对圆周运动中小球脱离问题的推广

对圆周运动中小球脱离问题的推广/在高中力学当中，我们经常遇到一类问题，如'小球恰好脱离••••••"，“小球恰能通过••••••”，"对轨道压力恰为零••••••"，这是曲线运动（圆周运动）中典型的临界类型的问题。只要弄清楚约束条件（如绳、轨道、杆各不相同），然后对小球做受力分析，对同学们来说没有什么困难。但平常出现的题目中，临界点一般都是最高点。事实上最高点只是脱离问题的一种特殊情况。本文主要是想谈一谈临界点为任意点的情况，希望通过本文让大家对脱离问题有一点新的认识。请看接下来的这道题：在水平地面上竖直放置一光滑的圆形薄轨（轨道为单向约束）并固定，轨道半径为R。有一质量为m的小球静止在其最低点，小球可视为质点。现给小球一水平方向的初速度v0（以水平向左为例），且V2gR<vO<V5gR。问小球到地面的距离的最大值是多少？（重力加速度为首先解释什么叫单向约束。轨道分为单向约束和双向约束两种，单向约束即轨道对小球的弹力只能指向圆心，相当于绳。双向约束即轨道对小球的弹力可指向圆心也可沿径向指向轨道外侧，相当于轻杆。此处的单向约束轨道相当于绳。由于是薄轨道，即轨道厚度忽略，我们以地面为起始高度，小球视为质点。注意到题中所给限制条件，V2gR<vO<V5gR。这一条件意味着，小球无法运动到最高点b,但能够通过最左侧的点a（大家很容易可以用数学证明出这个结论）。即最终的答案肯定介于R和2R之间。小球从最低点出发后，在到达最高点之前，速率将一直减小。小球通过a点之后，可继续沿轨道上升，但上升速率在减小，直到小球到达某点c开始脱离圆形轨道，根据之前的结论,c点肯定位于a、b之间。先来思考一下，脱离c后，小球会怎么运动。大家以前做临界点为最高点的题目时应该思考过为什么小球到达临界点的速度不能为零，在这里也是一样。考虑到轨道为单向约束，故小球到达点c时的速度不可能为零（很好证明，用简单的逻辑就能证明，这里不谈，如果需要，我会另外跟帖证明）。所以，小球在到达c的时候，是具有一定切向速度的，即小球不会从c点开始作自由落体运动。那么小球通过c之后作什么运动呢？很显然，只能作斜抛运动（学过平抛运动的同学就应该会解斜抛运动问题）。既然是斜抛，那么小球在离开c点后到地面的距离就会继续增大一些，直到小球运动至斜抛运动的最高点d。到达d后的运动，就是大家所熟知的平抛运动。接下来，小球将会沿曲线运动并砸在圆形轨道的e点处。考虑到轨道光滑，且不计空气阻力，小球从最低点出发后，一直到砸在e点之前的整个过程中，小球机械能都是守恒的。而砸在e点处会产生热，即机械能损失，转化为内能，总机械能减少。因而小球砸在e点后又重新下滑至最低点，它到达最低点时的速度肯定小于v0，也就是说，即使小球第二次通过最低点的速度依然满足"2gR〈vO'〈h的条件的话，它斜抛的最高点也必定比第一次的d点要低（而事实上，第二次通过最低点的速度是无法满足这个条件的，大家可以用数学方法证明）。综上，小球到地面的距离的最大值应为小球第一次作斜抛运动的最高点d到地面的竖直高度。如果能够算出第一次平抛运动的最高点d的位置，就知道本题的答案了。接下来，方法不止一种，我采用的是如下思路：求d的竖直高度，可转化为求d处的重力势能，我们可以先求出d点的动能（再用机械能减去d处小球的动能得到d处小球的重力势能），再转化为求小球在d处的速度，而小球到达c之后的斜抛过程中水平速度保持恒定，所以d处的速度大小等于小球在c处的速度的水平分量，所以应当先求c处的速度大小并根据角度关系知道其水平分量。接下来问题就转化为如何求小球在c点的速度大小以及角度关系是怎样的。根据受力分析可知，在c点处轨道弹力恰为零，即重力沿径向的分力充当此时的向心力（因为运动轨迹上任意一点的向心力都一定垂直于该点的切线，指向曲率中心）。因此我们作出下图帮助分析：设小球在c点处的速度方向(即c点的切线方向)与水平方向夹角为e,由小球在c点处重力沿径向的分力提供向心力，得：Mgcos0=mvA2/R解出cos0=vA2/gRo令c到地面的竖直高度为h,得h=R(1+cosB),即：h=R(1+vA2/gR)对小球出发到c这段过程用机械能守恒并整理得：1/2mv0A2-mgR(1+vA2/gR)=1/2mvA2解出vA2=(v0A2-2gR)/3，所以cosO=(v0A2-2gR)/3gR,将v在c处分解，得到水平分量为：vx=vcos0=V(v0A2-2gR)/3*(v0A2-2gR)/3gR也就是最高点d处的速度大小。设d到地面的竖直高度为H,对小球出发一直到运动至最高点d用机械能守恒并整理得：1/2mv0A2-m/2[V(v0A2-2gR)/3*(v0A2-2gR)/3gR]A2=mgH解出H=v0A2/2g-(v0A2-2gR)A3/54gA3RA2即小球到地面的距离的最大值是v0A2/2g-(v0A2-2gR)A3/54gTRA2以上计算和化简过程从