四面体的性质

,这四个三角形围(如图1)。它有四个顶点，六条棱,空间四边形的知.1B.C图1△CDAABCD中，AB平面BCDBHCHC图2P,且这三条棱和顶点所,则这顶点B图3,四个面.DBCDAH,CHCDAC，H为垂足(如图2）。连结B,这四个三角形围(如图1)。它有四个顶点，六条棱,空间四边形的知.1B.C图1△CDAABCD中，AB平面BCDBHCHC图2P,且这三条棱和顶点所,则这顶点B图3,四个面.DBCDAH,CHCDAC，H为垂足(如图2）。连结BH，CH，则BH为CDBD△A的垂心。BD，；,所以H是C平面BCD.连结BH，CH，DH，则,DHBDBBCDADBC，过A作D的垂心。由性质2知。根据三垂线定理得BCAB。CDACH，BDAD,BC。

不在一直线上的三点可以连成一个三角形，不共面的四点可以连成四个三角形

成的几何体叫做四面体

研究四面体的有关性质可以加深对四面体A识的理解，有利于提高熟练运用知识的能力

性质1：四面体中相对的棱所在的直线是异面直线。如图

中AB和CD,BC和AD，AC和BD都是异面直线。

性质2:四面体中，若一个顶点在对面内射影是这个三角形

的垂心,则四面体的三组对棱分别互相垂直

证明：如图2的四面体中，设顶点A在面BCD内的射影H

是

BH

性质3:四面体中，若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也互

相垂直。

证明：设四面体

AH

AB在平面BCD内的射影，根据三垂线定理的逆定理，

同理

根据性质2，3立即可以得到:

性质4：四面体中，若一个顶点在它对面内的射影是这个面的

中心,则其余各顶点在其对面内的射影也分别是这些面的中心。

利用全等三角形的判定和性质，可以证明下面两条性质：

性质5：四面体中,若交于同一顶点的三条棱相等，则这个

顶点在对面内的射影是这个三角形的外心

对面所成的角相等.反之也真。

特别地，若这个顶点所对的面是一个直角三角形

的射影是直角三角形斜边的中点。

性质6：四面体中,若一个顶点在对面内的射影是这个三角

形的内心，则顶点到对面三角形三条边的距离相等，且以这三

角形三角形三条边为棱的三个二面角相等。

1

,则这个顶点所对面是一个锐角三角形。APB，则是AB22ABAC22

a2b0.b2BAC,则这顶点所对的三角形面积的平方ABCDDADC1ADB△b2CDCDRt△CDM2S△(a2(a2bADBBPC2ABC中最大内角AC2)(a2a290DB,DC2ADBDMMDACDDMDM2ABCb2)2S2△CPAa2.根据余弦定理，有BC2c2)a2c2，，DA，且DAab，S△中作，。2(1ABa2ba2b2b2cBDC90PAb2BC(b2c2△a,DB1BDCABDBCD图4CD222S2△。，，c2)ABCb，DC2,则，∴2a2b2CM)2b2cc2aCDAa,则这个顶点所对面是一个锐角三角形。APB，则是AB22ABAC22

a2b0.b2BAC,则这顶点所对的三角形面积的平方ABCDDADC1ADB△b2CDCDRt△CDM2S△(a2(a2bADBBPC2ABC中最大内角AC2)(a2a290DB,DC2ADBDMMDACDDMDM2ABCb2)2S2△CPAa2.根据余弦定理，有BC2c2)a2c2，，DA，且DAab，S△中作，。2(1ABa2ba2b2b2cBDC90PAb2BC(b2c2△a,DB1BDCABDBCD图4CD222S2△。，，c2)ABCb，DC2,则，∴2a2b2CM)2b2cc2aCDAaPB2是锐角三角形。c（如bc，S△DM平面ADBa2b22,b2D1CDAab。2c2c2a)bPCc2，CA2。Ba2ba2b22，2ca。A2cc2Cb2c,不妨设a2△2。显然BC是c2aABC的最大边，2.

证明：如图3，设

a≤b≤cAB

BAC△

cosBAC

(a2b2

a2a2

所以

性质8：四面体中，若交于同一顶点的三条棱分别两两垂直

等于其余三个三角形面积的平方和。

证明：设四面体中，

DB

图4），则S△

在a2

∵

∴

在中，

CM

∴

1414S2△

2

和四面体的对棱AC，BD都平行,且分别交AB,BC，CD，DA于E，.BD∥平面EH∥FG∥GFEH90图5,AEEFBEABACBAEHEFGH1ABCDABCADABCD平面ABCABCDP△PA△△ABCDEFGH平面BDBD，EF∥是小于或等于的角，则n，BD，则。m，EFEH时,SCDDADABBAC.BACABC中，交于△ABC的面积和△a,PBb，PCABC中，PCK，HHG∥FEH和AC和四面体的对棱AC，BD都平行,且分别交AB,BC，CD，DA于E，.BD∥平面EH∥FG∥GFEH90图5,AEEFBEABACBAEHEFGH1ABCDABCADABCD平面ABCABCDP△PA△△ABCDEFGH平面BDBD，EF∥是小于或等于的角，则n，BD，则。m，EFEH时,SCDDADABBAC.BACABC中，交于△ABC的面积和△a,PBb，PCABC中，PCK，HHG∥FEH和AC成1(1EFsinEFGH，18090，60P点的三条棱两两垂直，P在HABc，PHA面积有最大值和最小值？最大值和最小值各是多少？ABCDAC是异面直线BD，角（这里，)nFEH最大，这时E,F，G，H分别是所在棱的中点BCAC。BAD，ABC的射影是的面积的比例中项.d60平面EFGH。Bm，n，(1.，CADBADH。求证：△。求证:，EHEDF均为定值）。设)mnBD60，ABCADPAB1aBACsin。求证：AC45C1245AC。AD，求二面角1b2,。求证：AD1c26,PCB的大d2平面ABCPC。,且4，动点K在线段

F，G,H，问四边形EFGH在什么位置时面积最大

解:∵

∴

同理

∴四边形EFGH是平行四边形。

不妨设

AC所成的角。

AB