5高中数学精品讲座课件：重视逻辑推理 关注全局变化-2022年高考“三角函数与解三角形”专题解题分析

重视逻辑推理

关注全局变化——2022年高考“三角函数与解三角形”专题解题分析扬州大学附属中学目录1234试题特点分析优秀试题分析典型模拟题复习备考建议1试题特点分析试

题

特

点

分

析序号试卷题号（分值）知识点题6（5分）三角函数图象与性质1Ⅰ全国新高考

卷题18（12分）同角三角函数关系、三角恒等变换、解三角形同角三角函数关系、三角恒等变换题6（5分）2全国新高考

卷Ⅱ题9（5分）题18（12分）题5（5分）题16（5分）题11（5分）题16（5分）题11（5分）题17（10分）三角函数图象与性质解三角形三角函数图象与性质解三角形345全国甲卷（文）全国甲卷（理）全国乙卷（文）三角函数图象与性质解三角形三角函数单调性、最值三角函数恒等变换、解三角形试

题

特

点

分

析序号试卷题号（分值）知识点题15（5分）题17（10分）三角函数图象与性质三角恒等变换、解三角形6全国乙卷（理）题5（4分）三角函数的二倍角公式、三角函数的单调性7北京卷题13（5分）题16（13分）题3（4分）题19（14分）题9（5分）题16（14分）题4（4分）题6（4分）三角恒等变换三角恒等变换、解三角形二倍角公式、三角函数的周期性解三角形三角函数图象与性质解三角形、三角恒等变换三角函数值、充要条件图象变换89上海卷天津卷10浙江卷题

（

分）题13（4分）题18（14分）解三角形、数学文化三角恒等变换解三角形11

4试

题

特

点

分

析从出题面貌上看，三角函数板块题和过去的高考题一致，未出现创新形式的命题，在模拟卷中常出现的结构不良题未在此板块考查．从内容上，对三角函数有两个层次的分析．题型客观题：三角函数图象与性质，三角恒等变换主观题：三角形为命题背景试

题

特

点

分

析方式显性：三角函数图象与性质、图象变换、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理隐性：作为数学工具，运用三角函数来解决平面向量、立体几何、解析几何、函数等问题2优秀试题分析优

秀

试

题

分

析5

关注多种角度运用三角函数解题关注“数形结合”“整体代换”2π例

1

（2022

年新高考Ⅱ卷·9）函数

f

(x)的图象以(

,0)中心对3称，则（）．5ππ

11πA．

y在(0,

)单调递减

B．

y在(有

2

个极值点1212

127π32C．直线x是一条对称轴D．直线

y是一条切线6考查全面关注“数形结合”“整体代换”【目标解析】知识层面：

三角函数

y

Asin(

x

)

的单调性、对称性、极值及切线问题．方法层面：

整体代换思想、数形结合思想．素养层面：直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养．关注“数形结合”“整体代换”【解法分析】2π4π4π4π第一步：+

=

kπ

k

，

Z，即由题意得：f

(

)，所以，k

Z，33332π2π又

0

π

，所以

k

=

2

时，

=，故．f

(x)33关键：复合函数第二步：2π思路一：直接研究函数

f

(x)的图象与性质．3思路二：依据复合函数的研究方法，回到函数

y．关注“数形结合”“整体代换”5π2π

2π

3π对

A：x对

B：x2x2x)123

3

22π

π

5ππ

11π)12

123

2

27π2π对

C：x2x63yO2πxπ3π2关注“数形结合”“整体代换”关键：切点坐标2π2πcos(2x

+

)

=

−312

=+

=

−)

1得：对

D，由

y

2

cos(2x，32π

2π2π

4π+

=

+

2kπ,k

Z，2x

+

=

+

2kπ解得或

2x3

33

3πx

=

kπ=

+kπ,k

Z，从而得：或

x332π所以函数

y

=

f

(x)

在点(0,

)

处的切线斜率为

k

y=

=2

cos=

−1，x

0=3233(x

0)

即−

=

−

−y

=

−

x切线方程为：

y．22关注“数形结合”“整体代换”2π例

1

（2022

年新高考Ⅱ卷·9）函数

f

(x)则（）．的图象以(

,

0)

中心对称，35ππ

1

1πA．

y

=

f

(x)

在(0,

)

单调递减B．

y

=

f

(x)

在

(有

2

个极值点1212

127π3=y

=−

x是一条切线C．直线

x是一条对称轴D．直线62【答案】AD关注“数形结合”“整体代换”【试题分析】

函数

y是刻画周期性的重要函数模型，教材对它的研究非常重视．教材中在此处将研究函数的多种方法进行了综合，如运用复合函数的方法、数形结合的方法、整体代换的方法、图象变换的方法，使学生不止对三角函数，更是对整体函数，有了更完整的认识．关键词：函数教学价值！关注“数形结合”“整体代换”【变式1】（1）将条件以图象形式给出．在以函数

y

为背景的高考题中，命题的形式多样，除以数学语言描述性质外，还经常以图象的形式给出条件，考查学生看图，读图、用图能力．图象变换也是此处考查的重点，全国甲卷（文）、浙江卷都进行了考查．π在[(2020年课标Ⅰ卷理

7)设函数

f

(x)的图象大致如下·6图，则

f(x)的最小正周期为

(

)．10π7πA．C．B．D．94π63π32πf

(x)64π

π

π(且T9

6

2【答案】C关注“数形结合”“整体代换”【变式2】π

11ππ

11π（2）改变区间范围或端点取值．如将例

1B

选项的区间“(”变为“[”，12

1212

12也会增加对“极值”概念的考查难度．π

1

1π2π

π

5πx]2x12

123

2

2yO2πxπ3π2关注“数形结合”“整体代换”(2021·扬州调研)将余弦函数

f(x)＝cos

x

的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的

3π2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移

个单位长度，得到函数

g(x)的图象.若关于

x

的方程

f(x)＋g(x)＝m

在[0，π]内有两个不同的解，则实数

m

的取值范围为________.

y[0,π](0,π)6Ox6关注“数形结合”“整体代换”【变式3】（3）缺失条件，将定量问题改为变量问题．如全国甲卷理科第

11

题、全国甲卷文科第

5

题，但只要抓住“数形结合”、“整体代换”即可轻松解决．y(2022

年全国甲卷理·11)设函数

f

(x)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则

的取值范围是（

）．A.

B.

C.2πD.Oxπ3π2【答案】C关注“数形结合”“整体代换”(2019

年课标Ⅲ卷理·12)设函数

f

(x)(＞0)，已知

f

x

在

0,

2

有且仅有

55个零点，下述四个结论：①

f

x

在(0,

2)有且仅有

3

个极大值点；②

f

x

在(0,

2)有且仅有

2

个极小值点；12

29④的取值范围是[

，

)．5

10③

f

x

在(0,

)单调递增；10其中所有正确结论的编号是

(

)．A．①④

B．②③

C．①②③D．①③④关注“数形结合”“整体代换”π

π关键：整体思想数形结合因为x，所以x5

55π我们只需观察函数

y在区间[

,

2π上的图象．55y【答案】DO2πxπ3π2关注“数形结合”“整体代换”【类题赏析】以函数

y

为背景的高考题较多，如

2019

年全国Ⅲ卷理科卷第

12

题，在选项设置上也运用了极值的概念，还有的高考题运用函数的和、差、分段设计出更为复杂的函数，如

2019

年全国Ⅰ卷理科第

11

题中的函数

f

(x)，但本质依然是考查三角函数的周期性、奇偶性、单调性等问题，充分运用分类讨论、数形结合的数学方法研究函数，对运用函数的观点理解、研究函数要求更高．关注“数形结合”“整体代换”π(2019

年课标全国Ⅱ卷·9)下列函数中，以

为周期且在区间单调递增的是2（A．

f

(x)）．B．

f

(x)C．

f

(x)D．

f

(x)yy=|cos2x|Ox42关注“数形结合”“整体代换”yy=|sin2x|Ox42y【答案】Ay=sin|x|-πOπx关注“数形结合”“整体代换”(2019

年课标Ⅰ卷理·11)关于函数

f

(x)①

f

(x)是偶函数；

②

f

(x)在区间有下述四个结论：单调递增；③

f

(x)在[其中所有正确结论的编号是

(

)．A．①②④

B．②④

C．①④有

4

个零点；

④

f

(x)的最大值为

2．D．①③关注“数形结合”“整体代换”yy=sin|x|【答案】C-πOπxyy=|sinx|-πOπxy

y=sin|x|+|sinx|-ππxO关注“数形结合”“整体代换”1ysin

x关注“数形结合”“整体代换”【图象变换】π（2022

年浙江卷·6）为了得到函数

y的图象，只要把函数

y图5象上所有的点（

）．ππA．

向左平移

个单位长度B．

向右平移

个单位长度55【答案】DππC．向左平移

个单位长度D．

向右平移

个单位长度1515关注“数形结合”“整体代换”【图象变换】ππ（2022

年全国甲卷文·5）将函数

f

(x)的图象向左平移

个单位长32度后得到曲线

C，若

C

关于

y

轴对称，则的最小值是（

）．A．1B．1C．1D．16432【答案】C关注“角”“名”“次”恒等变换π例

2

（2022

年新高考Ⅱ卷·6）

角,

满足sin(

，4则（

）．A．tan(

B．tan(

1

C．tan(

D．

tan(

关注“数形结合”“整体代换”【目标解析】知识层面：

两角和差的正余弦公式、同角三角函数的商数关系.方法层面：

整体代换思想．素养层面：逻辑推理、数学运算等核心素养．关注“角”“名”“次”恒等变换入口多【解法分析】在人教版教材中指出：“因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适π当的公式．”本题中抓住对“

”这个已知角的考察，得到以下两种解法．4π若对常数“

”运算化简，可得方法（一）：4由已知得：sin

cos

+cos

sin

+cos

cos

−sin

sin

=

(

−

)

，2

cos

sin

sin化简得：sin

cos

−

cos

sin

+

cos

cos

+

sin

sin

=

0，即sin所以

tan(

−

)=

−1

．(

−

)+

(

−

)=cos0

，关注“角”“名”“次”恒等变换π若保留并构造出“

”，可得方法（二）：4ππ

+

+

=)

2

2

cos(

+)

sin

，则由已知得：

2

sin(44πππsin(

+

)cos

+

cos(

+

)

sin

=

2

cos(

+

)

sin

，444ππππ所以

sin(

+

)cos

=

cos(

+

)

sin

，

tan(

+

)

=

tan

，所以

+

=

+

kπ,k

Z，则4444πtan(

−

)

=

tan(−

+

kπ)

=

−1．4关注“角”“名”“次”恒等变换【试题分析】角函数名式子特征特殊角同角三角函数关系诱导公式三角函数次数和差积运算角的和差倍关系关注“数形结合”“整体代换”【类题赏析】三角恒等变换一直是三角函数中的基本题型之一，除考查三角函数公式的灵活运用以外，更多的是对学生逻辑推理素养的考查．如

2021

年新高考Ⅰ卷第

6

题，2019

年江苏卷第13

题，都是有较大区分度的三角恒等变换的小题．其区分在不只是能不能解决这个问题，π还体现在用什么方法解决．如

2019

年江苏卷第

13

题，考生易观察出所求角

2是已知4πππ的

关

系

，

求

出角与

的

和

，

但

要

更

好

的

解

决

此

题

还

需

运

用444ππsin(o

,

的值，这对考生观察角的变换、三角函数公式结构的变换都44有较高要求．关注“角”“名”“次”恒等变换sin(1+

sin

2)（2021

年全国新课标Ⅰ卷·6）若

tan

=

−2

，则=)(sin

+

cos6525265−−A．B．C．D．5思路一：tan

；思考角度思路二：化简目标式朝条件转化.角函数名次数关注“角”“名”“次”恒等变换sin(122

sin

cossin

cossin(sinsin2sin2

2

2sin【答案】C关注“角”“名”“次”恒等变换tan2（2019

年江苏卷·13）已知，则sin的值是_____.tanπ思路一：条件4tan

1antantan23由，tan13解得tan

2，或tan.关注“角”“名”“次”恒等变换ππsin44222=2，222当tan时，上式=；212当tan时，上式=.32综上，sin关注“角”“名”“次”恒等变换ππ

ππ逻辑推理数学运算思路二：2

，44

44πsin

cos(tanπ23π

，即sin

cos(πtan(4π3444π又sin(4π242π43

210π解得：sin(π4π13π42所以sin(2.4410关注公式、方程、函数之间的转换例

3

（2022

年新高考Ⅱ卷·18）

记△ABC

的三个内角分别为

A，B，C，其对边分别为

a，b，c

，

分

别

以

a

，

b

，

c

为

边

长

的

三

个

正

三

角

形

的

面

积

依

次

为

S

,S

,S

，

已

知12331S

−

S

+

S

=

,

sin

B

=

．12323（1）求△ABC

的面积；2（2）若sin

AsinC

=，求

b．3关注公式、方程、函数之间的转换【目标解析】知识层面：

正、余弦定理及三角形的面积公式.方法层面：

整体代换思想.素养层面：逻辑推理、数学运算等核心素养．关注公式、方程、函数之间的转换【解法分析】3−

+

=（1）因为以

a，b，c

为边长的三个正三角形的面积依次为

S

,S

,S

，且

S

S

S，12312323333a2+

c2−

b22+

c2−

b2=

2

，由余弦定理得

cosB

=所以a222，即

a，整44422ac213

1

2

213

2=cos

B

0=，则

cos

B

1=

−=，ac

==理得

accos

B

1，则，又

sin

B，

33cos

B412=acsin

B=则

S；28整体结构特征关注公式、方程、函数之间的转换bac==（2）由正弦定理得：，sin

B

sin

A

sinC3

2b2acac942====则则，2sin

B

sin

A

sinC

sin

AsinC43b

3=312b

=

sin

B

=，．sin

B

22关注公式、方程、函数之间的转换【试题分析】平时教学对求出三角形中独立的边、角，学生训练较多，难度不大，但如问题（1）中，求面积不是一定需要求出单独的基本量，知道

ac

整体的值也可，这就弱化了条件，也就需要学生在分析时，结合已知的公式寻找这一结构特质，对学生的思维有一定要求．同样问题（2）中的条件结构可联想到正弦定理，但也需要整体考虑．在解三角形中，需要三个独立条件，如果缺失条件，往往需要运用整体结构求值．可见，解三角形中，除了对公式熟悉以外，对未知量的个数、方程的个数的观察，尤为重要，这决定了是求出独立的边、角，还是求出整体的值；是可求值，还是需运用函数分析．今年全国乙卷理科第

17

题，也是运用了这样的思路，整体求出边b

c

的和，从而求出三角形的周长，而

2021年全国新高考Ⅰ卷第19题也体现了这样的思维，难度更大．关注公式、方程、函数之间的转换（2022

年全国乙卷理·13）

记的内角A,B,C

的对边分别为a,b,c，已知sinCsin(A．（1）证明：2a222；2531（2）若a，求的周长．思路一：证明：因为sinCsin

A，所以sinCsin

Acos

B

sinCsin

Bcos

A

sin

BsinC

cos

A

sin

Bsin

AcosC，a222222222所以ac，2ac2bc2aba222222即，22所以2a2b2c2；关注公式、方程、函数之间的转换思路二：证明：因为sinCsin

A所以sin(A，，所以sin所以sin22AcosA(12B

cos2Asin2in222C

cos2A

cos2Csin

A，2222222A，化简得：sin所以2a2A22，222；优美的对称结构关注公式、方程、函数之间的转换2522（2）解：因为a，由（1）得b

c

50，3150312由余弦定理可得a222，所以bc，A，

5031222故

b，所以b

c

9，所以的周长为a

b

c

14

.整体结构特征关注公式、方程、函数之间的转换（

2022

年

全

国

甲

卷

文

、

理

·16

）

已

知

△

ABC

中

，

点

D

在

边

BC

上

，AC2．当取得最小值时，BD

___AB思路：设CD

2BD

2m

0，则在△ABD

中，AB2BD2AD22BD

ADcos

ADB

m24

2m，在△ACD

中，AC2222，ACAB224m2123所以，当且仅当m即23mm(mmACm时，等号成立，所以当

取最小值时，m．AB函数关注公式、方程、函数之间的转换【类题赏析】高考中的“三角函数与解三角形”的解答题多以三角形作为命题背景，重点考查以正弦定理、余弦定理为工具计算求解三角形的边角关系，突出的核心素养的考查是运算能力，基本历年皆有．但“数学运算”并不是简单的数学计算能力，主要是对运算对象、运算法则、运算思路、运算方法的理解、掌握、探究和选择，如2019年课标Ⅰ卷·理17，主要考查通过化归转化思想对正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式的灵活应用，也体现了新课标对“数学运算”素养的考查方向：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果．关注公式、方程、函数之间的转换(2019

年新课标Ⅰ卷理·17)△ABC

的内角

A，B，C

的对边分别为

a，b，c，设(sin

B22．（1）求

A；（2）若

2a，求

sinC．关注公式、方程、函数之间的转换解：（1）由已知得sin2B22，故由正弦定理得b222．，b222由余弦定理得cos

A（2）由（1）知B．因为0，所以

A

．2bc2，由题设及正弦定理得

2

sin

A6

32

2122即，可得cos

C．22由于0sinC，所以sin

C，故26．4关注公式、方程、函数之间的转换【难点】正弦定理：解的个数（形）边角混合关系图形分析解三角形知识角度分析关注公式、方程、函数之间的转换苏教版教材必修二：P94练习T5回归教材苏教版教材必修二：P94

习题11.2T5苏教版教材必修二：P94习题11.2

T6苏教版教材必修二：P104复习题T6关注公式、方程、函数之间的转换（2014

年新课标Ⅰ卷·16）已知

a，b，c

分别为△ABC

三个内角

A，B，C

的对边，a＝2且(2＋b)·(sin

A－sinB)＝(c－b)sin

C，则△ABC

面积的最大值为________．思路：根据正弦定理和

a＝2

可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，故得

b

＋

－

＝

，根据2

c2

a2

bcb2＋c2－a2

1π3余弦定理得

cos

A＝＝

，所以

A＝

.根据

b

＋

－

＝

及基本不等式得2

c2

a2

bc2bc21232bc≥2bc－a2，即

bc≤4，所以△ABC

面积的最大值为

×4×

＝

3.关

注

三

角

综

合

性

问

题

的

全

局

分

析例

4

（2022

年新高考Ⅰ卷·18）记△ABC

的内角

A，B，C

的对边分别为

a，b，c，已知cos

A1+

sin

A

1+

cos

2Bsin

2B=．2π=（1）若C，求

B；3a2+

b2（2）求的最小值．c2关注“数形结合”“整体代换”【目标解析】知识层面：

三角恒等变换、正弦定理．方法层面：方程思想、函数思想．素养层面：逻辑推理、数学运算等核心素养．关

注

三

角

综

合

性

问

题

的

全

局

分

析例

4

（2022

年新高考Ⅰ卷·18）记△ABC

的内角

A，B，C

的对边分别为

a，b，c，已知cos

A1+

sin

A

1+

cos

2Bsin

2B=．2π=（1）若C，求

B；3a2+

b2（2）求的最小值．c2关

注

三

角

综

合

性

问

题

的

全

局

分

析【解法分析】cos

A1+

sin

A

1+

cos

2Bsin

2B2

sin

BcosB

sin

B（1）因为===，即2

cos2Bcos

B1ππsin

B

cos

AcosB

sin

Asin

B

cos

A

B=−=

(

+

)=

−cosC=，而0

B

B

=，所以；226ππ=

−cosC

0

，所以

C

π,0

B

（2）由（1）知，

sin

B，而22π

2

ππsin

B

=

−cosC

=

sin

C

−，所以

C=

+A

=

−

2B．所以B

，即有22a2+

b2sin2A

+

sinsin2B

cos22B

+1−

coscos2B==c22C2B(2

cos2B

−1

+1−

cos)2B22==

4

cos2B

+−

5

2

8

−

5

=

4

2−

5．cos2Bcos

B22a2+b2当且仅当cos2B

=时取等号，所以的最小值为

4

2

−

5

．2c2关

注

三

角

综

合

性

问

题

的

全

局

分

析对获得角

A、B

的关系还可以有这样的方法：AA2AAAAcos2cos

A22AAAAAA21sin22222222AAAcoscosπ

A2AAA4

2222sin

2B1+

cos

2B2

sin

Bcos

B

sin

Bπ

A===tan

B

，所以tan(

−

)

=

tan

B又．2

cos2Bcos

B4

2ππ

A−

ππ

A−

=

B．因为由已知得：cos

A

，所以

A，所以(0,

)

，而

B

(0,π)

，所

以24

244

2关

注

三

角

综

合

性

问

题

的

全

局

分

析【试题分析】考查变换方向：拦路虎角度一：角的变换．条件等式的左边是角

A，而右边是

B

的二倍角，从这个角度想到将右边的二倍角展开，而为使分母简单，可选择cos

2B而达到化简的目的．2这个公式，从角度二：次数的变换．等式的右边是角

B

的二倍角，可以理解为是角

B

的三角函数的二次式，运用二倍角公式可以升次降角，达到化简的目的，而将右边等式化简后，分式化为整式，也是从三角函数次数进行考虑的．从这个角度来看，等式的左边也可以A将角

A

看成是

的二倍角进行展开．2关

注

三

角

综

合

性

问

题

的

全

局

分

析sin

B角度三：函数名的变换．在问题（1）中，等式右边化为后，也可以化为tan

B．如cos

B果走这个途径，就需要将左边等式化为正切．角度四：“1”的变换．在三角函数中，经常使用将常数“1”转化为“sin22

”、π“tan

”

．4关

注

三

角

综

合

性

问

题

的

全

局

分

析π

A=

−cosC

或

tan(

−

)

=

tan

B条件转化为

sin

B后，也是运用方程思想得到角之间的等4

2=

−cosC

，这是不同名的三角函数且还有符号问题，则将sin

B量关系．考虑关系

sin

B转π，则得

cos(π化为．而忽略角的范围是学生解三角方程最易错的地22ππ方．因为

B,C，所以sin

B，则

B，C，且22π

πππ

AB，所以

C．考虑

tan(

−

)

=

tan

B

则更简单，因为等式两边是同名函2

224

2数，只要分析角的范围即可．这类变换题型在各版本教材中都有所体现，如在人教版教材《必修一》P226

5.5.2

练习

1

即为“求证：

tan2

1sin．”

在苏教版教材《必1sin修二》P67

习题

10.2

题

6也有等式“1π”的证明．回归教材，吃透教材，cos

2x4才是平时教学的要点．关

注

三

角

综

合

性

问

题

的

全

局

分

析a2+

b2问题（2）中，“求的最小值”就需要运用函数思想．运用函数思想解题时，首c2先选择自变量，减少问题中变量的个数，转化为自变量的表示．如题中，就需将边

a，b，c，转化为角

A，B，C

的正弦，再将角

A、C

转化为

B

表示，使所求式转化为角

B

的函数．其次和三角函数相关的函数，主要有两类：一类是三角函数的齐次函数，转化目标为y

的形式；另一类是三角函数的非齐次形式，主要将三角函数化为同名三角函数后，换元解决，问题（2）即是第二类的情况，将

cosB

换元后转化为了分式型函数．

综上分析，没有解题的全局观，是做不好此类综合题的．关

注

三

角

综

合

性

问

题

的

全

局

分

析【类题赏析】三角函数的综合题，是将三角函数中三大板块知识综合考查，渗透方程与函数思想、整体思想等数学思想方法的考查，对逻辑推理、数学运算等核心素养的要求较高．如

2019

年A课标Ⅲ卷理·18

中，对条件sin的理解成为解题关键，运用整体代换思想解题是本题的2突破路径．关

注

三

角

综

合

性

问

题

的

全

局

分

析（2019

年全国新课标Ⅲ卷·18）△ABC

的内角

A、B、C

的对边分别为

a、b、c，已知Aasin．2（1）求

B；（2）若△ABC

为锐角三角形，且

c=1，求△ABC

面积的取值范围．关

注

三

角

综

合

性

问

题

的

全

局

分

析A思路：（1）由题设及正弦定理得sin

AsinA．2A因为sinA

0，所以sin．2ABBBBos

．2由

A

B

C

180

，可得sin，故cos2222BB

1，故sin

2

2，因此B=60°．因为cos2关

注

三

角

综

合

性

问

题

的

全

局

分

析3（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC．4sin

120sinCcsin

AsinC3

1由正弦定理得a．2tanC

2由于△ABC

为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由（1）知A+C=120°，所以123330°<C<90°，故，从而．△82因此，△ABC面积的取值范围是．关

注

多

种

角

度

运

用

三

角

函

数

解

题例

5

（2022

年新高考Ⅰ卷·12）【多选】已知函数

f

(x)

及其导函数

f

'(x)

的定义域均为

R

，3记

g(x)，若

f

(，

g(2均为偶函数，则（）．212A．

f

(0)B．

g(C．

f

(D．

g(关注“数形结合”“整体代换”【目标解析】知识层面：三角函数的周期性.方法层面：特殊化思想.素养层面：逻辑推理、数学运算等核心素养．关

注

多

种

角

度

运

用

三

角

函

数

解

题例

5

（2022

年新高考Ⅰ卷·12）【多选】已知函数

f

(x)

及其导函数

f

'(x)

的定义域均为

R

，3记

g(x)，若

f

(，

g(2均为偶函数，则（）．212A．

f

(0)B．

g(C．

f

(D．

g(【答案】BC关

注

多

种

角

度

运

用

三

角

函

数

解

题【解法分析】在高中教材中，具有周期性的函数要么以三角函数形式给出，要么以定义或定义的变形给出，那么我们也可以利用三角函数具有周期性这一重要特征，构造特殊函数模型来帮助解决有关问题．由这种特殊化思想得到如下解法：3因为

f

(为偶函数，且此题是一选择题，故可用特殊函数模型来帮助解题．设23323

t3

tf

(，

令

t，

则

x，

所

以

f

(t)，

即则24

24

2x

3x

3f

(x)，所以f

'(x)，2

422

4(xx

1g(x

，又因为

g(2均为偶函数，所以取22422

41π32，解得：f

(x)，g(x)x为符．所以42合题意的一个函数，通过这两个函数则可判断出

BC

正确．关

注

多

种

角

度

运

用

三

角

函

数

解

题【试题分析】3因为

f

(为偶函数，从选择项来猜测，此题函数还应具备周期性，所以不妨利用具备2周期性的函数模型——三角函数模型来解题，这也是考查对三角函数本质的认识．这种方法将抽象问题转化为具体函数，降低了难度，对一些学生来说，是较为实用的解法．但也要注意，如设偶函数

f

(3时，要注意一般性，该函数模型可不过原点，如果设成特殊过原2点的偶函数，则会误判答案

A．将抽象函数模型化的方法在解决单选题、多选题及填空题都很有效，而这类问题也往往在小题考查．关

注

多

种

角

度

运

用

三

角

函

数

解

题【类题赏析】三角函数是高中数学的一个重要组成部分，是联系几何和代数的桥梁，与数学的其他知识相互渗透，紧密联系，数学中的许多问题都可以利用三角函数的性质等知识来解决，所以三角函数是解题的一种重要工具．今年北京卷的第10题，同样体现了三角函数作为解题工具的优越性，它主要运用了三角代换的方法解决了平面向量的问题．同样，在解析几何、立体几何的问题中，也常选取角为变量，利用三角函数，将一些非三角问题转化为三角问题，以便解决相关问题．关

注

多

种

角

度

运

用

三

角

函

数

解

题(2021

年新课标Ⅱ卷·8)已知函数

f

x

的定义域为

R，

f

x为偶函数，

f

2x

为奇函数，则（）A.

fB.

fC.

f

2D.

f

4【思路分析】设

f

(xf

(x)奇函数一组解f

(2x

【答案】B关

注

多

种

角

度

运

用

三

角

函

数

解

题（2022

年北京卷·10）

在△ABC

中，

AC内的动点，且PC

1，则PA的取值范围是（

）A．[

B．[．P

为△ABC

所在平面C．[D．[【答案】D关

注

多

种

角

度

运

用

三

角

函

数

解

题【评析】此题是向量题，首先图形的特殊性，依题意如图建立平面直角坐标系，则(

)

(

)

(

)=PC1C

0,0

，

A

3,0

，

B

0,4

．因为

PC

1，所以

在以

为圆心，

为半径的圆上运动，在(

)

刻画圆上的点的时候，三角参数是一个很好的选择．设

P

cos

,

sin

，0,

2π

，所以=

(

−

−

)，

PB

=

(−cos,4

−

sin

)，所以PA

3

cos

,

sin=

(−

)(

−

)+

(

−

)

(−

)

=

coscos3

cos4

sinsin2

−

3

cos

−

4

sin

+

sin

2PA

PB341

5

sin=

−

(

+)−1

sin(

+)1，=1−

3

cos

−

4

sin，其中sin

=

，cos

=

，因为55−

−

(

+)所以

4

1

5

sin

−

6

，即

PA

PB4,6

；故选：D．3典型模拟题行业PPT模板/hangye/典

型

模

拟

题

1．【多选题】右图是函数

f

(x)）．的部分图象，则下列说法正确的有（5πA．

f

(x)6B．

f

(x)在[0,

2π]有且仅有

2

个极小值点C．

f

(x)在[0,

2π]有且仅有

4

个零点D．

f

(1)典

型

模

拟

题【答案】BCD【解题过程】依图形可知，T

2π

π

π

，所以T，则，又

22π，k

Z，2

3

6

234π4π取

k

，则对于

A，当

x，所以．f

(x)335π4π5π

4π

π6

3

34π时，

2x，取不到

f

(x)

的最大值，故

A

错；4π

8π634π

8π方法（一）：对于

B，C，x∴

2x]，观察函数

y在区间[33

33

3的图象，可知，函数有

2

个极小值点，4

个零点，故

B，C正确；典

型

模

拟

题4π

3π方法（二）：对于

B，当

f

(x)

在最低点时取得极小值，所以

2x，k

Z，解得：3

217π5π

17πx，

k

Z，当

k时，

x，所以

f

(x)

在[0,

2π]

有且仅有

2

个极小值1212

12点，故

B

正确；4π2π

kππ

2π

7π

5π对于

C，2x，k

Z，解得：x，k

Z，当

k时，x,

，6

3

6

333

2所以

f

(x)

在[0,

2π]

有且仅有

4

个零点，故

C

正确；5π

1对于

D，因为，则

f

(1)，故

D

正确．122故选：BCD．典

型

模

拟

题π3π2．已知cos(，则sin(

2的值是（）．D．6362A．912C．379B．3【答案】B【解答过程】因为π31123π3cos(，所以62223

3ππ

πππ31sin(

22

2．63

23333典

型

模

拟

题π3．在①a(sin

A，②2bcos(C，33a③，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析．

在bcosC△ABC

中，a,b,c分别是内角A,B,C

所对的边，且___________．（1）求角

B

的大小；（2）若△ABC

是钝角三角形，且b

3，求a

c的取值范围．典

型

模

拟

题【解答过程】（1）若选条件①，根据正弦定理得

a(a，222，a222π由余弦定理可得，cos

B，又

B，则

B；2ac2313若选条件②，由正弦定理得，

2

sin

B(

cosC，则22sin

BcosC，化简得

3

sin

BsinC

is

B

nC

，可得

Bπ12πC，则