几何与代数：第6周第2次课-向量的定义及线性运算

第三章几何空间第一节平面向量及其运算的推广立体几何，平面解析几何空间解析几何矩阵理论线性代数提供手段提供直观笛卡儿[法]RenéDescartes

(1596.3-1650.2)费马[法]

PierredeFermat

(1601.8-1665.1)伯努利[瑞士]JohannBernoulli

(1667.7-1748.1)欧拉[瑞士]LeonhardEuler

(1707.4-1783.9)

§1.2

§1.3

§1.4

第三章几何空间笛卡儿[法]RenéDescartes(1596.3-1650.2)

费马[法]PierredeFermat

(1601.8-1665.1)

伯努利[瑞士]JohannBernoulli

(1667.7-1748.1)

欧拉[瑞士]LeonhardEuler

(1707.4-1783.9)

拉格朗日[法]Joseph-LouisLagrange

(1736.1-1813.4)本章主要内容向量的线性运算向量的内积、外积、混合积向量的坐标直线与平面的方程本次课内容概要向量的线性运算共线、共面向量的判定一.向量的概念及其表示§3.1平面向量及其运算的推广A(起点)B(终点)AB向量的AB长度(模):||AB||零向量:||||=0单位向量:长度=1两个向量相等:长度相等,方向一致第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广二.空间向量的线性运算1.加法

ABC+=AB+BC=AC

(1)三角形法则||+

||||||+||

||.注:||||||||第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广(1)三角形法则(2)平行四边形法则

ABC+=AB+BC=AC

一.空间向量的线性运算1.加法第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广

(3)负向量

注:=.(4)向量的减法=+().

第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广

(5)运算性质①交换律+=+

.②结合律(+

)+=+(

+).③

+=.④

+()=.第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广

例.CABDGEFHDE=DA+AE=AD+AE

=AEAD

AG=AB+BF+FG

=AB+AE+AD

2.向量与数量的乘法定义3.2一个实数m与一个向量的积是一个向量，记为m

，其长度||m

||=|m|·||

||.若||m

||≠0,则当m>0时,m

与同向；当m<0时,m

与

反方向.2-2第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广(1).注：

①m=m=0或=.(2).运算性质

②(1)=.③单位向量;非零向量的单位化:

/||||

①1=;②m(n)=(mn);③(m+n)=m

+n;④

m(+)=m+m.第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广3.向量的加法和数乘统称为向量的

线性运算；4.设1,2,…,

s为一组向量，k1,k2

,…,

ks

为一组实数，则称为1,2,…,

s的一个线性组合.第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广

k1

1+k2

2+…+

ks

s例.设四面体O-ABC如图所示，其中D,E,F,G,H,I为六条棱的中点.(1)设DG,EH,FI的中点分别为J,K,L.试将向量OJ，OK，OL表示成OD，OE，OF的线性组合.(2)证明：DG,EH,FI交于一点且被交点平分.AGDOBCEIFH第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广

例.OLOIOABCDFEIGHOABCDFILE=OF+OI

1212=(OA+OB)12=OD+OE

第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广

例.OLOABCDFEIGHOABCDFILE=OF+OI

1212=OD+OE+OF

121212第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广

例.OLOABCDFEIGHOABCDFJE=OD+OE+OF

121212GOJ=OD+OE+OF

121212第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广

例.OLOABCDFEIGHOABCDFKE=OD+OE+OF

121212OJ=OD+OE+OF

121212OK=OD+OE+OF

121212H第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广

例.OJOABCDFEIGH=OK=OL

=OD+OE+OF

121212DG,EH,FI交于一点且被交点平分三.共线、共面向量的判定1.定义给定向量1,2,…,

s,令

i

=OAi

(i=

1,2,…,

s).若点O,A1,A2,…,As在同一直线（平面）上，则称向量1,

2,…,

s共线(共面).OA1A2As12

s共线=平行第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广规定零向量与任何向量共线设1,2,…,

s,β为一组向量，若存在一组实数k1,k2,…,

ks使得

β=k11+k22+…+

kss

,

则称β可由1,2,…,s线性表示.

第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广3.设1,2,…,

s为一组向量,若存在一组不全为零的实数k1,k2,…,

ks使得

k11+k22+…+

kss=,

则称1,2,…,

s线性相关，否则

称1,2,…,

s线性无关.定理3.1

设向量,则

向量β与共线可以由唯一线性表示(即存在唯一的实数m使得=m).

推论3.1

向量1,2共线

1,2线性相关

(即存在不全为零的实数k1,k2使得

k11+k22=).第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广

=2,

=.122

=,2+

=.4.判定定理3.2

若向量,

不共线,则

向量与,共面

可以由,唯一线性表示(即存在唯一的实数对(m,n),

使得

=m+n

).

第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广

k1k2=k1+k2

第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广

k1k2=k1+k2

k1k2+1=

推论3.2

向量1,2,3共面

1,2,3线性

相关(即存在不全为零的实数k1,k2,k3,使得k11+k22+k33

=).

第三章几何空间§3.1平面向量及其运算的推广

注.

A,B,C,D四点共面ABD

C....

AB,AC,AD共面作业习题二（B）30,31习题三（B）2,3,5上交时间：10月30日（周二）另：

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例.设M是ABC的重心,O是ABC所在平面上任意一点,证明:ABCMOOM=(OA+OB+OC).133OM=OA+OB+OC(OMOA)+(OMOB)+(OMOC)=AM+BM+CM=(AB+AC)+(BA+BC)+(CA+CB)

=131313第三章