2022-2023学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.5增长速度的比较4.6函数的应用二4.7数学建模活动：生长规律的描述学案新人教B版必修第二册

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B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·ex＋b D．y＝alnx＋b4．计算机的价格大约每3年下降23课堂探究·素养提升——强化创新性题型1平均变化率的大小比较[数学运算]例1已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，h(x)＝log3x，比较这三个函数在区间[a，a＋1](a>1)上的平均变化率的大小．状元随笔计算平均变化率，再利用指数与对数函数的性质比较大小．方法归纳不同函数平均变化率大小的比较计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率；利用指数、对数函数的性质比较大小，一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小．跟踪训练1若函数f(x)＝x，g(x)＝x2，h(x)＝x3在[0，1]上的平均变化率分别记为m1，m2，m3，则下面结论正确的是()A．m1＝m2＝m3 B．m1>m2>m3C．m2>m1>m3 D．m1<m2<m3题型2几类函数模型的增长差异[经典例题]例2(1)下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2018x B．y＝x2018C．y＝log2018x D．y＝2018x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是________．状元随笔(1)由题意，指数函数增长速度最快．(2)观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况→找出增长速度跟踪训练2分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．状元随笔在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：题型3指数、对数函数模型[教材P43例题2]例3按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》(国发〔2016〕74号)的要求，到2020年，全国二氧化硫排放总量要控制在1580万吨以内，要比2015年下降15%.假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等，2015年后第t(t＝0，1，2，3，4，5)年的二氧化硫排放总量最大值为f(t)万吨．(1)求f(t)的解析式；(2)求2019年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内(精确到1万吨)．方法归纳应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型的应用类型．常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．(2)应用指数函数模型时的关键．关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．跟踪训练3某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年题型4函数模型的选择问题[经典例题]例4某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？状元随笔本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10，1000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x.不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．方法归纳数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益．跟踪训练4某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？状元随笔通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．4．5增长速度的比较4．6函数的应用(二)4．7数学建模活动：生长规律的描述新知初探·自主学习知识点一2．指数函数(底数a＞1)3．对数函数(底数a＞1)随自变量的增大越来越慢[基础自测]1．解析：指数函数增长速度快于幂函数．幂函数增长速率快于对数函数．答案：A2．解析：设某商品原来价格为a，依题意得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.9216a，(0.9216－1)a＝－0.0784a，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.答案：A3．解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.答案：B4．解析：设计算机价格平均每年下降p%，由题意可得13＝(1－p%)3，∴p%＝1－1∴9年后的价格大约为y＝8100×1+＝8100×13答案：300课堂探究·素养提升例1【解析】因为ΔfΔx＝3a+1−3aΔgΔx＝2ΔhΔx＝log3a+1−log又因为a>1，所以2×3a>2×31＝6，log3(1＋1a)<log3(1＋11)＝log32<log因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小．跟踪训练1解析：函数f(x)＝x在[0，1]上的平均变化率为m1＝1−01−0＝1；函数g(x)＝x2在[0，1]上的平均变化率为m2＝1函数h(x)＝x3在[0，1]上的平均变化率为m3＝13所以m1＝m2＝m3.答案：A例2【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A(2)y2跟踪训练2解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1.5850.由此可知，在区间[1，＋∞)上，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．例3【解析】(1)设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比均为r，因为f(0)表示2015年的排放总量，所以由题意可知f(t)＝f(0)(1－r)t，t＝0，1，2，3，4，5.又因为f所以f(0)＝3160017，1－r＝0.85f(t)＝3160017×0.85(2)由(1)可知f(4)＝3160017×因此2019年全国二氧化硫排放总量要控制在1632万吨以内．跟踪训练3解析：设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x>200，即1.12x>21.3⇒x>lg21.3lg1.12答案：B例4【解析】借助信息技术画出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(图1)．观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．图1下面通过计算确认上述判断．先计算哪个模型的资金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间(805，806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当x＞x0时，对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000]上单调递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有y≤0.25x，即log7x＋1≤0.25x成立．令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10，1000]，利用信息技术画出它的图象(图2)．图2由图象可知函数f(x)在区间[10，1000]上单调递减，因此f(x)≤f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以，当x∈[10，1000]时，y≤0.25x，说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．跟踪训练4解析：由题意，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y＝ax＋b时，将B，C两点的坐标代入函数式，得3a+b=1.3，2a+b=1.2，解得所以有关系式y＝0.1x＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1000双，这是不太可能的．(2)设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得a+b+c=1，解得a=−0.05，b=0.35，c=0.7.所以有关系式y＝－0.05x2＋0.35结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x＝3.5)，不合实际．(3)设模拟函数为y