《相似三角形的判定与性质-相似三角形的判定》-完整版课件

相似三角形的判定与性质本课内容本节内容3.4——3.4.1相似三角形的判定

在八年级上册，我们已经探讨了两个三角形全等的条件，下面我们来探讨两个三角形相似的条件.

为了研究满足什么条件的两个三角形相似，我们先来研究下述问题.动脑筋如图，在△ABC中，D为AB上任意一点.过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.（1）△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？（2）分别度量△ADE

与△ABC

的边长，它们的边长是否对应成比例？（3）△ADE

与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？我发现只要DE∥BC，那么△ADE

与△ABC是相似的．

在△ADE与△ABC中，∠A

=∠A.∵

DE∥BC，∴∠ADE

=∠B，∠AED=∠C.下面我们来证明：如上图所示，过点D作DF∥AC，交BC于点F.∵

DE∥BC，

DF∥AC，∴F∵

四边形DFCE为平行四边形，∴

DE=FC.∴△ADE∽△ABC.∴F结论平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.由此得到如下结论：举例例1

如图，在△ABC中，已知点D，E分别是AB，AC边的中点.求证：△ADE∽△ABC.∴

△ADE∽△ABC.证明

∵

点D，E分别是AB，AC边的中点，∴

DE∥BC.举例例2

如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F，使DE=EF.求证：△CFE∽△ABC.证明

∵

DE∥BC，

点D为△ABC的边AB的中点，∴AE=CE.又DE=FE，∠AED=∠CEF，∴

△ADE≌△CFE．∴

△CFE∽△ABC．∵

DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，练习如图，在Rt△ABC中，∠C

=

90°．正方形EFCD的三个顶点E、F、D分别在边AB，BC，AC上.

已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长．1.解△ADE∽△ACB.由已知条件易知BC∥ED,由相似三角形的判定定理可得∴设正方形EFCD的边长为x,则有答：正方形EFCD的边长为3.解得

如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥BC，OF∥CD.试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并说明理由.2.解∵∴△AEO∽△ABC，△AFO∽△ADC.∴又∴四边形AEOF∽四边形ABCD.解OE∥BC，OF∥CD，解∵解动脑筋任意画△ABC

和△，使∠A=∠，∠B=∠.（1）∠C=∠吗？（2）分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？（3）把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么发现？

我发现这两个三角形是相似的.在△的边上截取点D，使=AB.过点D作DE∥，交于点E.下面我们来证明：DE如图，在△ABC

与△中，已知，∠B=∠.∠A=∠在△ABC

与△DE

中，∵

，

=AB，

∠

=∠=∠B，∠A=∠又DE∥B′C′，∽△△∴∴△ABC△

△ABC△∽∴结论由此得到相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.举例例3

如图，在△ABC

中，∠C=90°．从点D分别作边AB，BC的垂线，垂足分别为点E，F，DF与AB交于点H．求证：△DEH∽△BCA．举例证明

∵

∠C=90°，DF⊥BC，∴∠BHF=∠A，∴∠DHE=∠A.又∠DEH=90°=∠C，DF∥AC.∴∴

△DEH∽△BCA（两角分别相等的两个三角形相似.)举例例4

如图，在Rt△ABC

与Rt△DEF中，∠C=90°，∠F=90°．若∠A=∠D，AB=5，BC=4，DE=

3，求EF的长．例4∴EF=2.4.∴△ABC∽△DEF.∴又AB=5，BC=4，DE=3，∵

∠C=90°，∠F=90°，

∠A=∠D，解练习

如图，点E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F.请指出图中有几对相似三角形，并说明理由.1.答：有三对相似三角形.即△CEF∽△BEA.△ADF∽△EBA,△ADF∽△ECF,理由是每组三角形中有两个角分别相等.Rt△ABC∽Rt△ACD.∴∴∴解∵∠ACB+∠A=90°，∠ACB+∠ECD=90°，2.如图，AB⊥BD，ED⊥BD，点C是线段BD

的中点，且AC⊥CE.

已知ED=1，BD=4，求AB的长．∴∠A=∠ECD.任意画△ABC

和△，使∠A=∠A′，（1）分别度量∠B和∠，∠C和∠的大小，它们分别相等吗？（2）分别量出BC和的长，它们的比等于k吗？（3）改变∠A或k的大小，你的结论相同吗？由此你

有什么发现？动脑筋我发现这两个三角形是相似的.在△的边上截取点D，使=AB.过点D作DE∥，交于点E.下面我们来证明：DE如图，在△ABC

与△中，已知∠A=∠A′，∴∴∽△△∴∵

DE∥，又∴

=AC.∴

△ABC∽△A′B′C′.

∴

△A′DE≌△ABC.∵结论两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.结论由此得到相似三角形的判定定理2：例5举例

如图，在△ABC与△DEF中，已知∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：△ABC∽△DEF.例5举例证明

∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，∴∴又∠C=∠F=70°，△ABC∽△DEF∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）.例6举例

如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且求证：∠ACB=90°.证明

∵

CD是边AB上的高，∴

∠ADC=∠CDB=90°.又∴

△ACD∽△CBD.∴

∠ACD=∠B.∴

∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°.练习如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5，求AD的长．1.解∵△ABC∽△ACD.∴∴∴∠B=∠ACD,又如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC=6，AB=

5，EC=

4，DB=7.求证：△ABC∽△AED．2.证明

∵∴∠CAB=∠DAE,又∴△ABC∽△AED．动脑筋

任意画两个三角形△ABC

和△，使△ABC的边长是△

的边长的k倍.

分别度量∠A和∠

，∠B和∠

，∠C和∠

的大小，它们分别相等吗？由此你有什么发现？

我发现这两个三角形是相似的．在△的边上截取点D，使=AB.过点D作DE∥，交于点E.如图，在△ABC

与△中，已知下面我们来证明：DE△∽△∴∴∴△

△ABC∴∵

DE∥

又=AB，DE△ABC∽△∴结论三边成比例的两个三角形相似.由此得到相似三角形的判定定理3：举例例7

如图，在Rt△ABC和Rt中，∠C=90°，∠

=90°，求证：

Rt△ABC∽△△Rt分析已知两边成比例，只要得到三边成比例，即可完成证明.则证明设由勾股定理，得∴∴∴Rt△ABC∽△Rt（三边成比例的两个三角形相似）判断下图中的两个三角形是否相似，并说明理由.举例例8解在△ABC中，AB＞BC＞CA，在△DEF中，DE＞EF＞FD，∵∴△DEF∽△ABC.∴练习如图，已知点D，E，F分别是△ABC

三边的中点，求证：△EDF∽△ACB.1.即DF、DE、EF是△ABC的三条中位线，证明∵点D，E，F分别是△ABC

三边的中点，∴△EDF∽△ACB.∴判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.2.解△在中，由勾股定理得在△ABC中，在△ABC中，由勾股定理得∴△∴三角形相似）（三边成比例的两个∴三角形相似）△ABC∴三角形相似）∽中考试题例1

如图所示，已知△ACP∽△ABC，AC=4，AP=2，则AB的长为

.

8解因为△ACP∽△ABC，所以，所以BACP中考试题例2

已知ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另