力称为剪力，用FQ

表示。

(a）铆钉连接（b）铆钉杆受力（C）铆钉杆沿m-m截面发生相对错动图2-9铆钉连接2.1.2挤压

一般情况下，连接件在发生剪切变形的同时，它与连接件传力的接触面上将受到较大的压力作用，从而出现局部变形，这种现象称为挤压。如图2-10所示铆钉连接中，上钢板孔左侧左侧与铆钉杆上部左侧，下钢板孔右侧与铆钉下部右侧相互挤压。挤压面上所受的力称为挤压力．用Fp表示。图2-10挤压变形第3节圆轴扭转

1.扭转的概念扭转变形也是杆件的一种基本变形。在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如，如图2-11所示为汽车方向盘操纵杆，如图2-12所示为载重汽车的传动轴。图2-11汽车方向盘操纵杆图2-12汽车传动轴

分析以上受扭杆件的特点，杆件的两端受到大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆轴线的力偶的作用，致使杆件各横截面都绕杆轴线发生相对转动，杆件表面的纵向线将变成螺旋线。

作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用表示，直轴的扭转变形如图2-13所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。2外力偶矩的计算

工程中常用的传动轴是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为:图2-13直轴的扭转变形式中：M

e——外力偶矩，单位N·m；P——传递的功率，单位kw

；

n——传递的功率，单位r/min。3圆轴横截面上的应力

工程中要求对受扭杆件进行强度计算，根据扭矩T(内力偶矩，可通过截面法求得）确定横截面上各点的切应力。在讨论扭转的应力和变形之前，对于切应力和切应变的规律以及二者关系的研究非常重要。下面分析实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。

取一实心圆轴，在其表面等距离地画上圆周线和纵向线，如图2-15(a）所示。然后在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭转力偶矩M产使圆轴产生扭转变形，如图2-15(b）所示观察到圆轴表面上各圆周线的形状、大小和间距均末改变，仅是绕圆轴线作了相对转动，各纵向线均倾斜了一微小角度。图2-15

（a)（b)变形的情况：

(1）各圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离均无变化：各圆周线绕轴线转动了不同的角度。

(2）所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同一角度。

扭转变形的平面假设：圆轴扭转时，横截面保持平面，并且只在原地发生刚性转动。在平面假设的基础上，扭转变形可

以看做是各横截面像刚性平面一样，绕轴线作相对转动。由此可以得出：

(l)扭转变形时，由于圆轴相邻横截面间的距离不变，即圆轴没有纵向变形发生，所以横截面上没有正应力。

(2)扭转变形时，各纵向线同时倾斜了相同的角度：各横截面绕轴线转动了不同的角度，相邻截面产生了相对转动并相互错动，发生了剪切变形，所以横截面上有切应力。如图2-16所示可知切应力的分布规律：横截面上某一点的切应力与该点到圆心的距离成正比，圆心处切应力为零：圆周上切应力最大，切应力沿半径成直线规律分布。图2-16圆轴横截面切应力分布图(a）实心圆轴图(b）空心圆轴根据切应力的分布规律，可推出圆轴扭转时其截面上最大切应力的计算公式:式中：:——最大切应力，单位MPa

；T——扭矩，单位N·mm；Wn——抗扭截面模量，单位mm3

。

第4节直梁弯曲4.1平面弯曲在工程中常遇到这样一类直杆，当它们受到垂直于杆轴的外力，或在通过杆轴的平面内受到外力偶作用时，将发生弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件称为梁。梁在工程中有着广泛的应用，如图2-17、图2-18、图2-19所示的阳台挑梁、桥式吊车梁、车轴都是梁的实例。图2-17阳台挑梁图图2-18桥式吊车梁图2-19车轴工程中最常见的梁，其横截面通常都采用对称形状，如矩形、工字形、T字形及圆形等，其横截面上至少具有一条对称轴，且梁上所有的外力均作用在包含对称轴与轴线的纵向对称平面内。在这种情况下，梁变形时其轴线将弯曲成一条平面曲线，这条曲线处在外力所在的同一纵向对称面内。梁变形后的轴线所在平面与外力所在纵向平面相重合的这种弯曲称为平面弯曲。平面弯曲是弯曲变形中最基本的情况．也是工程中最常见的。在工程实际中，梁的支座情况和载荷的作用形式是复杂多样的，为了便于研究，常对梁作一些简化。根据简化后梁的支座形式，我们将梁分成下述三种基本形式。(l）悬臂梁：梁的一端为固定端，另一端为自由端．如图2-20(a）所示。(2）简支梁：梁的一端为固定的铰链支座，另一端为活动铰链支座，如图2-20(b）所示。

(3）外伸梁：梁的支座形式与简支梁相同，但梁的一端（或两端）向支座外伸出，并在外伸端有载荷作用，如图2-20(c）所示。（a)悬臂梁（b)简支梁（c)外伸梁4.2纯弯曲的正应力

观察梁弯曲时的变形情况，如图2-21所示。取一矩形截面直梁，在梁的表面问上横向线a-b

、c-d

和纵向线1-1、2-2

（图2-21(a)）。弯曲变形后，1-1、2-2仍为直线，且与梁轴线正交，纵向线成为两段圆弧线，其中a-b

缩短，c-d

伸长（图2-21(b)）。（a)弯曲变形前（b)弯曲变形后图2-21梁弯曲时的变形情况设想梁是由平行于轴线的众多纤维组成，在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压，只发生伸长和缩短变形。由此可知，当梁弯曲时，上层纤维缩短，下层纤维拉长，中间附近有一层纤维既不缩短又不伸长，这一层纤维称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴，由于整体变形的对称性，中性轴由与纵向对称面垂直（图2-21(c)）。由此可知，梁在弯曲时，上层纤维受到压力的作用，即受压应力：下层纤维受拉力作用，即受拉应力：中性层既不受压也不受拉，应力则为零。

(c)中性层与中性轴图2-21梁弯曲时的变形情况对称截面的应力的大小与到中性轴的距离成正比，越靠近边缘，纤维的变形量越大，边缘的应力值最大，其最大正应力可用下面的公式进行计算

式中：σmax——横截面上的最大正应力（MPa）；

Mmax——作用在横截面上的最大弯矩（N∙mm）；Wz

——抗弯截面模量（mm3）。梁弯曲时横截面上的应力为拉应力或压应力，均为正应力，且应力在截面上的分布不均匀，分布规律如图2-28所示。图2-28弯曲时横截面正应力分布规律

第5节组合变形构件的受力情况分为基本受力（或基本变形）形式（如中心受拉或受压，扭转，平面弯曲,剪切）和组合受力（或组合变形）形式。在前面各章分别讨论了杆件在拉伸(挤压)、剪切、扭转和弯曲基本变形时的应力和强度计算。工程实际中杆件在荷载作用下所发生的变形，经常是两种或两种以上基本变形的组合，这种变形称为组合变形。

例如图2-29(a)所示钻床立柱AB承受轴力F引起的拉伸和弯曲的拉弯组合变形。如图2-29(b)所示传动轴AB承受力偶M引起的扭转和力F1

、F2引起的弯曲，是弯扭组合变形。（a)钻床立柱（b）传动轴图2-29组合变形第6节交变应力和疲劳强度6.1交变应力的币既念在工程实际中，还经常遇到随时间做周期性变化的载荷，这种载荷称为交变载荷。在交变载荷作用下，杆件内各点应力也随时间作周期性的变化。

例如车辆的轮轴（图2-24（a)）受到外力作用后产生纯弯曲变形，现研究跨中截面上最外缘任一点A处的应力情况（图2-24(b)）。随着轮轴的转动，当A点处于位置1时，其正应力为最大拉应力;当A点处于位置2时，正应力为零：当A点处于位置3时，其正应力为最大压应力；当A点处于位置4时，应力又为零。可见，在车辆轮轴不断转动的过程中，A点处的应力不断地变化。这种随时间作周期性变化的应力，称为交变应力。（a)(b)图2-24交变应力

若以时间t为横坐标，以应力σ为纵坐标，就可绘出承受交变应力的杆件内任一点处的应力随时间作周期性变化的曲线。我们把应力值从σmax变到σmin

，再从σmin

变到σmax的过程称为一个应力循环。交变应力循环中最小应力与最大应力的比值，称为循环特征，用r

表示，即

r=-1的应力循环为对称循环；r≠-1的应力循环为非对称循环．其中r=O的应力循环为脉动循环。6.2杆件的疲劳破坏6.2.1疲劳破坏的概念

疲劳破坏是机械零件失效的主要原因之一，约有80％以上机械零件的失效属于疲劳破坏。实践表明金属材料在交变应力的作用下，杆件所承受的应力虽然低于静载荷作用下的抗拉强度，甚至低于屈服强度，但经过较长一段时间的工作会产生裂纹或发生突然断裂，金属的这种破坏过程称为疲劳破坏。由于疲劳破坏总是使杆件在一定时间内失效，危害性很大，所以需要引起我们的高度重视。

6.2.2疲劳破坏特征

(1）构件内的最大应力远小于材料的静应力强度极限就发生突然的破坏。(2）塑性材料在交变应力作用下，没有显著的塑性变形就发生突然的断裂。(3）疲劳破坏的断日，明显地呈现光滑和粗糙的两个区域。第7节压杆稳定7.1压杆稳定的概念在前面讨论压杆的强度问题时，认为只要满足直杆受压时的强度条件，就能保证压杆的正常工作。这个结论只适用于短粗压杆。而细长压杆在轴向压力作用下，其破坏的形式与强度问题截然不同。

例如，一根长300mm的钢制直杆，其横截面的宽度为11mm，厚度为0.6mm，材料的抗压许