正弦函数余弦函数的性质全

关于正弦函数余弦函数的性质全第1页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五正、余弦函数图像特征：---11--1在函数的图象上，起关键作用的点有：最高点：最低点：与x轴的交点：注意：函数图像的凹凸性！知识回顾:第2页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五----11--1在函数的图象上，起关键作用的点有：最高点：最低点：与x轴的交点：注意：函数图像的凹凸性！余弦函数图像特征：第3页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五x6yo--12345-2-3-41y=sinx(xR)

x6o--12345-2-3-41yy=cosx(xR)

一、正弦、余弦函数的周期性第4页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。注：1、T要是非零常数

2、“每一个值”只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数（如f(x0+t)f(x0)）

3、周期函数的周期T往往是多值的（如y=sinx2,4,…,-2,-4,…都是周期）4、周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数是周期函数，，最小正周期是余弦函数是周期函数，，最小正周期是一.周期性函数的周期是函数的周期是第5页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五二.奇偶性为奇函数为偶函数第6页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五三.定义域和值域正弦函数定义域：R值域：[-1，1]余弦函数定义域：R值域：[-1，1]第7页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五练习下列等式能否成立？×√第8页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五例1.求下列函数的定义域和值域。定义域值域[0,1][2,4][0,2]第9页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五练习：求下列函数的定义域、值域解(1)：定义域：R.值域：[-1,1].∴值域为解（2）：∵-3sinx≥0∴sinx≤0∴定义域为{x|π+2kπ≤x≤2π+2kπ,k∈Z}又∵-1≤sinx≤0∴0≤-3sinx≤3第10页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五探究：正弦函数的最大值和最小值最大值：当时，有最大值最小值：当时，有最小值四.最值第11页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五探究：余弦函数的最大值和最小值最大值：当时，有最大值最小值：当时，有最小值第12页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五x6o--12345-2-3-41y当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当四、正弦、余弦函数的最值x6yo--12345-2-3-41第13页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五例题求使函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值。化未知为已知分析：令则第14页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.解：这两个函数都有最大值、最小值.（1）使函数取得最大值的x的集合，就是使函数取得最大值的x的集合

使函数取得最小值的x的集合，就是使函数取得最小值的x的集合

函数的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.第15页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五练习.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.解：（2）令t=2x,因为使函数取最大值的t的集合是所以使函数取最大值的x的集合是同理，使函数取最小值的x的集合是函数取最大值是3，最小值是-3。第16页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五五、探究：正弦函数的单调性当在区间……上时，曲线逐渐上升，sinα的值由增大到。当在区间上时，曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。第17页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五探究：正弦函数的单调性正弦函数在每个闭区间都是增函数，其值从－1增大到1；而在每个闭区间上都是减函数，其值从1减小到－1。第18页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五探究：余弦函数的单调性当在区间上时，曲线逐渐上升，cosα的值由增大到。曲线逐渐下降，sinα的值由减小到。当在区间上时，第19页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五探究：余弦函数的单调性由余弦函数的周期性知：其值从1减小到－1。而在每个闭区间上都是减函数，其值从－1增大到1；在每个闭区间都是增函数，第20页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五练习P46(4)先画草图，然后根据草图判断第21页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五练习P46练习1第22页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五五、正弦函数的单调性

y=sinx(xR)增区间为[，]

其值从-1增至1xyo--1234-2-31

x

sinx

…0………-1010-1减区间为[，]

其值从1减至-1？？？[

+2k,

+2k],kZ[

+2k,

+2k],kZ第23页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五五、余弦函数的单调性

y=cosx(xR)xcosx-

……0…

…-1010-1减区间为，

其值从1减至-1[2k,

2k+],kZyxo--1234-2-31增区间为其值从-1增至1[+2k,+2k],kZ第24页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五

例3比较下列各组数的大小:学以致用第25页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第26页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第27页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五正弦函数的图象对称轴：对称中心：六、正弦、余弦函数的对称性第28页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五余弦函数的图象对称轴：对称中心：第29页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五六、正弦、余弦函数的对称性x6yo--12345-2-3-41x6o--12345-2-3-41yy=sinx的图象对称轴为：y=sinx的图象对称中心为：y=cosx的图象对称轴为：y=cosx的图象对称中心为：

任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.第30页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五C该函数的对称中心为.（）第31页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五为函数的一条对称轴的是（）解：经验证，当时为对称轴练习第32页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五函数y=sinxy=cosx图形定义域值域最值单调性奇偶性周期对称性1-1时，时，时，时，增函数减函数增函数减函数1-1对称轴：对称中心：对称轴：对称中心：奇函数偶函数第33页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五求函数的对称轴和对称中心解（1）令则的对称轴为解得：对称轴为的对称中心为对称中心为练习第34页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五练习求函数的对称轴和对称中心第35页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五正弦函数、余弦函数的性质

习题课第36页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五6

3ππ/2一、基础题型A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．以上都不对[答案]

B第37页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五3．函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数，0≤φ<2π，则φ的值为或

.4．函数y＝2cos3x的单调增区间为，

.第38页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第39页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第40页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第41页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第42页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五(2)①若a>0，当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，y取最大值为a＋b；当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，y取最小值为－a＋b.②若a<0，当cosx＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，ymin＝a＋b；当cosx＝－1，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymax＝－a＋b.第43页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第44页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第45页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第46页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第47页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第48页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第49页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五转化换元法第50页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第51页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第52页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第53页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第54页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第55页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第56页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第57页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五[分析]

根据函数奇偶性定义进行判断，先检查定义域是否关于原点为对称区间，如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．第58页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第59页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第60页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第61页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五[辨析]

解答忽视了以下内容：三角形中的最小角θ的范围不是0°<θ<90°，而是0°<θ≤60°，又∵三角形是不等边三角形，故0°<θ<60°.第62页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第63页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第64页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第65页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五[辨析]

∵b的符号未定，故－bcosx的最值不仅与cosx有关，还与b的正负有关，因此应按b>0与b<0讨论．第66页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第67页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第68页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五练习求下列函数的单调区间：

第69页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五归纳：解题中应注意三角函数的有界性对函数值的影响第70页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五变形1:分类讨论法第71页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五变形2:已知关于x的方程2sin2x-cosx+2m=0有解,求m的取值范围.法1:分离参数法第72页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五[答案]

D第73页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五[答案]

C第74页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第75页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五[答案]

B第76页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五4．sin1°、sin1、sinπ°的大小顺序是(

)A．sin1°<sin1<sinπ°B．sin1°<sinπ°<sin1C．sinπ°<sin1°<sin1D．sin1<sin1°<sinπ°[答案]

B[解析]

1弧度＝57.3°，∵y＝sinx在(0°，90°)上是增函数，且1°<π°<1，∴sin1°<sinπ°<sin1.第77页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五5．下列函数中，奇函数的个数为(

)①y＝x2sinx;

②y＝sinx，x∈[0,2π]；③y＝sinx，x∈[－π，π];④y＝xcosx.A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]

C[解析]

∵y＝sinx，x∈[0,2π]的定义域不关于原点对称，∴②不是奇函数，①、③、④符合奇函数的概念．第78页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五6．y＝2sinx2的值域是(

)A．[－2,2] B．[0,2]C．[－2,0] D．R[答案]

A[解析]

∵x2≥0，∴sinx2∈[－1,1]，∴y＝2sinx2∈[－2,2]．第79页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五第80页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五8．函数y＝asinx－b的最大值为1，最小值为－7，则a＝________，b＝________.[答案]

±4

3第81页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五3、求下列函数的值域第82页，共89页，2022年，5月20日，9点19分，星期五正弦函数、余弦函