函数的奇偶性周期性

优选文档函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇函数偶函数一般地，若是关于函数f(x)的定义域内任意一个x定义都有f(－x)＝－f(x)，那么函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做f(x)就叫做奇函数偶函数图象特色关于原点对称关于y轴对称2.函数的周期性(1)周期函数关于函数y＝f(x)，若是存在一个非零常数T，使适合x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期若是在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．判断以下结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√)(2)偶函数的图象不用然过原点，奇函数的图象必然过原点．(×)(3)若是函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(4)定义域关于原点对称是函数拥有奇偶性的一个必要条件．(√)(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)(6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)(7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×)(8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)(10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√)考点一判断函数的奇偶性.优选文档命题点用函数奇偶性定义判断[例1](1)以下函数为奇函数的是()A．y＝xB．y＝exC．y＝cosxD．yexex解析：关于A，定义域不关于原点对称，故不吻合要求；关于B，f(－x)≠－f(x)，故不吻合要求；关于C，满足f(－x)＝f(x)，故不吻合要求；关于D，∵f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴y＝ex－e－x为奇函数，应选D.答案：D(2)以下函数中为偶函数的是()1C．y＝(x－1)2D．y＝2xA．y＝xB．y＝lg|x|解析：依照奇、偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D为非奇非偶函数．答案：B(3)函数f(x)＝3－x2＋x2－3，则()A．不拥有奇偶性B．可是奇函数C．可是偶函数D．既是奇函数又是偶函数3－x2≥0，解析：由得x＝－3或x＝3.x2－3≥0，∴函数f(x)的定义域为{－3，3}．∵对任意的x∈{－3，3}，－x∈{－3，3}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．答案：D[方法引航]判断函数的奇偶性的三种重要方法(1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称．(3)性质法：.优选文档①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．判断以下函数的奇偶性1－x1－x(1)f(x)＝(x＋1)1＋x；(2)f(x)＝lg1＋x.1－x解：(1)要使函数有意义，则1＋x≥0，解得－1＜x≤1，显然f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．1－x(2)由1＋x＞0?－1＜x＜1，定义域关于原点对称．又f(－x)＝lg1＋x1x)11－x＝lg(＝－lg＝－f(x)，f(－x)≠f(x)．故原函数是奇函数．1－x1x1＋x考点二函数的周期性及应用1.周期性的简单判断命题点2.利用周期性求函数值[例2](1)以下函数不是周期函数的是()A．y＝sinxB．y＝|sinx|C．y＝sin|x|D．y＝sin(x＋1)解析：y＝sinx与y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，B的周期T＝π，C项y＝sin|x|是偶函数，x∈(0，＋∞)与x∈(－∞，0)图象不重复，无周期．答案：C1(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若关于x≥0，都有f(x＋2)＝－fx，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2017)＋f(2019)的值为________．1解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－fx，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．1∴f(－2017)＝f(2017)＝f(1)＝log22＝1，f(2019)＝f(3)＝－f1＝－1，.优选文档f(－2017)＋f(2019)＝0.答案：0[方法引航](1)利用周期f(x＋T)＝f(x)将不在解析式范围之内的x经过周期变换转变到解析式范围之内，以方便代入解析式求值．(2)判断函数周期性的几个常用结论．f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，周期T＝2|a|.1②f(x＋a)＝fx(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；1③f(x＋a)＝－fx，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．1．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－f1x”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2017)＋f(2019)＝________.解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4∴f(－2017)＝1，f(2019)＝－1，∴f(－2017)＋f(2019)＝0.答案：02．若本例(2)条件变为f(x)关于x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求f(－2017)＋f(2019)的值．解：由f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2∴f(2019)＝f(1)＝log22＝1，f(－2017)＝f(2017)＝f(1)＝1，∴f(－2017)＋f(2019)＝2.考点三函数奇偶性的综合应用已知奇偶性求参数命题点2.利用奇偶性、单调性求解不等式3.利用奇偶性求解析式或函数值2x＋1[例3](1)若函数f(x)＝2x－a是奇函数，则使f(x)＞3建立的x的取值范围为()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)2－x＋12x＋1解析：因为函数y＝f(x)为奇函数，因此f(－x)＝－f(x)，即2－x－a＝－2x－a.化简可得a＝1，2x＋12x＋12x＋1－32x－12x－2则2x－1＞3，即2x－1－3＞0，即2x－1＞0，故不等式可化为2x－1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，应选C.答案：C.优选文档ax＋b12(2)函数f(x)＝2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝.1＋x25①确定函数f(x)的解析式；②用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；③解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.解：①∵在x∈(－1,1)上f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即b＝0，∴f(x)＝ax1＋x2.a又∵f(1)＝2，∴2＝2.解得，a＝1.∴f(x)＝x2，经检验适合题意．25151＋x1＋4②证明：由f′(x)＝1＋x2－2x21－x222＝22.x∈(－1,1)时，1－x2＞0，∴f′(x)＞01＋x1＋xf(x)在(－1,1)上为增函数．－1＜t－1＜11③由f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)，即f(t－1)＜f(－t)．∴－1＜－t＜1得0＜t＜2.t－1＜－t(3)已知f(x)是R上的奇函数，当≥时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝()x0A．－x3－ln(1－x)B．x3＋ln(1－x)C．x3－ln(1－x)D．－x3＋ln(1－x)解析：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]＝x3－ln(1－x)．答案：C[方法引航]1依照奇偶性求解析式中的参数，是利用f－x＝－fx或f－x＝fx在定义域内恒建立，建立参数关系.2依照奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转变.1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．1解析：a－1＋2a＝0，∴a＝3.f(x)＝ax2＋bx为偶函数，则b＝0，∴a＋b＝13.答案：13.优选文档2．定义在R上的偶函数y＝f(x)在[0，＋∞)上递减，且f(1)＝0，则满足f(x)＜0的x的2会集为()A.(,1)(2,)∪(2，＋∞)B.(1,1)∪(1,2)22C.(0,1)∪(2，＋∞)D.(1,1)∪(2，＋∞)22解析：选C.由题意可得f＝f＜0＝1)，又f(x)在[0，＋∞上递减，f()21111因此＞2，即x＞2或x＜－2，解得0＜x＜2或x＞2，因此满足不等式f＜0的x的会集为(0,1)∪(2，＋∞)．2．已知函数21－x11)的值为f(x)＝－x＋logf(2)f(2()31＋xA．2B．－2C．021D．2log31－x1＋x1－x解析：选A.由题意知，f(x)－1＝－x＋log21＋x，f(－x)－1＝x＋log21－x＝x－log21＋x＝－(f(x)－1)，因此f(x)－1为奇函数，则1)－＋1－＝，因此1f(1＝2.f(1f()10f())2222[方法研究]“多法并举”解决抽象函数性诘问题[典例](2017·山东泰安模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函数，给出以下四个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于x＝1对称；③f(x)在[1,2]上是减函数；④f(2)＝f(0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．[解析关系]①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)隐含了用什么结论？什么方法研究？②f(x＋2)＝－f(x)，隐含了什么结论？用什么方法研究．③若f(x)的图象关于x＝1对称，其解析式具备什么等式关系？从何办理研究？f(x)在[－1,0]上的图象与[1,2]上的图象有什么关系？依照什么指导？⑤f(2)，f(0)从哪处计算．.优选文档[解析]第一步：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒建立．(赋值法)：令x＝y＝0，∴f(0)＝0.令x＋y＝0，∴y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．第二步：∵f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数．第三步：由f(x＋2)＝－f(x)?f(x＋4)＝－f(x＋2)?f(x＋4)＝f(x)，(代换法)∴周期T＝4，即f(x)为周期函数．第四步：f(x＋2)＝－f(x)?f(－x＋2)＝－f(－x)．(代换法)又∵f(x)为奇函数，∴f(2－x)＝f(x)，∴关于x＝1对称．第五步：由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于x＝1对称，∴[1,2]上为减函数．(对称法)第六步：由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．(赋值法)[答案]①②③④[回顾反思]此题用图象法更直观．[高考真题体验]1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则以下结论中正确的选项是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C.由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，关于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，因此f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；关于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，因此|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；关于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，因此f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；关于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，因此|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C..优选文档2．(2016·高考山东卷)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，111f(－x)＝－f(x)；当x＞2时，f(x2)f(x2).则f(6)＝()A．－2B．－1C．0D．21解析：选D.由题意可知，当－1≤x≤1时，f(x)为奇函数，且当x＞2时，f(x＋1)＝f(x)，因此f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)．而f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，因此f(6)＝2.应选D.3．(2016·高考四川卷)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f(5)＋f(1)＝________.2解析：综合运用函数的奇偶性和周期性进行变换求值．∵f(x)为奇函数，周期为2，f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0.∵f(x)＝4x，x∈(0,1)，∴f(5)＝f(52)f(1)f(1)2222＝－41＝－2.∴f(5)＋f(1)＝－2.22答案：－24．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.解析：由题意得f(x)＝xln(x＋a＋x2)＝f(－x)＝－xln(a＋x2－x)，因此a＋x2＋x＝1，解得a＝1.a＋x2－x答案：15．(2014·高考四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝4x2＋2，－1≤x＜0，则f(3)＝________.x，0≤x＜1，2解析：由已知易得f(1)＝4(1)221，又由函数的周期为2，可得f(3)＝f(1)＝22221.答案：1课时规范训练A组基础演练.优选文档1．以下函数中为偶函数的是()A．y＝x2sinxB．y＝x2cosxC．y＝|lnx|D．y＝2－x解析：选B.因为y＝x2是偶函数，y＝sinx是奇函数，y＝cosx是偶函数，因此A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项中函数图象是把对数函数y＝lnx的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D选项为指数函数y＝(1)x，是非2奇非偶函数．2．以下函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()|x|．＝lg(x＋x2＋1)C．y2x2xD．＝1A．y＝2Byylgx＋1解析：选D.选项D中函数定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，故y＝lg1不是奇函数x＋1也不是偶函数，选项A为偶函数，选项B为奇函数，选项C为偶函数．3．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于()A．－1B．1C．－2D．2解析：选A.由f(x)是R上周期为5的奇函数知f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(3)－f(4)＝－1，应选A.．已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1，则f(－1)＝()4xA．－2B．0C．1D．2解析：选A.当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，f(1)＝12＋11＝2.∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.5．设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2,1)时，f(x)＝4x2－2，－2≤x≤0x，0＜x＜1，则f(5)＝()21A．0B．1C.2D．－1解析：选D.因为f(x)是周期为3的周期函数，因此f(5)＝f(13)f(1)＝4×(1)2－22222＝－1，应选D..优选文档．函数f(x)关于任意实数x满足条件＋2)＝1，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________.6f(xfx11解析：f(x＋2)＝fx，∴f(x＋4)＝fx＋2＝f(x)，1f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝f1＝－5.1答案：－57．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(2)＝1，且对任意的x∈R，都有f(x＋3)＝f(x)，则f(2017)＝________.解析：由f(x＋3)＝f(x)得函数f(x)的周期T＝3，则f(2017)＝f(1)＝f(－2)，又f(x)是定义在R上的偶函数，因此f(2017)＝f(2)＝1.答案：1．函数x＋x(x∈R)可表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(0)＝________.8f(x)＝e解析：由题意可知h(x)＋g(x)＝ex＋x①，用－x代替x得h(－x)＋g(－x)＝e－x－x，因为h(x)为奇函数，g(x)为偶函数，因此－h(x)＋g(x)＝exx②.x－x00e＋ee＋e＝1.由(①＋②)÷2得g(x)＝2，因此g(0)＝2答案：19．已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－xlg(2－x)，求f(x)的解析式．解：设x∈(0，＋∞)，∴－x∈(－∞，0)，∴f(－x)＝xlg(2＋x)，f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝xlg(2＋x)，∴f(x)＝－xlg(2＋x)．又∵当x＝0时，f(0)＝0，适合f(x)＝－xlg(2＋x)－xlg2＋xx∈[0，＋∞f(x)＝－xlg2－xx∈－∞，010．已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．(1)谈论函数f(x)的奇偶性，并说明原由；(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)，显然为偶函数；.优选文档当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，a因此函数f(x)＝x2＋x(x≠0)既不是奇函数，也不是偶函数．a2x3－a(2)f′(x)＝2x－x2＝x2，当a≤0时，f′(x)＞0，则f(x)在[2，＋∞)上是增函数；当a＞0时，令f′(x)＝2x3－aa，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，可知3a≤2，解得2≥0，解得x≥3x220＜a≤16.综上，实数a的取值范围是(－∞，16]．B组能力打破1．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的()A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不用要条件D．既不充分也不用要条件解析：选A.f(x)在R上为奇函数?f(0)＝0；f(0)＝0f(x)在R上为奇函数，如f(x)＝x2，应选A.2．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝axax＋2(a＞0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)等于()1517D．a2A．2B.4C.4解析：选B.∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a，∵f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a－2－a2＋2，②2－215由①、②联立，g(2)＝a＝2，f(2)＝a－a＝4.3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜