高考数学(理数)一轮复习教案：17.2《参数方程》(含解析)

17.2参数方程典例精析题型一参数方程与普通方程互化【例1】把下列参数方程化成普通方程：(1)(θ为参数)；(2)(t为参数，a，b＞0).【解析】(1)所以5x2＋4xy＋17y2－81＝0.(2)由题意可得所以①2－②2得eq\f(4x2,a2)－eq\f(4y2,b2)＝4，所以eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，其中x＞0.【变式训练1】把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表示的图形.(1)(2)(3)(4)【解析】(1)x2＝2(y＋eq\f(1,2))，－eq\r(2)≤x≤eq\r(2)，图形为一段抛物线弧.(2)x＝1，y≤－2或y≥2，图形为两条射线.(3)x2＋y2－3y＝0(y≠3)，图形是一个圆，但是除去点(0,3).(4)eq\f((x－6)2,16)－eq\f((y＋3)2,25)＝1，图形是双曲线.题型二根据直线的参数方程求弦长【例2】已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝1.(1)求曲线C的普通方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长.【解析】(1)由曲线C：ρ2cos2θ＝ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，化成普通方程为x2－y2＝1.①(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程(t为参数).②把②代入①得(2＋eq\f(t,2))2－(eq\f(\r(3),2)t)2＝1，整理得t2－4t－6＝0.设其两根为t1，t2，则t1＋t2＝4，t1t2＝－6.从而弦长为|t1－t2|＝eq\r((t1＋t2)2－4t1t2)＝eq\r(42－4(－6))＝eq\r(40)＝2eq\r(10).方法二：把直线的参数方程化为普通方程为y＝eq\r(3)(x－2)，代入x2－y2＝1，得2x2－12x＋13＝0.设l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝eq\f(13,2)，所以|AB|＝eq\r(1＋3)·eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)＝2eq\r(62－26)＝2eq\r(10).【变式训练2】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ＝eq\r(2)cos(θ＋eq\f(π,4))，求直线l被曲线C所截的弦长.【解析】将方程(t为参数)化为普通方程为3x＋4y＋1＝0.将方程ρ＝eq\r(2)cos(θ＋eq\f(π,4))化为普通方程为x2＋y2－x＋y＝0.表示圆心为(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2))，半径为r＝eq\f(\r(2),2)的圆，则圆心到直线的距离d＝eq\f(1,10)，弦长＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(\f(1,2)－\f(1,100))＝eq\f(7,5).题型三参数方程综合运用【例3】已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数).(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝eq\f(π,2)，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值.【解析】(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1.C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.(2)当t＝eq\f(π,2)时，P(－4,4)，Q(8cosθ，3sinθ)，故M(－2＋4cosθ，2＋eq\f(3,2)sinθ).C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ－3sinθ－13|，从而cosθ＝eq\f(4,5)，sinθ＝－eq\f(3,5)时，d取最小值eq\f(8\r(5),5).【变式训练3】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ－4sinθ(ρ＞0).(1)化曲线C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)设曲线C1与x轴的一个交点的坐标为P(m,0)(m＞0)，经过点P作曲线C2的切线l，求切线l的方程.【解析】(1)曲线C1：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1；曲线C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝5.曲线C1为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线C2为圆心为(1，－2)，半径为eq\r(5)的圆.(2)曲线C1：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1与x轴的交点坐标为(－4,0)和(4,0)，因为m＞0，所以点P的坐标为(4,0).显然切线l的斜率存在，设为k，则切线l的方程为y＝k(x－4).由曲线C2为圆心为(1，－2)，半径为eq\r(5)的圆得eq\f(|k＋2－4k|,\r(k2＋1))＝eq\r(5)，解得k＝eq\f(3±\r(10),2)，所以切线l的方程为y＝eq\f(3±\r(10),2)(x－4).总结提高1.在参数方程与普通方程互化的过程中，要保