20种排列组合常见模型 专题03 排队问题(解析版)

专题3排队问题例1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种【解析】可分3步．第一步，排两端，■•从5名志愿者中选2名有A2=20种排法，5第二步，t2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有A4=24种排法4第三步，2名老人之间的排列，有A2=2种排法2最后，三步方法数相乘，共有20x24x2=960种排法故选：B.例2.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )A．C2A2 B．C2A6 C．C2A2 D．C2A283 86 86 85【解析】从后排8人中选2人共C2种选法，8这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，•••为A26故选：C．例3．10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为( )A．C2A5 B．C2A2 C．C2A2 D．C2A275 75 73 74【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，首先从后排的7人中选出2人，有C2种结果，7再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有A2，5•不同的调整方法有C2A2,75故选：B.例4.在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是()A.6 B.12 C.24 D.18【解析】在数字1,2,3与符号“+”，“-”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有A3=6种排法，3再将“+”，“—”两个符号插入，有A2=2种方法，共有12种方法，2故选：B.例5.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有( )A.A4A5 B.A3A4A3 C.C1A4A5 D.A2A4A54 5 2 4 5 3 4 5 2 4 5【解析】先把每种品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有A2种放法，2再考虑4幅油画本身排放有A4种方法，45幅国画本身排放有A5种方法，5故不同的陈列法有A2A4A5种，245故选：D.例6.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若女生甲不站两端，3位男生中有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是( )A.360 B.288 C.216 D.96【解析】先考虑3位男生中有且只有两位相邻的排列共有C2A2A2A3=432种，3243在3男生中有且仅有两位相邻且女生甲在两端的排列有2xC2A2A2A2=144种，3232不同的排列方法共有432-144二288种故选：B.例7．公因数只有1的两个数，叫做互质数．例如：2与7互质，1与4互质．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列a・a・a 中，使相邻两数都互质的不同排列方式共有( )种.2 3 4 5 6 7A．576 B．720 C．864 D．1152【解析】根据题意，先排1、5、7,有A3=6种情况，排好后有4个空位，3对于2、4、6和3这四个数，分两种情况讨论：①3不在2、4中间，可先将2、4、6排在4个空位中，有A3二24种情况，3不能放在64的两边，有5种排法，则此时有24x5二120种不同的排法，②3在2、4之间，将这三个数看成整体，有2种情况，与6一起排在4个空位中，有A2=12种情况，则此4时有2x12=24种不同的排法，则2、4、6和3这四个数共有120+24二144种排法；则使相邻两数都互质的不同排列方式共有6x144二864种；故选：C．例8．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )A．168 B．20160 C．840 D．560【解析】从后排8人中选2人共C2种选法，8这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，6x5则不同调整方法的种数是C2A2二840.86故选：C．例9．2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对8列电煤货运列车进行编组调度，决定将这8列列车编成两组，每组4列，且甲、乙两列列车不在同一小组，甲列车第一个开出，乙列车最后一个开出．如果甲所在小组4列列车先开出，那么这8列列车先后不同的发车顺序共有( )A．36种 B．108种 C．216种 D．720种【解析】由于甲、乙两列列车不在同一小组，因此，先将剩下的6人平均分组有C3C3,63再将两组分别按要求排序，各有A3种，3因此，这8列列车先后不同的发车顺序共有C3C3A3A3=720种.6333故选：D.例10．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有( )如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法【解析】A中A4A4=576，44B中A3A5二720，35C中A4(A3+C2C2A2A2+3A3)二1440，4 3 3 3 2 2 3D中A4A3二1440.45综上可得：CD正确．故选：CD．例11．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有576个.(用数字作答)【解析】首先把1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻当做三个元素进行排列有A3种结果，3这三个元素形成四个空，把7和8在这四个位置排列有A2种结果，4三对相邻的元素内部各还有一个排列A2，2根据分步计数原理得到这种数字的总数有A3A2A2A2A2=576，34222故答案为：576.例12．5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数TOC\o"1-5"\h\z甲站正中间的排法有8!种，甲不站在正中间的排法有 种.甲、乙相邻的排法有 种，甲乙丙三人在一起的排法有 种.甲站在乙前的排法有 种，甲站在乙前，乙站在丙前(不要求一定相邻)的排法 种，丙在甲乙之间(不要求一定相邻)的排法有 种.甲乙不站两头的排法有 种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有 种.5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有 种.女生互不相邻的排法有 种，男女相间的排法有 种.甲与乙、丙都不相邻的排法有 种.甲乙之间有且只有4人的排法有 种.【解析】(1)甲站正中间的排法有8!，甲不站在正中间的排法有8x8!；甲、乙相邻的排法有2x8!，甲乙丙三人在一起的排法有6x7，;甲站在乙前的排法有-9!，甲站在乙前，乙站在丙前(不要求一定相邻)的排法有!，丙在甲乙之26间(不要求一定相邻)的排法有-9，；3甲乙不站两头的排法有A2A7；甲不站排头，乙不站排尾的排法有9!-2x8，+7，；775名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有2x5，x4，；女生互不相邻的排法有5!xA4；男女相间的排法有5!x4，；6甲与乙、丙都不相邻的排法有9，-2x8，x2+2x7，；甲乙之间有且只有4人的排法，捆绑法.2xA4x4，.7故答案为：(1)8!，8x8，(2)2x8!，6x7，(3)-9!，-9!，-9，；263(4)A2A7；9，-2x8，+7，；(5)2x5，x4，；(6)5，xA4，5，x4，x27 7 6(7)9，-2x8，x2+2x7，；(8)2xA4x4，.7例13.古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有10种(结果用数值表示).【解析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5x2x1x1x1=10故答案为10例14.从集合｛P,Q,R,S｝与｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)、每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是5832 .(用数字作答)、【解析】各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)，共有C2C2A4;每排中字母Q和数4 10 4字0都出现有C1C1A4394符合题意不同排法种数是C2C2A4—C1C1A4二5832.4 104 3 94故答案为：5832例15.从集合｛O,P,Q,R,S｝与｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复).每排中字母O,Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是8424 .(用数字作答).【解析】由题意知每排中字母O,Q和数字0至多只能出现一个，本题可以分类来解这三个元素只选O，有C1C2A=3x36x24394这三个元素只选Q同理有3x36x24这三个元素只选0有C2C1A4=3x9x2494这三个元素OQ0都不选有C2C2A4=3x36x24394根据分类计数原理将(1)(2)(3)(4)加起来3x36x24+3x36x24+3x9x24+3x36x24=8424故答案为：8424例16.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本.将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是—(结果用分数表示).35【解析】由题意知本题是一个古典概型，总事件数是8本书全排列有A8种方法，8

而符合条件的事件数要分为二步完成：首先两套中任取一套，作全排列，有C1・A4种方法;TOC\o"1-5"\h\z4剩下的一套全排列，有A4种方法；4概率为:ClA4A4 1概率为:——4= -A8 358故答案为：一.35例17．三个女生和五个男生排成一排1） 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？2） 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？3） 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？4） 如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？5） 甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？解析】（1）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A6种不同排法•对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有A3种不同的排63法，因此共有A6A3二4320种不同的排法.632）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两端两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有A5种不同的排法，对5于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有A3种方法，因此共有A5A3=146 5 6400种不同的排法．（3）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有A2种排法，对于其中的任意一种排5法，其余六位都有A6种排法，所以共有A2A6=14400种不同的排法.TOC\o"1-5"\h\z6 5 6（4）三个女生和五个男生排成一排有A8种排法，从中扣去两端都是女生的排法A2A6种，就能得到两端不8 3 6都是女生的排法种数，因此共有A8-A2A6=36000种不同的排法.8 3 6（5）甲必须在乙的右边即为所有排列的丄，因此共有A8 =20160种不同的排法.A2 8A222例18．三个女生和五个男生排成一排．如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【解析(1)女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有A3A6=432036种；女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有A5A3=14400种；56两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有A2A6=14400种；56男生按固定顺序，从8个位置中,任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有A3=3368种，三个女生站在前排，五个男生站在后排，A3A5=720种35例19．三个女生和四个男生排成一排．如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？如果女生必须全分开，有多少种不的排法？如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？如果最高的站中间，两边均按从高到低排列，有多少种不同的排法？如果四个男同学按从高到低排列，有多少种不同的排法？【解析(1)根据题意，用捆绑法，3名女生看为一个整体，考虑其顺序有A3种情况，3再将其与4名男生进行全排列，有A5 种情况，5则共有A5XA3=720种排法；53用插空法，先将4名男生全排列，有A4种情况，4排好后，有5个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有A3种情况，5则共有A%A3=1440种排法；5在4名男生中任取2人，安排在两端，有2C2种情况，4再将剩余的5人安排在中间的5个位置，有A5种情况，5则共有2C2xA5=1440种排法；45(4)用排除法，7人进行全排列，有A7种排法，7两端都站女生，即先在3名女生中任取2人，再将剩余的5人安排在其他5个位置，有A2・A5种站法,5则共有A7-A2・A5=4320种排法；7 3 5只需将最高的人放在中间，在剩余的6人中任取3人放在左边，其他的3人放在右边，由于顺序固定，则左右两边只有一种排法，则有C3=20种排法；6先在7个位置中安排3名女生，有A3种排法，7剩余4个位置安排4名男生，有2种情况，则有2A3=420种排法.7例20．现有8个人(5男3女)站成一排．女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？其中甲必须站在排头有多少种不同排法？其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？其中甲乙丙不能彼此相邻，有多少种不同排法？男生在一起，女生也在一起，有多少种不同排法？第3和第6个排男生，有多少种不同排法？甲乙不能排在前3位，有多少种不同排法？女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【解析】(1)根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有A3种情况,3将这个整体与5名男生全排列，有A6种情况,6则女生必须排在一起的排法有A3A6种；36根据题意，甲必须站在排头，有2种情况将剩下的7人全排列，有A7种情况,7则甲必须站在排头有2A7种排法;7根据题意，将甲乙两人安排在中间6个位置，有A2种情况,6将剩下的6人全排列，有A6种情况,6则甲、乙两人不能排在两端有A2A6种排法;66根据题意，先将出甲乙之外的6人全排列，有A6种情况，排好后有7个空位,6则7个空位中，任选2个，安排甲乙二人，有A2种情况,7则甲、乙两人不相邻有A2A6种排法;76根据题意，将8人全排列，有A8种情况，8其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有1As种不同的排法；28根据题意，先将出甲乙丙之外的5人全排列，有A5种情况，排好后有6个空位,5则6个空位中，任选3个，安排甲乙丙三人，有A3种情况,6其中甲乙丙不能彼此相邻有A5A3种不同排法;56根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有A3种情况,3再将5名男生看成一个整体，考虑5人之间的顺序，有A5种情况,5将男生、女生整体全排列，有A2种情况,2则男生在一起，女生也在一起，有A2A3A5种不同排法;235根据题意，在5个男生中任选2个，安排在第3和第6个位置，有C2A2=A2种情况，25将剩下的6人全排列，有A6种情况，6则第3和第6个排男生，有A2A6种不同排法；56根据题意，将甲乙两人安排在后面的5个位置，有A2种情况，5将剩下的6人全排列，有A6种情况，6甲乙不能排在前3位，有A2A6种不同排法？56根据题意，将5名男生全排列，有A5种情况，排好后除去2端有4个空位可选，5在4个空位中任选3个，安排3名女生，有A3种情况，4则女生两旁必须有男生，有A5A3种不同排法.54例21．已知有7名同学排队照相：若排成两排照，前排4人，后排3人，有多少种不同的排法？若排成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，有多少种不同的排法？若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，有多少种不同的排法？若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，有多少种不同的排法？若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，有多少种不同的排法？若排成一圈，有多少种不同的排法？【解析】有7名同学排队照相：若徘成两排照，前徘4人，后排3人，有A4・A3=5040种方法.TOC\o"1-5"\h\z7 3若徘成两排照，前排4人，后排3人，甲必须在前排，乙丙必须在同一排，若乙、丙在前排，则从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到前排，其余的在后排，方法有A1・A4・A3=576种，4 3若乙、丙在后排，从除了甲、乙、丙外的4人中再选一人放到后排，其余的人在前排，方法有A1・A3・A4=576种，4 3 4故共有576+576二1152种方法.若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，将其余的5人排好5人中间有4个空，把甲乙当做一个整体插入，方法有A2・A5・Ai=960种.TOC\o"1-5"\h\z2 5 4若徘成一排照，7人中有4名男生，3名女生，男女相间，先排4名男生，4名男生中间有3个空插入3名女生，有A4・A3=144种的排法.4 3若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，如果两端不能都排男生，若两端都是男生，方法有A2・A5=1440种，而所有的方法有A7=5040种，4 5 7故两端不能都排男生的排法有5040-1440二3600种.A7若排成一圈，即弯曲排成一排，有f=720种不同的排法.7例22．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排拍照．甲必须排在中间，有多少种不同的排法？丁不能排在中间，有多少种不同的排法？丙、丁必须排在两端，有多少种不同的排法？甲、乙两人都不能排在首末两个位置，有多少种不同的排法？甲不能站排头，乙不能站排尾，有多少种不同的排法？【解析】(1)甲排中间，其他任意排列，有A4=24种；4丁不能排在中间，先排丁有Ci=4种排法，然后其他任意排有A4=24种，44所以丁不能排在中间共有4x24二96种；丙、丁必须排在两端：先排丙丁有A2=2，其他任意排列有A3=6种，23所以丙、丁必须排在两端共有2x6二12种；甲、乙两人都不能排在首末两个位置有，先排甲乙有A2=6种，其他任意排列有A3=6种，33所以甲、乙两人都不能排在首末两个位置共有6x6二36种；甲不能站排头，乙不能站排尾，分为两类，甲在排尾，其他任意排列有A4=24种，4甲不在排尾，甲有C1=3种，然后乙有C1=3种，其他任意排列有A3=6种，3 3 3所以甲不能站排头，乙不能站排尾共有24+3x3x6=78种.例23．7位同学站一排．（1） 站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？（2） 其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法？（3） 甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（4） 甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种？（5） 甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（6） 甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（7） 甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（8） 甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有少种？（9） 甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？（10） 甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？（11） 甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？【解析】7位同学站一排，（1） 站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法，此没有限制条件是全排列问题，故排法种数是A7种；7（2） 其中甲站正中间的位置，共有多少种不同的排法，此问题是甲定位置的排法，相当于六个元素全排，故排法种数是A6种；6（3） 甲、乙只能站在两端的排法共有多少种，此问题分两步解决，先排甲乙两人，再排其余五人，故排法种数是A2A5种；25（4） 甲不排头，乙不排尾的排法共有多少种，可由乙在排头与不在排头两种情况解答，乙在排头时有A6种，6乙不排头，先排乙，有5种排法，再排第一位，有5种排法，其他五人全排列，故总的排法种数是5x5xA5；5甲、乙两同学必须相邻的排法，可先将甲乙两人绑定，共42种，将其看作一个元素与另五个元素全排2列，有A6种，故共有A2A6种；26甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法计数，可先将甲乙两人绑定，共12种，将2其看作一个元素与除丙外四个元素全排列，再将丙插入它们隔开的空档中，共有A2A5A1种；254甲、乙两同学不能相邻的排法可先将甲乙两人之外的五人全排列，再将两人插入隔开的六个空中，共有A5xA2种；56甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法计数，可先将甲乙丙外的四个人进行全排列，再将三人分别插入隔开的五个空档中，故共有A4A3种；45甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种，可通过排除法计数，从七人的全排列数中减去三人相邻的排法种数，共有A7-A3A5种；3 5甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种的计数，可先将甲乙绑定，然后看作一个元素将之与丙分别插入另外四个元素隔开的空档中，故共有A2A4A2种？245甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种的计数，可这样考虑，甲在乙左与甲在乙右种数是一样的，所以共有-A7种排法.27例24．6位同学站在一排照相，按下列要求，各有多少种不同排法？甲、乙必须站在排头或排尾甲、乙.丙三人相邻甲、乙、丙三人互不相邻甲不在排头，乙不在排尾若其中甲不站在左端，也不与乙相邻.【解析】