2022-2023学年山西省晋中市数学九上期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A． B． C． D．2．在中，，，下列结论中，正确的是（）A． B．C． D．3．如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB=45°，AB=2，则阴影部分的面积是(

)A．2 B．1 C．32-4．下列事件中，必然事件是（）A．抛掷个均匀的骰子，出现点向上 B．人中至少有人的生日相同C．两直线被第三条直线所截，同位角相等 D．实数的绝对值是非负数5．有一张矩形纸片ABCD，AB=2.5，AD=1.5，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），则CF的长为（）A．1 B．1 C． D．6．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）A． B． C． D．7．方程的根是（）A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=-2 D．x1=0，x2=28．如图，，、，…是分别以、、，…为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…均在反比例函数（）的图象上.则的值为（）A． B．6 C． D．9．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（）A． B． C． D．10．对于实数，定义运算“*”；关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是（）A． B．C． D．11．反比例函数y=2A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于点D，BC=3，AC=4，tan∠BCD的值为（）A．； B．； C．； D．；二、填空题（每题4分，共24分）13．二次函数y＝ax2＋4ax＋c的最大值为4，且图象过点(－3，0)，则该二次函数的解析式为____________．14．点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是_____．15．如图，扇形OAB的圆心角为110°，C是上一点，则∠C＝_____°．16．正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为______．17．如图，圆是一个油罐的截面图，已知圆的直径为5，油的最大深度（），则油面宽度为__________．18．如图，是的直径，点、在上，连结、、、，若，，则的度数为________.三、解答题（共78分）19．（8分）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？20．（8分）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且点B的坐标为．（1）求反比例函数的表达式；（2）点在反比例函数的图象上，求△AOC的面积；（3）在（2）的条件下，在坐标轴上找出一点P，使△APC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．21．（8分）某公司销售某一种新型通讯产品，已知每件产品的进价为4万元，每月销售该种产品的总开支(不含进价)总计11万元，在销售过程中发现，月销售量(件)与销售单价(万元)之间存在着如图所示的一次函数关系（1）求关于的函数关系式．（2）试写出该公司销售该种产品的月获利(万元)关于销售单价(万元)的函数关系式，当销售单价为何值时，月获利最大?并求这个最大值．(月获利＝月销售额一月销售产品总进价一月总开支)22．（10分）已知：如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A、B，其中点A在点B的左边，交y轴于点C，点P为抛物线上位于x轴上方的一点．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若△PAB的面积为4，求点P的坐标．23．（10分）如图，在平面内。点为线段上任意一点.对于该平面内任意的点，若满足小于等于则称点为线段的“限距点”.（1）在平面直角坐标系中，若点.①在的点中，是线段的“限距点”的是；②点P是直线上一点，若点P是线段AB的“限距点”，请求出点P横坐标的取值范围.（2）在平面直角坐标系中，若点.若直线上存在线段AB的“限距点”，请直接写出的取值范围24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线和抛物线W交于A，B两点，其中点A是抛物线W的顶点．当点A在直线上运动时，抛物线W随点A作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB的长度保持不变．应用上面的结论，解决下列问题：在平面直角坐标系xOy中，已知直线．点A是直线上的一个动点，且点A的横坐标为．以A为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点B．（1）当时，求抛物线的解析式和AB的长；（2）当点B到直线OA的距离达到最大时，直接写出此时点A的坐标；（3）过点A作垂直于轴的直线交直线于点C．以C为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点D．①当AC⊥BD时，求的值；②若以A，B，C，D为顶点构成的图形是凸四边形（各个内角度数都小于180°）时，直接写出满足条件的的取值范围．25．（12分）某商场销售一种商品，若将50件该商品按标价打八折销售，比按原标价销售这些商品少获利200元．求该商品的标价为多少元；已知该商品的进价为每件12元，根据市场调查：若按中标价销售，该商场每天销售100件；每涨1元，每天要少卖5件那么涨价后要使该商品每天的销售利润最大，应将销售价格定为每件多少元？最大利润是多少？26．已知关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2＋m＝1．求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到，借助相似三角形的性质即可解决问题．【详解】∵S△BDE：S△CDE＝1：3，∴BE：EC＝1：3；∴BE：BC＝1：4；∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴，∴S△DOE：S△AOC＝，故选：D．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，根据BE：EC＝1：3得到同高两个三角形的底的关系是解题的关键，再利用相似三角形即可解答.2、C【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【详解】∵，，∴，∴，故选项A，B错误，∵，∴，故选项C正确；选项D错误．故选C．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系，熟练掌握锐角三角函数关系是解题关键．3、B【分析】设AT交⊙O于点D，连结BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，再由切线性质结合已知条件得△BDT和△ABD都为等腰直角三角形，由S阴=S△BDT计算即可得出答案.【详解】设AT交⊙O于点D，连结BD，如图：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ATB=45°，BT是⊙O切线，∴△BDT和△ABD都为等腰直角三角形，∵AB=2，∴AD=BD=TD=22AB=2∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积，∴S阴=S△BDT=12×2×2故答案为B.【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定，解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质把阴影部分的面积转化为三角形的面积．4、D【分析】根据概率、平行线的性质、负数的性质对各选项进行判断．【详解】A.抛掷个均匀的骰子，出现点向上的概率为，错误．B.367人中至少有人的生日相同，错误．C.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误．D.实数的绝对值是非负数，正确．故答案为：D．【点睛】本题考查了必然事件的性质以及判定，掌握概率、平行线的性质、负数的性质是解题的关键．5、B【分析】利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得BF的长，则由CF=BC﹣BF即可求得答案．【详解】解：如图2，根据题意得：BD=AB﹣AD=2.5﹣1.5=1，如图3，AB=AD﹣BD=1.5﹣1=0.5，∵BC∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴，即，∴BF=0.5，∴CF=BC﹣BF=1.5﹣0.5=1．故选B．【点睛】此题考查了折叠的性质与相似三角形的判定与性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．6、D【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【详解】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：，即EF=2（6-x）所以y=×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）该函数图象是抛物线的一部分，故选D．【点睛】此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．7、C【解析】试题解析：x（x+1）=0，

⇒x=0或x+1=0，

解得x1=0，x1=-1．

故选C．8、A【分析】过点分别作x轴的垂线，垂足分别为，得出△为等腰直角三角形，进而求出，再逐一求出，…的值，即可得出答案.【详解】如图，过点分别作x轴的垂线，垂足分别为∵△为等腰直角三角形，斜边的中点在反比例函数的图像上∴(2,2)，即∴设，则此时(4+a,a)将(4+a,a)代入得a(4+a)=4解得或(负值舍去)即同理，，…，∴故答案选择A.【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质以及反比例函数上点的特征，难度系数较大，解题关键是根据点在函数图像上求出y的值.9、B【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．【详解】解：6个黑球3个白球一共有9个球，所以摸到白球的概率是．故选：B．【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．10、C【分析】设，根据定义得到函数解析式，由方程的有三个不同的解去掉函数图象与直线y=t的交点有三个，即可确定t的取值范围.【详解】设，由定义得到，∵方程恰好有三个不相等的实数根，∴函数的图象与直线y=t有三个不同的交点，∵的最大值是∴若方程恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是，故选：C.【点睛】此题考查新定义的公式，抛物线与直线的交点与方程的解的关系，正确理解抛物线与直线的交点与方程的解的关系是解题的关键.11、A【解析】试题分析：∵k=2＞0，∴反比例函数y=2考点：反比例函数的性质．12、A【分析】根据余角的性质，可得∠BCD=∠A，根据等角的正切相等，可得答案．【详解】由∠ACB=90°，CD⊥AB于D，得

∠BCD=∠A

tan∠BCD=tan∠A=，

故选A．【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，利用余角的性质得出∠BCD=∠A是解题关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、y＝－4x2－16x－12【解析】∵抛物线的对称轴为直线x==﹣2，∴抛物线的顶点坐标为(﹣2,4)，又∵抛物线过点(﹣3,0)，∴，解得：a=﹣4，c=﹣12，则抛物线的解析式为y＝－4x2－16x－12.故答案为y＝－4x2－16x－12.【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，解此题的关键在于先根据顶点坐标与函数系数的关系，求得顶点坐标，再用待定系数法求函数解析式即可.14、（4，﹣3）【解析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．【详解】点（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3）．故答案为（4，﹣3）．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单．15、1【分析】作所对的圆周角∠ADB，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠AOB＝55°，然后利用圆内接四边形的性质计算∠C的度数．【详解】解：作所对的圆周角∠ADB，如图，∴∠ADB＝∠AOB＝×110°＝55°，∵∠ADB+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣55°＝1°．故答案为1．【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质是解题的关键．16、1【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DQ，PQ的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：如图，连接BP，∵点B和点D关于直线AC对称，∴QB=QD，则BP就是DQ+PQ的最小值，∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，∴CP=3，∴BP=∴DQ+PQ的最小值是1．【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题；正方形的性质．17、1【分析】连接OA，先求出OA和OD，再根据勾股定理和垂径定理即可求出AD和AB．【详解】解：连接OA∵圆的直径为5，油的最大深度∴OA=OC=∴OD=CD－OC=∵根据勾股定理可得：AD=∴AB=2AD=1m故答案为：1．【点睛】此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键．18、°【分析】先由直径所对的圆周角为90°，可得：∠ADB=90°，根据同圆或等圆中，弦相等得到弧相等得到圆周角相等，得到∠A的度数，根据直角三角形的性质得到∠ABD的度数，即可得出结论．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠ABD=90°．∵BD=CD，∴弧BD=弧CD，∴∠A=∠DBC=20°，∴∠ABD=90°-20°=70°，∴∠ABC=∠ABD-∠DBC=70°-20°=50°．故答案为：50°．【点睛】本题考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，直径所对的圆周角为90°．三、解答题（共78分）19、（1）（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元【解析】试题分析：（1）设y=kx+b，再由题目已知条件不难得出解析式；（2）设利润为W，将W用含x的式子表示出来，W为关于x的二次函数，要求最值，将解析式化为顶点式即可求出.试题解析：解：（1）设y=kx+b，根据题意得：，解得：k=－1，b=8，所以，y与x的函数关系式为y=－x+8；（2）设利润为W，则W=（x－4）（－x+8）=－（x－6）2+4，因为a=－1＜0，所以当x=6时，W最大为4万元.当销售价格定为6元时，才能使每月的利润最大，每月的最大利润是4万元.点睛：要求最值，一般讲二次函数解析式写成顶点式.20、（1）；（2）；（3）（-1，0）、（0，0）、（0，1）．【详解】（1）一次函数的图象过点B，∴∴点B坐标为∵反比例函数的图象经过点B反比例函数表达式为（2）设过点A、C的直线表达式为，且其图象与轴交于点D∵点在反比例函数的图象上∴∴点C坐标为∵点B坐标为∴点A坐标为解得：过点A、C的直线表达式为∴点D坐标为∴（3）①当点P在x轴上时，设P(m，0)∵AC=，AP=，CP=，∴=或=，解得：m=0或-1②当点P在y轴上时，设P(0，n)，∵AC=，AP=，CP=，∴=或=解得：n=0或1综上所述：点P的坐标可能为、、21、（1）；（2）当x=10万元时，最大月获利为7万元【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；（2）根据“总利润=单价利润×销售量-总开支”列出函数解析式，由二次函数的性质可得最值．【详解】（1）设y=kx+b，将点（6，5）、（8，4）代入，得：，解得：，∴；（2）根据题意得：z=（x-4）y-11=（x-4）（-x+8）-11=-x2+10x-43=-（x-10）2+7，∴当x=10万元时，最大月获利为7万元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质是解题的关键．22、（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）；（2）P点坐标为（1﹣，2），（1+，2）【分析】（1）当时，可求点A，点B坐标，当，可求点C坐标；（2）设点P的纵坐标为，利用三角形面积公式可求得，代入y=﹣x2+2x+3即可求得点P的横坐标，从而求得答案.【详解】（1）对于抛物线y=﹣x2+2x+3，令y=0，得到﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），令，得到y=﹣x2+2x+3=3，则C点坐标为（0，3）；故答案为：A（﹣1，0），B（3，0），（0，3）；（2）设点P的纵坐标为，∵点P为抛物线上位于x轴上方，∴，∵△PAB的面积为4，∴，解得：，∵点P为抛物线上的点，将代入y=﹣x2+2x+3得：﹣x2+2x+3=2，整理得x2﹣2x﹣1=0，解得：x1=1﹣，x2=1+，∴P点坐标为：（1﹣，2），（1+，2）．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的运用，利用二次函数的性质求解是关键．23、（1）①E；②；（2）.【分析】（1）①分别计算出C、D、E到A、B的距离，根据“限距点”的含义即可判定；②画出图形，由“限距点”的定义可知，当点P位于直线上x轴上方并且AP时，点P是线段AB的“限距点”，据此可解；（2）画出图形，可知当时，直线上存在线段AB的“限距点”，据此可解.【详解】（1）①计算可知AC=BC=，DA=，DB=，EA=EB=2，设点为线段上任意一点，则,,,∴,∴点E为线段AB的“限距点”.故答案是：E.②如图,作PF⊥x轴于F,由“限距点”的定义可知，当点P位于直线上x轴上方并且AP时，点P是线段AB的“限距点”，∵直线与x轴交于点A(-1,0),交y轴于点H（0，），∴∠OAH=30°,∴当AP=2时，AF=，∴此时点P的横坐标为-1，∴点P横坐标的取值范围是；（2）如图，直线与x轴交于M，AB交x轴于G，∵点A(t,1)、B(t，-1),直线与x轴的交点M(-1,0)，与y轴的交点C(0,)，∴，∴∠NMO=30°，①当圆B与直线相切于点N，连接BN，连接BA并延长与直线交于D(t,)点，∵∠NBD=∠NMO=30°，∴，即,解得：；②当圆A与直线相切时，同理可知：∴.【点睛】本题考查了一次函数、圆的性质、两点间的距离公式，是综合性较强的题目，通过做此题培养了学生的阅读能力、数形结合的能力，此题是一道非常好、比较典型的题目．24、（1）；（2）；（3）①；②的取值范围是或．【分析】（1）根据t=3时，A的坐标可以求得是（3，-2），利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，则B的坐标可以求得；

（2）△OAB的面积一定，当OA最小时，B到OA的距离即△OAB中OA边上的高最大，此时OA⊥AB，据此即可求解；

（3）①方法一：设AC，BD交于点E，直线l1：y=x-2，与x轴、y轴交于点P和Q（如图1）．由点D在抛物线C2：y=[x-（2t-4）]2+（t-2）上，可得=[（t-1）-（2t-4）]2+（t-2），解方程即可得到t的值；

方法二：设直线l1：y=x-2与x轴交于点P，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，交于点N．（如图2），根据BD⊥AC，可得t-1=2t-，解方程即可得到t的值；

②设直线l1与l2交于点M．随着点A从左向右运动，从点D与点M重合，到点B与点M重合的过程中，可得满足条件的t的取值范围．【详解】解：（1）∵点A在直线l1：y=x-2上，且点A的横坐标为3，

∴点A的坐标为（3，-2），

∴抛物线C1的解析式为y=-x2-2，

∵点B在直线l1：y=x-2上，

设点B的坐标为（x，x-2）．

∵点B在抛物线C1：y=-x2-2上，

∴x-2=-x2-2，

解得x=3或x=-1．

∵点A与点B不重合，

∴点B的坐标为（-1，-3），

∴由勾股定理得AB=．

（2）当OA⊥AB时，点B到直线OA的距离达到最大，则OA的解析式是y=-x，则

，解得：，

则点A的坐标为（1，-1）．（3）①方法一：设，交于点，直线，与轴、轴交于点和（如图1）．则点和点的坐标分别为，．∴．∵．∵轴，∴轴．∴．∵，，∴．∵点在直线上，且点的横坐标为，∴点的坐标为．∴点的坐标为．∵轴，∴点的纵坐标为．∵点在直线上，∴点的坐标为．∴抛物线的解析式为．∵，∴点的横坐标为，∵点在直线上，∴点的坐标为．∵点在抛物线上，∴．解得或．∵当时，点与点重合，∴方法二：设直线l1：y=x-2与x轴交于点P，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，交于点N．（如图2）

则∠ANB=93°，∠ABN=∠OPB．

在△ABN中，BN=ABcos∠ABN，AN=ABsin∠ABN．

∵在抛物线C1随顶点A平移的过程中，

AB的长度不变，∠ABN的大小不变，

∴BN和AN的长度也不变，即点A与点B的横坐标的差以及纵坐标的差都保持不变．

同理