二次函数经典难题(含精解)资料

精品文档精品文档精品文档精品文档二次函数经典难题（含精解）一．选择题（共1小题）A．1B．2C．3D．6顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点在顶点不变的情况下把该抛物线顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与yA．1B．2C．3D．6二．填空题（共12小题）作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2，将抛物线C22个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是，则抛物线C1是 ．抛物线 关于原点对称的抛物线解析式为 ．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转则旋转后的抛物线解析式是 ．如图，正方形ABCD的顶点AB与正方形EFGH的顶点GH抛物线的顶点在CD上，若正方形ABCD10，则正方形EFGH的边长为 ．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个“y=a+bx+cb、c1“是等腰直角三角形的概率为 ．抛物线y=a+bx+c△ABC的顶点A（，B4，直角顶点C在y轴上，若抛物线的顶点△ABC的内部（不包括边界，则a的范围是 ．已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 ．抛物线x+a2的顶点在直线y=2上，则a= ．若抛物线x+a2的顶点在直线x=2上，则a的值是 ．若抛物线 的顶点在x轴上方，则m的值是 ．y=ax2+c图象的顶点为OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点AC也在该抛物线上，则ac的值是 ．抛物线y=a2+b1经过点，5，则代数式6a+3b+1的值为 ．三．解答题（17小题）已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式．将抛物线（x+1）2﹣2绕点旋转180゜得到抛物线C2，若抛物线的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式．如图，抛物线y1=﹣x2+21个单位得到抛物线y2，回答下列问题：抛物线的顶点坐标 ；阴影部分的面积S= ；若再将抛物线绕原点O180°得到抛物线y3，求抛物线的解析式．已知抛物线：y=a+bx+（其中、、c都不等于，它的顶点P的坐标是，与y轴的交点是（．我们称以M为顶点，对称轴是y且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PML的伴随直线．请直接写出抛物线y=2x2﹣4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式 ，伴随直线的解析式 ；若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=﹣x2﹣3y=﹣x﹣3，则这条抛物线的解析式是 ；求抛物线ac0）式；若抛物线L与x轴交于（）1＞，它的伴随抛物线与x轴交于CD两点，且AB=CD．请求出ab、c应满足的条件．设抛物线y=x2+2ax+bx轴有两个不同的交点将抛物线沿y轴平移，使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是原来的2所得抛物线的解析式；通过中所得抛物线与x抛物线的表达式．已知抛物线：y=a+bx+＜）过原点，与x轴的另一个交点为（4，A为抛物线C的顶点．1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O180°得到抛物线C′，求抛物线CC′的解析式；在的条件下，设A′为抛物线C′的顶点，求抛物线C或C′上使得的点P的坐标．如图已知抛物线y=a+bx交x轴正半轴于AB两点交y轴于点C且CBO=6°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线BC的解析式．已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点AB物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．求此抛物线的解析式；点M△ABM△ABD的面积相等的点M坐标．已知抛物线的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式．如图，抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．求此抛物线的解析式；点P为抛物线上的一个动点，求使S△△ACD=5：4的点P的坐标．已知一抛物线经过（0）两点，且解析式的二次项系数为﹣（＞0．（Ⅰ）当a=1时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ已知点（1AB相交于点x轴相交于点（异于原点a的值为常数？当a的值为常数？（Ⅲ）若点P（t，t）在抛物线上，则称点P使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线y=x﹣上，请说明理由．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于B两点（点A在点B的左侧，点B的横坐标是；求a的值；如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点PM关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．2．如图，抛物线y=a+bx+3经过（3，（﹣，）两点．求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为，直线y=﹣2x+9y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．如图，抛物线y=a（x+1）2的顶点为Ay轴的负半轴交于点B，且OB=OA．求抛物线的解析式；若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．求抛物线顶点A的坐标及c的值；设抛物线与y轴交于点，与x轴交于点C点在D点的左侧△ABD的形状．如果抛物线m的顶点在抛物线n上，同时抛物线n的顶点在抛物线m称抛物线mn为交融抛物线．已知抛物线a：y=x2﹣2x+1．判断下列抛物线与已知抛物线a是否为交融抛物线？并说明理由；在直线y=2上有一动点P（，2，将抛物线y=2﹣2x+1绕点P（2）旋转18°得到抛物线l，若抛物线a与l为交融抛物线，求抛物线l的解析式；（3）M为抛物线a；y=x2﹣2x+1为抛物线a的交融抛物线的顶点，是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形SyS若不存在，请说明理由；（4）通过以上问题的探究解决，相信你对交融抛物线的概念及性质有了一定的认识，请你提出一个有关交融抛物线的问题．1y=kx+mxy轴分别交于点Cy=﹣x2+bx+c经过AC两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=﹣时，y取最大值 ．求抛物线和直线的解析式；设点P是直线AC上一点，且S△△BPC=1：3，求点P的坐标；直线y= x+a与（1）中所求的抛物线交于点、N，两点，问：①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．②MO＞9°a（不写过程，直接写结论）（参考公式：在平面直角坐标系中，若（1，1，22，则N两点之间的距）参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）A．1B．2C．3D．6顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点在顶点不变的情况下把该抛物线顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与yA．1B．2C．3D．6考点考点：二次函数图象与几何变换．A和B的坐标，再求三角形的面积则可．解：当x=0y=，所以A的坐标是，3，y=2﹣2x+3（x12+，把它绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线是时y=，所以B的坐标是1P的坐标是，，△PAB的面= ×2（32）=1．故选A．难度较大．二．填空题（共12小题）作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2，将抛物线C22个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是，则抛物线C1是y=﹣2（x﹣1）2+2．考点考点：二次函数图象与几何变换．专题：应用题．C的顶点，进而可得到抛物线B的坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线Bx轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C1所对应的函数表达式．解：根据题意易得抛物线C的顶点为（1，1，∵是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线C的，∴抛物线B的坐标为1，，可设抛物线B的坐标为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x﹣1）2﹣2，易得抛物线A的二次项系数为2，顶点坐标为2，∴抛物线A的解析式为y=﹣2（x﹣1）2+2，故答案为y=﹣2（x﹣1）2+2．点评：本题主要考查了讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数，难度适中．抛物线

关于原点对称的抛物线解析式为 ．考点考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据关于原点对称的点的坐标特点进行解答即可．解答：解：∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，∴抛物线y=﹣x2+x+2+2，即y= x2+x﹣2．故答案为：y= x2+x﹣2．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转则旋转后的抛物线解析式是y=﹣x2﹣1 ．考点考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可．解答：解：根据题意，﹣y=（﹣x）2+1，得到y=﹣x2﹣1．故旋转后的抛物线解析式是y=﹣x2﹣1．点评：考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式．如图，正方形ABCD的顶点AB与正方形EFGH的顶点GH同在一段抛物线上，且抛物线的顶点在CD上若正方形ABCD边长为1则正方形EFGH的边长为5 ﹣5 考点考点：二次函数综合题．首先建立平面坐标系：过点G作GM⊥x轴于点示出G点坐标，再利用FG+MG=10，进而求出即可．解：如图建立平面坐标系：过点G作GM⊥x轴于点∵正方形ABCD10，∴BB点代入y=ax2，则﹣10=25a，解得：a=﹣，设G（，﹣2，则GF=2a，∴MG=10﹣GF，即a2=10﹣2a，整理的：a2+5a﹣25=0，解得：a1=，a2=（不合题意舍去，∴正方形EFGH的边长FG=2a=5﹣5．故答案为﹣5．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据正方形的性质以及抛物线上点的坐标性质得出等式是解题关键．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个“y=a+bx+cb、c1“是等腰直角三角形的概率为．考点考点：列表法与树状图法；抛物线与x轴的交点．分析：由系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，可得系数a、b、c为：0，1，﹣1；然后根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的情况，再利用概率公式即可求得答案．等腰直角三角形的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：∵系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，∴系数ab、c画树状图得：∵共有18”是等腰直角三角形的有（1，0，﹣（，0，∴该抛物线抛物线三角”是等腰直角三角形的概率为：= ．故答案为：．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与二次函数的性质．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．抛物线y=a+bx+c△ABC的顶点A（，B4，直角顶点C在y△ABC的内部（不包括边界，则a的范围是﹣＜＜0或0a＜＜．考点考点：二次函数的性质．专题：压轴题．AB的坐标求出OAOB△ACO和△CBO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OC轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q的正切值求出点P到x轴的距离P，设抛物线的交点式解析式y=（x+（4，整理求出顶点坐标，再根据抛物△ABC的内部分两种情况列式求出a的取值范围即可．解：∵点A（，，（，，∴OA=1，OB=4，易得△ACO∽△CBO，∴=，即=，解得OC=2，∵抛物线y=a+bx+c经过（，B4，，∴对称轴为直线∴对称轴为直线x== ，设对称轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q，则BQ=4﹣=2.5，tan∠ABC= =，即=，解得PQ= ，设抛物线的解析式为y=（x+x﹣，则y=a（x2﹣3x﹣4）=a（x﹣）2﹣ a，当点C在y轴正半轴时，0＜﹣a＜，解得﹣＜a＜0，当点Cy轴负半轴时，﹣＜﹣a＜0，解得0＜a＜，所以，a的取值范围是﹣＜a＜0或0＜a＜．故答案为：﹣＜a＜0或0＜a＜．点评：本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，把二次函数的解析式用交点式形式表示更加简便，注意要分点C在y正半轴和负半轴两种情况讨论．已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上，则a= 9 ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是a＜9 ．考点考点：抛物线与x轴的交点．x轴上即抛物线与x0，若抛物线与x△＞0，据此即可求解．解答：解答：解：△=36﹣4a，则定点在x轴上，则36﹣4a=0，解得：a=9；抛物线与x轴有两个交点，则36﹣4a＞0，解得：a＜9．故答案是：9；a＜9．点评：本题考查了二次函数图象与x轴的公共点的个数的判定方法，如果△＞0，则抛物线与x轴有两个不同的交点；如果△=0，与x轴有一个交点；如果△＜0，与x轴无交点．抛物线x+a2的顶点在直线y=2上，则a= 2 ．考点考点：待定系数法求二次函数解析式．专题：压轴题．分析：根据抛物线顶点的纵坐标等于2，列出方程，求出a的值，注意解答：要有意义．解：因为抛物线的顶点坐标为（﹣，）所以=2解得：a1=2，a2=﹣1又因为 要有意则a≥0所以a=2．点评此题考查了学生的综合应用能力，解题时要注意别漏条件，特别是一些隐含条件，如： 中a≥0．若抛物线x+a2的顶点在直线x=2上，则a的值是4 ．考点考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线顶点的横坐标等于2，列出方程，求出a的值，注意解答：要有意义．解：因为抛物线的顶点坐标为（﹣，，所以﹣=2，解得：a1=4，a2=﹣4，又因为 要有意义则a≥0，所以a=4．故答案为4．点评：此题考查了学生的综合应用能力，解题时要注意别漏条件，特别是一些隐含条件，比如： 中a≥0．若抛物线 的顶点在x轴上方，则m的值是2 ．考点：二次函数的性质；二次函数的定义．专题：计算题．分析：先列出关于m的等式，再根据抛物线0解答：

的顶点在x轴上方，求得m，解：∵∴m2﹣2=2，解得m=±2，

是抛物线，∵抛物线的顶点在x轴上方．∴0﹣8（m+2）＜0，∴m＞﹣2，∴m=2．故答案为：2．性．如图二次函数y=ax2+c图象的顶点为若以OB为对角线的正方形ABCO的另两顶点AC也在该抛物线上，则ac的值是﹣2 ．考点考点：二次函数的性质；正方形的性质．抛物线y=a2+c的顶点B点坐标为0，由四边形ABCO是正方形，则C点坐标为标为（﹣，，代入抛物线即可解答．解：∵抛物线y=a+c的顶点B点坐标为0，四边形ABCO是正方形，∴∠COB=90°，CO=BC，∴△COB是等腰直角三角形，∴C点横纵坐标绝对值相等，且等于BO长度一半，∴C点坐标为（﹣，，将点C代入抛物线方程中得ac=﹣2．故答案为：﹣2点评：本题将几何图形与抛物线结合了起来，同学们要找出线段之间的关系，进而求得问题的答案．的答案．抛物线y=a2+b1经过点，5，则代数式6a+3b+1的值为10 ．考点考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：整体思想．把点（2，5）2a+b解：∵抛物线y=a+b1经过点，，∴4a+2b﹣1=5，∴2a+b=3，∴6a+3b+1=3（2a+b）+1=3×3+1=10．故答案为：10．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数解析式求出、b关系式是解题的关键，主要利用了整体思想．三．解答题（17小题）已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式．考点考点：二次函数图象与几何变换．分析：利用关于x轴对称的点的坐标为横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．C2与抛物线C1x﹣y=2x2﹣4x+5，因此所求抛物线C2的解析式是y=﹣2x2+4x﹣5．点评：利用轴对称变换的特点可以解答．考点：二次函数图象与几何变换．分析：先求出抛物线C1的顶点坐标，再根据对称性求出抛物线C2的顶点坐标，然后根据旋转的性质写出抛物线C2的顶点式形式解析式，再把抛物线C1的顶点坐标代入进行即可得解．解答：解：∵y= （x+）﹣2的顶点坐标为（1，2，2∴绕点P（，2）旋转18゜得到抛物线2的顶点坐标为2t+考点：二次函数图象与几何变换．分析：先求出抛物线C1的顶点坐标，再根据对称性求出抛物线C2的顶点坐标，然后根据旋转的性质写出抛物线C2的顶点式形式解析式，再把抛物线C1的顶点坐标代入进行即可得解．解答：解：∵y= （x+）﹣2的顶点坐标为（1，2，2∴绕点P（，2）旋转18゜得到抛物线2的顶点坐标为2t+，6，∴抛物线C2的解析式为y=﹣（x﹣2t﹣1）2+6，∵抛物线C1的顶点在抛物线C2上，∴﹣（﹣1﹣2t﹣1）2+6=﹣2，t1=3，t2=﹣5，∴抛物线∴抛物线C2的解析式为y=﹣（x﹣7）2+6（x+9）2+6．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，难度较大，求出旋转后的抛物线C2的顶点坐标是解题的关键，也是本题的难点．如图，抛物线y1=﹣x2+21个单位得到抛物线y2，回答下列问题：抛物线的顶点坐标（1，2）；阴影部分的面积S= 2 ；若再将抛物线绕原点O180°得到抛物线y3，求抛物线的解析式．考点考点：二次函数图象与几何变换．分析：直接应用二次函数的知识解决问题．（）读图找到最高点的坐标即可．故抛物线2的顶点坐标为1，2分）（6分）由题意可得：抛物线的顶点与抛物线的顶点关于原点O所以抛物线3的顶点坐标为（，2，于是可设抛物线3的解析式为：y=a（x+1）2﹣2．由对称性得a=1，所以3=（x+）﹣2（10分）点评：考查二次函数的相关知识，考查学生基础知识的同时还考查了识图能力．已知抛物线：y=a+bx+（其中、、c都不等于，它的顶点P的坐标是，与y轴的交点是（．我们称以M为顶点，对称轴是y且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PML的伴随直线．请直接写出抛物线y=2x2﹣4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式伴随抛物线的解析式y=﹣2x2+1 ，伴随直线的解析式y=﹣2x+1 ；若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3，则这条抛物的解析式是y=x2﹣2x﹣3 ；求抛物线ac0）式；若抛物线L与x轴交于（）1＞，它的伴随抛物线与x轴交于CD两点，且AB=CD．请求出ab、c应满足的条件．考 二次函数综合题点：专 压轴题；新定义题：分 （1）先根据抛物线的解析式求出其顶点P和抛物线与y轴的交点M的坐标．然后根析：据M的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将P点的坐标代入抛线的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式根据两点的坐标即可求出直线PM的解析式；y随直线的交点（与y轴交点除外）是抛物线的顶点，据此可求出抛物线的解析式；（3）方法同；（4）本题要考虑的a、b、c满足的条件有：抛物线和伴随抛物线都与x轴有两个交点，因此△＞0，①由于抛物线L中，x2＞x1＞0，因此抛物线的对称轴x＞0，两根的积大于0．②根据两抛物线的解析式分别求出AB、CD的长，根据AB=CD可得出另一个需满足的条件…③综合这三种情况即可得出所求的a、b、c需满足的条件．解 解（）y﹣22+y2x+；（2）将y=﹣x2﹣3y=﹣x﹣3组成方程组得，，解得， 或 ．则原抛物线的顶点坐标为1，，与y轴的交点坐标为，﹣．设原函数解析式为y=n（x﹣1）2﹣4，将（0，﹣3）代入y=n（x﹣1）2﹣4得，﹣3=n（0﹣1）2﹣4，解得，n=1，则原函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3．（3）∵伴随抛物线的顶点是，∵设它的解析式为y=（﹣0+c（≠0，∵此抛物线过P（﹣ ， ，∴ =m•（﹣ ）2+c，解得m=﹣a，∴伴随抛物线解析式为y=﹣ax2+c；设伴随直线解析式为设伴随直线解析式为y=kx+≠0，P（﹣，）在此直线上，∴，∴k= ，∴伴随直线解析式为y= x+c；（4）∵抛物线L与x轴有两交点，∴△1=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac；∵x2＞x1＞0，∴x2+x1=﹣＞0，x1•x2= ＞0，∴ab＜0，ac＞0．对于伴随抛物线有，得x=±．∴C（﹣，0，（，0CD=2，AB=x2﹣x1====，∵AB=CD，则有：2=，即b2=8ac，综合b2=8ac，b2﹣4ac＞0，ab＜0，ac＞0可得a、b、c需满足的条件为：b=8ac且a＜（或=8ac且b＜．点 本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程根与系数的关系评：设抛物线y=x2+2ax+bx轴有两个不同的交点将抛物线沿y轴平移，使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是原来的2所得抛物线的解析式；通过中所得抛物线与x抛物线的表达式．xx轴的交点的距离公式得到

=2 ，解得m=3b﹣3a2，则平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+4b﹣3a2；（）先确定y=+2ax+b的顶点坐标为（，﹣2，由于通过）与x轴的两个交点，则可设新抛物线解析式为y=（+2ax+4﹣32，然后把（﹣a，b﹣a2）代入可求出t= ．（）设平移所得抛物线的解析式为y=+2ax+b+，根据题意得

=2 ，解得m=3b﹣3a2，所以平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+3b﹣3a2=x2+2ax+4b﹣3a2；（2）y=+2ax+bx+2+﹣2，其顶点坐标为（﹣2，∵新抛物线的表达式过抛物线y=x2+2ax+4b﹣3a2与x轴两交点，∴可设新抛物线解析式为y=（2+2ax+4﹣32，把（，﹣2）代入得=222+432，解得t= ，所以新抛物线的表达式过抛物线y= x2+ ax+b﹣a2．x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于xy=a+bxcc的交点与一元二次方程a2+bx+c=0根之间的关系：△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．已知抛物线：y=a+bx+＜）过原点，与x轴的另一个交点为（4，A为抛物线C的顶点．1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O180°得到抛物线C′，求抛物线CC′的解析式；在的条件下，设A′为抛物线C′的顶点，求抛物线C或C′上使得的点P的坐标．考点考点：二次函数综合题；点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．A点是抛物线CC交x轴于OAO=AB，AOB=6°△ABOA作Ax轴于R△OAE中，求出ODAE的值，即可求出顶点A的坐标，最后设抛物线C的解析式，求出a的值，从而得出抛物线C的解析式；先过A作AE⊥OB于E，根据题意得出OE= OB=2，再根据直线OA的解析式为y=x，得出AE=OE=2，求出点A的坐标，再将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，求出a的值，得出抛物线C的解析式，再根据抛物线C、C′关于原点对称，从而得出抛物线C′的解析式；先作AB的垂直平分线，分别交ABx轴于、（，，由2）知，抛物线C的顶点为A（，﹣2，得出AB的中点M的坐标，再作M⊥x轴于H，得出△Nl﹣1（，0，得出直线l的解析式，求出x的值，再根据抛物线C上存在两点使得C′上也存在两点使得出P3，P4的坐标，即可求出答案．（）连接A．∵A点是抛物线C的顶点，且抛物线C交x轴于O、B，∴AO=AB，又∵∠AOB=60°，∴△ABO是等边三角形，过A作AD⊥x轴于D，在Rt△OAD中，∴OD=2，AD= ，∴顶点A的坐标为）设抛物线C的解析式为将O（0，0）的坐标代入求得：a= ，

（≠，∴抛物线C的解析式为 ．过A作AE⊥OB于E，∵抛物线C：y=a+bx+（＜）过原点和B（0，顶点为，∴OE= OB=2，又∵直线OA的解析式为y=x，∴AE=OE=2，∴点A的坐标为2，，将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，∴a= ，∴抛物线C的解析式为 又∵抛物线、C′关于原点对称，∴抛物线C′的解析式为 ；作AB的垂直平分线，分别交AB、x轴于、0，由前可知，抛物线C的顶点为A（2，2，故AB的中点M的坐标为MH⊥x轴于H，∴△MHBH，则M2=HH，即2（n4，∴ ，即N点的坐标为（0．∵直线l过点（，、（，，∴直线l的解析式为y=﹣3x+2，，解得 ．∴在抛物线C上存在两点使得PB=PA'，其坐标分别为P1（ ，解 得

P2（．

， ；∴在抛物线C′上也存在两点使得PB=PA'，其坐标分别为P3（5+ ，13 P（5﹣ ，17+3 ．∴点P的坐标是，（﹣5+ ，173 P

P（，17+3

， P32（199•烟台）如图，已知抛物线y=a2+bx交x轴正半轴于AB两点，交y轴于C，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线BC的解析式．考点考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式．分析：根据抛物线的解析式，易求得C点的坐标，即可得到OC的长；可分别在Rt△OBC和Rt△OAC中，通过解直角三角形求出OB、OA的长，即可得到A、B的坐标，进而可运用待定系数法求得抛物线和直线的解析式．解答解：由题意得C（0， 在Rt△COB中，∵∠CBO=60°，∴OB=OC•cot60°=1∴B点的坐标是，（1分Rt△COA中，∵∠CAO=45°，∴OA=OC=∴A点坐标（ ，0）由抛物线过AB两点得解得∴抛物线解析式为y=x2﹣（设直线BC的解析式为y=mx+n，）x+（4分）得n= ，m=﹣∴直线BC解析式为y﹣ x+ （6分）点评：此题主要考查的是用待定系数法求一次函数及二次函数解析式的方法．已知：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点AB物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．求此抛物线的解析式；点M△ABM△ABD的面积相等的点M坐标．y=﹣x+3求出AB出待定系数的值．（2）根据中抛物线的解析式可求出△ABM△ABDMD=4此可求出P点的纵坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出M点的坐标．（）直线y﹣x+3与坐标轴的两个交点坐标分别是A3，B（，3，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，c=3﹣9+3b+c=0，∴抛物线的解析式y=﹣x2+2x+3．（2）①作经过点D与直线y=﹣x+3平行的直线交抛物线于点M．则S△ABM=S△ABD，直线DM的解析式为y=﹣x+t．由抛物线解析式得（，4，∴t=5．设（，﹣m+，则有则有解得m=（舍去，m=．∴（，3．②易求直线DM关于直线y=﹣x+3对称的直线l的解析式为y=﹣x+1，l交抛物线于M．设（，﹣m+．由于点M在抛物线y=﹣x2+2x+3上，∴﹣m+1=﹣m2+2m+3．m=，m=∴M（，﹣），）∴使△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标分别是（2，（，﹣（，．点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法、图形面积的求法等知识点．考查了学生数形结合的数学思想方法．已知抛物线 的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式．考点考点：二次函数图象与几何变换．PB的坐标，然后根据对称性利用顶点式形式写出C3的解析式即可．解：点P的坐标为（，5，令y=0，则（x+2）2﹣5=0，解得x1=1，x2=﹣5，所以，点B的坐标为10，∵点P、M关于点B对称，∴点M的坐标为，，∵抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，抛物线C2向右平移得到C3，∴抛物线C3的解析式为y=﹣（x﹣4）2+5．如图，抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．求此抛物线的解析式；点P为抛物线上的一个动点，求使S△△ACD=5：4的点P的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；动点型．分析：（1）先根据直线y=x﹣3求出A、B两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值．（2）根据中抛物线的解析式可求出△APC△ACDPD=4此可求出P点的纵坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出P点的坐标．解答解（）直线y=3与坐标轴的交点则 ，解得 ，∴此抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3．（2）抛物线的顶点（，﹣4，与x轴的另一个交点设P，22a3，则（××|2﹣23（××）=：．化简得|a2﹣2a﹣3|=5．当a2﹣2a﹣3=5，得a=4或a=﹣2．P4，）或P（2，当a2﹣2a﹣3＜0时，即a2﹣2a+2=0，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为4，）或（5．识点．考查了学生数形结合的数学思想方法．已知一抛物线经过（0）两点，且解析式的二次项系数为﹣（＞0．（Ⅰ）当a=1时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ已知点（1AB相交于点x轴相交于点（异于原点a的值为常数？当a的值为常数？（Ⅲ）若点P（t，t）在抛物线上，则称点P使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线y=x﹣上，请说明理由．考点考点：二次函数综合题．专题：压轴题．（Ⅰ）首先利用抛物线经过（（）两点，且解析式的二次项系数为﹣求出抛物线解析式，再利用a=1求出抛物线的顶点坐标即可；（Ⅱ）利用当y=0时，有，求出x的值，进而得出点N的坐标，再利用若点M在点B右侧，此时a＞1，BM=a﹣1；若点M在点B左侧，此时0＜a＜1，BM=1﹣a得出答案即可；（Ⅲ）利用平移后的抛物线只有一个不动点，故此方程有两个相等的实数根，得出判别式，进而求出k与在直线上．解答：解：设该抛物线的解析式为，∵抛物线经过，，1）两点，∴，解得．∴该抛物线的解析式为（Ⅰ）当a=1时，该抛物线的解析式为y=﹣x2+2x，该抛物线的顶点坐标为，1；（Ⅱ）∵点N在x轴上，∴点N0．y=0时，有，解得x1=0，x2=a+1．∵点N异于原点，∴点N的坐标为a+，．∴ON=a+1，∵点M在射线AB上，∴点M的纵坐标为1．y=1时，有，整理得出整理得出，x1=1，x2=a．点M的坐标为1，）或，．M的坐标为时，M与B重合，a=1，BM=0，ON=2．ON+BM与ON﹣BM2．当点M的坐标为（a，1）时，若点M在点B右侧，此时a＞1，BM=a﹣1．∴ON+BM=（a+1）+（a﹣1）=2a，ON﹣BM=（a+1）﹣（a﹣1）=2．若点M在点B左侧，此时0＜a＜1，BM=1﹣a．∴ON+BM=（a+1）+（1﹣a）=2，ON﹣BM=（a+1）﹣（1﹣a）=2a．∴当0＜a≤1时，ON+BM的值是常数2，当a≥1时，ON﹣BM的值是常数2．（Ⅲ）设平移后的抛物线的解析式为，由不动点的定义，得方程：，即t2+（a﹣2h）t+h2﹣ak=0．∵平移后的抛物线只有一个不动点，∴此方程有两个相等的实数根．∴判别式△=（a﹣2h）2﹣4（h2﹣ak）=0，a﹣4h+4k=0，即．∴顶点（h，k）在直线上．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及根的判别式的性质等知识，利用分类讨论的思想得出M与B的不同位置关系得出答案是解题关键．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于B两点（点A在点B的左侧，点B的横坐标是；求a的值；如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点PM关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）将B点坐标代入抛物线C1的解析式中，即可求得待定系数a的值．（2）在抛物线平移过程中，抛物线的开口大小没有发现变化，变化的只是抛物线的位置和开口方向，所以C3的二次项系数与C1的互为相反数，而C3的顶点M与C1的顶点P关于原点对称，P点坐标易求得，即可得到M点坐标，从而求出抛物线C3的解析式．（）∵点B是抛物线与x轴的交点，横坐标是，∴点B的坐标为1，∴当x=1时，0=a（1+2）2﹣5，∴ ．（2）设抛物线3解析式为y=（x﹣+k，∵抛物线C2与C1关于x轴对称，且C3C2向右平移得到，∴ ，∵点P、M关于点O对称，且点P的坐标为（，5，∴点M的坐标为，，∴抛物线C3的解析式为y=﹣（x﹣2）2+5=﹣

x+ ．图象的关系，需要熟练掌握．2．如图，抛物线y=a+bx+3经过（3，（﹣，）两点．求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为，直线y=﹣2x+9y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．考点考点：二次函数综合题．分析：（1）直接用待定系数法就可以求出抛物线的解析式；（2）由（1）的解析式求出抛物线的顶点坐标，根据抛物线的顶点坐标求出直线OD（，h当抛物线经过点C时就可以求出hCD只有一个公共点时可以得出，得x2+（﹣2h+2）x+h2+ h﹣9=0，从而得△=（﹣2h+2）2﹣4（h2+ h﹣9）=0求出h=4，从而得出结论．（）抛物线解析式y=a+bx+3经过（﹣0（﹣）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3．（2）由（1）配方得y=（x+2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（，﹣，∴直线OD的解析式为y= x，于是可设平移后的抛物线的顶点坐标为h，，∴平移后的抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+ h，当抛物线经过点CC（9，∴h2+ h=9．h=，∴当h＜时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点；当抛物线与直线当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组，得x2+（﹣2h+2）x+h2+ h﹣9=0，∴△=（﹣2h+2）2﹣4（h2+ h﹣9）=0，解得h=4，此时抛物线y（x4+2与直线CD唯一的公共点为，，点33）在射线CD上，符合题意．故平移后抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的取值范围是h＜h=4．点评：本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数图象与几何变换及方程组与交点坐标的运用，利用根的判别式判断得出是解题关键．如图，抛物线y=a（x+1）2的顶点为Ay轴的负半轴交于点B，且OB=OA．求抛物线的解析式；若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值．考点考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．由抛物线解析式确定出顶点A坐标，根据OA=OB确定出B坐标，将B入解析式求出a的值，即可确定出解析式；（2）将C坐标代入抛物线解析式求出b的值，确定出C坐标，过CCD垂直于轴，三角形ABC梯形OBCD面积﹣三角形ACD面积﹣三角形AOB面积，求出即可．（）x=0，y=﹣1则抛物线解析式为y=﹣（x+1）2=﹣x2﹣2x﹣1；（2）过C作CD⊥x轴，将（﹣，）b4，即（﹣，，S△ABC=SOBCD﹣S△ACD﹣S△AOB=×3×（4+1）﹣×4×2﹣×1×1=3．点评：点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．求抛物线顶点A的坐标及c的值；设抛物线与y轴交于点，与x轴交于点C点在D点的左侧△ABD的形状．考点考点：二次函数综合题．先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点Al的解析式中求出点A的坐标，再将点A的坐标代入抛物线的解析式y=x2﹣2x+c中，运用待定系数法即可求出c的值；（2）先由抛物线的解析式得到点B的坐标，再求出AB、AD、BD三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可确定△ABD是直角三角形．（）∵y=2x+，∴顶点A的横坐标为x=﹣=1，又∵顶点A在直线y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴点A的坐标为1，．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，得﹣4=12﹣2×1+c，解得c=﹣3．故抛物线顶点A的坐标为1，4c的值为；（2）△ABD是直角三角形．理由如下：∵抛物线y=x2﹣2x﹣3与yB，∴（0，3．当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得解得x1=﹣1，x2=3，∴（﹣，0D（，0．∵BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．点评：本题考查了二次函数的性质，运用待定系数法确定其解析式，勾股定理及其逆定理等知识，综合性较强，难度适中．如果抛物线m的顶点在抛物线n上，同时抛物线n的顶点在抛物线m称抛物线mn为交融抛物线．已知抛物线a：y=x2﹣2x+1．判断下列抛物线与已知抛物线a是否为交融抛物线？并说明理由；在直线y=2上有一动点P（，2，将抛物线y=2﹣2x+1绕点P（2）旋转18°得到抛物线l，若抛物线a与l为交融抛物线，求抛物线l的解析式；（3）M为抛物线a；y=x2﹣2x+1为抛物线a的交融抛物线的顶点，是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形SyS若不存在，请说明理由；（4）通过以上问题的探究解决，相信你对交融抛物线的概念及性质有了一定的认识，请你提出一个有关交融抛物线的问题．考点考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）求出抛物线a的顶点坐标，分别代入抛物线b与抛物线c，判断即可．MM关于点P的对称点MN作直线y=2的垂线，垂足为、，可求出N的纵坐标，代入求出N的横坐标，分类讨论即可；设点（0，则点Q①QSS顺时针分布时；分别求解即可．（4）本题答案不唯一，可以自由发挥．（）∵抛物线：y=2x+1=y（﹣12的顶点坐标为0，x=1时，y=x2﹣2x+2=1﹣2+2=1≠0，∴点M不在抛物线b上∴抛物线a与抛物线b不是交融抛物线；∵当x=1时，y=﹣x2+4x﹣3=﹣1+4﹣3=0，∴点M在抛物线c上，∵抛物线：y﹣+43=﹣2+1的顶点N2，x=2时，y=x2﹣2x+1=4﹣4+1=1，∴点N在抛物线a上，∴抛物线a与抛物线c是交融抛物线；（2）抛物线：y=﹣2x+1x+2的顶点坐标为1，M关于点P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E、F，则ME=NF=2，∴点N的纵坐标为4，当y=4时，x2﹣2x+1=4，解得x1=﹣1，x2=3，∴（1，）或（3，当N（﹣1，4）时，设抛物线l的解析式为y=a（x+1）2+4，∵点M（1，0）在抛物线l上，∴0=a（1+1）2+4，∴a=﹣1，∴抛物线l的解析式为y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3，当N（3，4）时，设抛物线l的解析式为y=a（x﹣3）2+4，∵点M（1，0）在抛物线l上，∴0=a（1﹣3）2+4，∴a=﹣1，∴抛物线l的解析式为y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5；∴所求抛物线为y=﹣x2﹣2x+3或y=﹣x2+6x﹣5．（3）设点S（，，则点Q的坐标分两类：①当QS逆时针分布时（如图中Q，过点过点Q作QD⊥y轴于D，则△QDS≌△SOM，∴QD=OS=c，OD=DS+OS=c+1，∴点Q，c+，∵点Q