不定式函数极限的求法

不定式函数极限的求法不定式极限作为极限的一个特殊又重要的类型,计算起来有些困难,有的甚至会无从下手．因此,寻找一些求解极限的方法和技巧至关重要．常用的一些方法有两种,第一种是初等解法：通过恒等变sinx1形或变量代换转换为非不定式极限的计算,或转化为两个重要极限：hm=1和hm(1+―)n=exf0xnf8n等；另一种方法是：洛必达法则,等价无穷小代换法则,勒公式法,迫敛定理法等．本文着重把一些方法进行归纳,并辅以典型例题,以便学习和掌握有关的解题技巧,提高学习效率．0型不定式极限00我们把两个无穷小量之比的极限类型记为0型，它是不定式极限中最常见和最重要的极限类型,其它一些不定式极限可通过化简转化成这种类型来计算,掌握这种极限类型的求法是学习其它不定式极限的关键．约等价无穷小法若分子分母都是x的多项式，当xfx0时分子分母的极限都等于零，若它们有极限为零的公因式,我们就先将分子分母分解因式或分子分母有理化,设法约去极限为零的公因式,使分母的极限不再为零,从而求出不定式的极限．x-1例1求《hm.——=xf1xx+1-x-■2解原式=lim解原式=limxf1(x-1)(v2+、.-,x+1)(Vx+1—V2)(v2+xx+1)=lim(x-l)(v2±vx±l)xf1x-1=lim(vE+=lim(vE+x.;2)=2<2xf1sinx1.2重要公式lim=1法xf0x对于含有三角函数或者反三角函数的sinxlim=1或公式的推广求解•xf0x00型不定式极限，我们通常利用三角恒等式，转换成极限例2例2求limxf02sinx21-cosxsinxsinx2=limxxf0sin2—2()2「sinx2，=lim.——xf0sin2x(x)22sinx2解原式=hmxxf02sin2—2

A

sina22/=lim4•-2-=4a-oA2sinAI2)5A例3limA-09arcsina分析直接求解有些困难，可把函数转化成没有反三角函数的形式，令arcsinx=t，则a=sintmAT0时,tT05sint5解原式=hm=-tT09t91.3洛必达法则定理［3期(127洛必达法则)若函数f和g满足：limf(A)=limg(a)=0；ATA0ATA0(ii)在点a0的某空心邻域U0(a0)内两者都可导，且g'(a)丰0；limf^=A(A可为实数也可为±8,8)；ATA、g(A)则lim型二则lim型二lim小二A.ATA0g(A)运用洛必达法则必须满足以上三个条件,并且计算过程中可多次使用此方法,直到分母极限不为零为止,如例4．但对于一些比较复杂的不定式极限计算时不能盲目的用洛必达法则,当洛必达法则失效时不能确定原极限一定不存在,如例5．因此上述三个条件是洛必达法则的充分条件不是必要条件．洛必达法则是解不定式极限最主要且十分有效的方法,对一些分子分母的导数容易求得,并且可以多次使用,计算起来比较简便．ln(1+a)-a例4limat0cosa—1TOC\o"1-5"\h\z，-17A■1解原式=1加^^——=lim+A)=lim=1AT0-sinAAT0-cosAAT0(1+A)2cosA1a2sin—例5limAAT0sinA0分析此题属于0型不定式极限TOC\o"1-5"\h\z111112xsin—+x2cos—•(———)2xsin——cos—错解原式=limxx一2二limxxx-0cosxx-0cosx11因为limcos—不存在,limcosx=1,lim2xsin-=0,所以原极限不存在.x—0x1xsin—1正解原式=lim—:一x=limxsin=0x-0于x-0xx错解错在此题没有都满足上述的三个条件,方法失效,应该用别的方法．这很好的说明这三个条件是充分条件而非必要条件．运用此方法应注意,在连续运用此方法时,要检查看是否符合用洛必达法则的条件,一旦出现分母0极限不为零立即停止运算,不能茫目的求解，出现错误结果.还应注意不是所有的o型不定式极限都能用此方法．1.4变量换元法如果极限形式十分复杂,可尝试采用变量换元法加以变形,使其简化易求．「sin(sinx)例6求lim：x-01-esinx解设sinx=t，则t—0costsincost原式=hm=limtf01-ett—01.5等价无穷小代换法若两个无穷小量等价,求解极限的过程中可以相互代替以简化运算,利用等价无穷小量代换以求aa'极限的方法叫做等价代换法.若口~a',P~",(x-x)lim=lim—,这是一种非常简单的方0x,x0Px-x0P'法,把一些比较复杂的函数进行等价无穷小代换,达到简化运算步骤,快速求出极限的目的．但应注意：分子分母中和差项不能分别代换,只能分子分母整体代换．常用的等价无穷小代换有：x—0时，sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,ex一1~x,In(1+x)~x,tanx例7求lim।x-0v1+x—1解因为x-0时,tanx~x,A.1+x-1~—x^2x所以原式=lim—=2x.0x2例8求例8求limx—0x—arcsinxesin3x—1解此题比较复杂用等价无穷小代换,esin3x—1~sin3x,sin3x~x3x—arcsinxx—arcsinx原式x—arcsinxx—arcsinx原式=lim:=lim=limx—0sin3xx33x2x—03x2"—x2设、1—x2=t，则1-x2=12,x2=1-12,x—0时t—1limt—1t—13(1—t2)t=lim—1t—i3(1+1)tex—1—sinx例9求limx—0x3错解因为ex—1~x,sinx~xx—x所以原式=lim——=0

x—03x3正解用洛必达法则「ex—1—sinx「ex—cosx-ex+sinx-ex+cosx1

lim=lim=lim二lim二—x—0x3x—03x2x—06xx—063分析错误原因是把两个无穷小量差分别进行等价代换,只能对整个分子分母进行代换．1.6泰勒公式法上述运用等价无穷小代换方法求解极限,往往能减少计算量,但这种方法仅限于求两个无穷小量f(x)土g(x)是乘或除式极限的时候，而对于非乘除式的极限，此方法行不同，如对形如lim：)：)(其中x—0h(x)土攻(x)f(x)土g(x)—0,h(x)土例x)—0)类型的极限我们知道可以使用洛必达法则求解下面介绍一种较为简便的方法：泰勒公式法：第一步，先将分母中各函数在x=0点按泰勒公式展开到第n项,并以它代替各自的函数，合并同类项的结果作为新的分母，而n是使新分母不为零的最小项数.第二步，再将分子中各函数在x=0点按泰勒公式展开到与新分母具有同次幂的项为止，同样以它代替各自的函数,合并同类项的结果作为新的分子．第三步,求解所得新分式的极限．这就要求我们记住一些常用的泰勒展开式．「excosx—(1+x2)例10求例10x—0x3

解因为分母是X3,故分子的泰勒公式:x2x3x2n=3ex=1+x+—+—+0(x4)cosx=1———+0(x4)262所以limxf0excosx-(1+x2)x3x所以limxf0excosx-(1+x2)x3x2x3x2[1+x+—+—+0(x4)][1——+0(x4)]—(1+x2)=1im」2xf0x3x3x3x—x2——+0(x4)——+0(x4)=lim3=lim-3x-0x3x-0x3「ex+sinx—1例11求hmx-01n(1+x)解看分母，展开到一次项即可，ln(1+x)=x+0(x),新分母就是x,再看分子，新分母是一次项，所以分子各函数只须展到一次项ex=1+x+0(x),sinx=x+0(x)，以1+x代ex,x代sinx，则新分子为(1+x)+x-1=2x,2x所以原式=1^=2xf0x例12求lim[x-x21n(1+!)]xf8x因为In(1+1)前的因式是x2，所以In(1+1)的泰勒公式中取n=2,则xln(1+1)=1——+0(x3)xx2x2lim[x—x2ln(1+1)]=lim{x—x2[——x-81.7导数定义法xxf8——+0(—)]}=lim[—+0(—)]二—2x2x3x-82x2数．f(x)—f(x)根据导数的定义：limx-0x—x0=f(x0),不定式极限可通过变形转换为函数在某一点的导sin4(x2—1)例13求lim——-——x-1x—1解设f(x)=sin4(X2—1),则f(1)=0sin4(x2—sin4(x2—1)

lim=limx-1x—1x-1f(x)-f(1)x-1=f"(1)=82-型不定式极限8两个无穷大量之比的极限类型记为-型，是不定式极限的重要且基本的类型，我们也可以把其它--类型的不定式极限转化成一型不定式极限来求解.-分子分母同除以x的最高次幂当不定式的分子分母均为多项式，且不定式为-型时，如果分子次数高于分母次数时结果为-；

-如果分子次数低于分母次数时结果为0；如果分子次数等于分母次数时结果为分子分母最高次数系数比．例14求limx-86x4-1解原式=limx--例14求limx-86x4-1解原式=limx--1125—3—+———xx3x46——x42.2洛必达法则定理［3期(128洛必达法则)若函数f和g满足:(i)limf(x)=limg(x)=s；在x0的某右邻域U0(x)内两者都可导，且g'(x)丰0；0+0lim于(x)=A(A可为实数也可为±—,—);fg(x)则limx-x0+f(x):limf(x)二A.g(x)x-x+g(x)s若一型不定式极限分子分母的导数容易求得，且经过有限次求导后能求出结果，则用此方法来计s0算.运用此方法解此类型不定式极限和用此方法解o型不定式极限注意事项类似.xx--例15求lim-一lnxx--解原式=lim；=limx=gx告8_xTgx2.3分子分母都除以分子分母中趋向较快的项例16limxTg5x+3x5x+i+2x例16limxTg5x+3x5x+i+2x+i解原式=limxTgii3—+—(—)x555-2、1+()x+12.4用迫敛定理求极限如果直接求不定式极限很难求,可以考虑把不定式适当放大或缩小,若放大或缩小后的两个极限容易求出,并且极限值相同,可用迫敛定理去解．[x]例17求limxTgx解因为x-1<[x]<x,当x>0时,1-1<[x]<1,lim(1--)=1x[x]由迫敛定理得lim=1xTgx当x<0时,1<[x]<1-1,lim(1-1)=1xxT8x[x]由迫敛定理得lim=1xTgxxT8x例18求limxT+g-x解因为xsinxx2-4xsinxx-<<——limxT+gx2-4x2-4x2-4-xxxsinx=lim=0,由迫敛定理，所以lim=0x2-4xT+8x2-4xT+8x2-43其它类型的不定式极限不定式极限还有0口卜，00,80产-8等类型，经过简单变换,它们均可化为0型或8型极限．19limsinx.InxxT0这是一个0•8型的不定式极限-sin-sinxsinxlim.=0xT0cosxx原式=lim=lim——xT01xT0-c0sxsinxsin2x20lim(冗一2arctanx)•InxxT8

解这是一个0.8型的不定式极限「冗一2arctanx1+x2-2xln2x21n2x+4lnx原式=hm1=lim-1=lim=limxT9xS_xT91+x2x.<»2xlnxxln2x2lnx-1+2—xxlnx+11=lim2—xx=lim2=lim2—=0xT92xT9xxT9x1例21lim(1+x2)xxT0+分析这是一个19型不定式极限,计算这类极限用到第二个重要极限lim(1+1)n=e及公式nT9n的推广，或用取对数的方法去求解，如例22.-1解原式=lim{[(1+x2)]x2}x=e0=1xT0+例22lim(1+1+—)xxT+9xx2解这是一个19型不定式极限，对求极限的部分取对数得(1+1+—)x=ex皿1+；+上，对指数xx2求导数11ln(1+x+x2)-lnx2limxln(1++)=lim1―xT9xx2xT9_x二―1+x+；x=Umx2+2x=1xT9xT9x2+x+1x2lim(1+—+—)x=exT9xx290,00类型也可以用取对数的方法化为09型来计算.例23求lim(x+\：1+x2)lnxxT9L十解这是一个90型不定式极限(x+V1+x2)lnx=eln(x+7+x2)lnx一ln(x一ln(x+v11+x2)limXT9lnx=limS；1+x2=1xT9于是有lim(x+<1+x2)lnx=ex-8例24求limxsinxx-0解这是一个00型不定式极限,xsinx=esinxlnxlimsinxInx=limlimsinxInx=limlnx丁=limx-0cosx-sin2x_limx-0x2cosxsinxsin2x所以limsinxsin2x所以limxsinx=eo=1x-0例25lim(--arctanx)x-+82lnx解这是一个00型不定式极限--u，①.f,，，-.、(--arctanx)mx=eln(2-arctanx)lnx=elnxln(2-arctanx)1-一一limlnxln(2-1-一一limlnxln(2-arctanx)_limx-+8x-+8=limx-+8冗--arctanx2(1+x2)2=lim兀x-+s--arctanx