(新高考)高考数学二轮精品复习专题20《利用导数解决函数的极值点问题》(解析版)

专题20利用导数解决函数的极值点问题一、单选题1．已知函数SKIPIF1<0，则下列结论错误的是（）A．SKIPIF1<0是奇函数B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是增函数C．当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0恰有三个零点D．当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0恰有两个极值点【答案】C【分析】对A,根据奇函数的定义判定即可.由条件可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,且SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.则SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0的值代入分别计算分析，可判断选项B，C，D【详解】对A,SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故A正确.由条件可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,且SKIPIF1<0所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.则SKIPIF1<0对B,当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是增函数，故B正确.对C,当SKIPIF1<0时，由上可知,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是增函数,故不可能有3个零点.故C错误.对D,当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由上可知在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立则在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0.所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0的单调递减，在SKIPIF1<0单调递增.所以函数SKIPIF1<0恰有两个极值点，故D正确.故选：C【点睛】关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,且SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.则SKIPIF1<0，经过多次求导分析出单调性，属于中档题.2．如图是函数SKIPIF1<0的导函数SKIPIF1<0的图象，则函数SKIPIF1<0的极小值点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】通过读图由SKIPIF1<0取值符号得出函数SKIPIF1<0的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案．【详解】由图象，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的两个交点横坐标分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，知在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，所以此时函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0时，函数取得极大值，SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，函数取得极小值．则函数SKIPIF1<0的极小值点的个数为1．故选:B【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题．3．已知函数SKIPIF1<0的导函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】分四种情况讨论，分别判断SKIPIF1<0两边导函数值的符号，判断SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处是否取得极大值，即可筛选出SKIPIF1<0的取值范围.【详解】由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，其等价于①存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且②存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，不满足②即不存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0不是极大值；若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，满足①②，故SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒小于等于0，不满足①，故SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0取不到极大值；若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，不满足②，故SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取不到极大值.综上，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：A.【点睛】求函数SKIPIF1<0极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数SKIPIF1<0；(3)解方程SKIPIF1<0求出函数定义域内的所有根；(4)检查SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的根SKIPIF1<0左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取极小值.4．若函数SKIPIF1<0无极值点则实数a的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求出函数的导数，问题转化为SKIPIF1<0最多1个实数根，根据二次函数的性质求出a的范围即可.【详解】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，由函数SKIPIF1<0无极值点知，SKIPIF1<0至多1个实数根，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，实数a的取值范围是SKIPIF1<0，故选：B【点睛】本题主要考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，属于中档题.5．已知函数SKIPIF1<0有两个极值点，则a的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据函数有两个极值点得到关于SKIPIF1<0的方程有两个解，采用分离常数的方法分离出SKIPIF1<0，并采用构造新函数的方法确定出新函数的取值情况，由此分析出SKIPIF1<0的取值情况.【详解】因为SKIPIF1<0有两个极值点，所以SKIPIF1<0有两个不同实数根，所以SKIPIF1<0有两个不同实数根，所以SKIPIF1<0有两个不同实数根，显然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有两个不同实数根，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0有两个不同实数根时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D.【点睛】本题考查根据函数极值点的个数求解参数范围，其中涉及到分离参数方法的使用，对学生的理解与计算能力要求较高，难度较难.6．“SKIPIF1<0”是“函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有极值”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出函数SKIPIF1<0的极值点，利用该极值点在SKIPIF1<0内求得实数SKIPIF1<0取值范围，利用集合的包含关系可得出结论.【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值.若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有极值，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因此，“SKIPIF1<0”是“函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有极值”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中等题.7．已知函数SKIPIF1<0，若同时满足条件：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的一个极大值点；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.则实数a的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】条件①说明SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在零点，极大值点，利用方程的根可得SKIPIF1<0的范围，然后求出条件②不等式恒成立SKIPIF1<0的范围，求交集可得SKIPIF1<0的范围．【详解】定义域是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0存在极大值点，则SKIPIF1<0有两个不等实根，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的两个实根为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不可能是极大值点；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，SKIPIF1<0是极大值点，满足题意．所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．综上SKIPIF1<0．故选：A．【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，及不等式恒成立问题，求解不等式恒成立问题的方法是问题的转化，转化为求函数的最值．8．若函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）有两个不同的极值点，则实数SKIPIF1<0取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】首先求导得到SKIPIF1<0，将题意转化为函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有两个不同的交点，再利用导数求出函数SKIPIF1<0的单调区间和最值，即可得到答案.【详解】SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）有两个不同的极值点，等价于函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有两个不同的交点，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为增函数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为减函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为增函数，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：C【点睛】本题主要考查根据函数的极值点求参数，属于中档题.9．已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值，则SKIPIF1<0（）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．-2【答案】C【分析】利用SKIPIF1<0列方程，解方程求得SKIPIF1<0的值.【详解】SKIPIF1<0，依题意SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上递增，在区间SKIPIF1<0上递减，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极大值，符合题意.所以SKIPIF1<0.故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点、极值，属于基础题.10．设函数SKIPIF1<0，则下列是函数SKIPIF1<0极小值点的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】将函数进行求导，由于在SKIPIF1<0的左侧，导函数值小于SKIPIF1<0，右侧导函数值大于SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0极小值点.【详解】SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点.故选：SKIPIF1<0.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，关键是能够明确极值点的定义，根据导函数的正负确定原函数的单调性，进而得到极值点.11．函数SKIPIF1<0的图象大致是()A． B．C． D．【答案】B【分析】根据解析式求得导函数，并求得极值点，由极值点个数可排除AD；再由SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒为正，排除C即可得解.【详解】函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0的两个极值点为SKIPIF1<0，故排除AD，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒为正，排除C，即只有B选项符合要求，故选：B.【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数图像，导函数与函数图像的关系应用，属于基础题.12．已函数SKIPIF1<0的两个极值点是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹是（）A．椭圆弧 B．圆弧 C．双曲线弧 D．抛物线弧【答案】D【分析】根据极值点的定义把SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示后，消去SKIPIF1<0得关于SKIPIF1<0的方程，由方程确定曲线．【详解】由题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两根，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上，还要满足SKIPIF1<0，轨迹为抛物线弧．故选:D【点睛】本题考查值点的定义，考查由方程研究曲线，掌握极值与导数的关系是解题基础．在由方程研究曲线时，注意方程中变量的取值范围．13．若SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点，则SKIPIF1<0的值是（）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据题意得到SKIPIF1<0，即可得到答案.【详解】由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：C【点睛】本题主要考查函数的极值点，属于简单题.14．已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0）的极大值点为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】求出函数SKIPIF1<0的导函数，进而求出导函数大于0以及小于0的解，根据导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性，从而得到函数的极值点.【详解】解：由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0.所以函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0.函数SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0是函数的极大值点，SKIPIF1<0是函数的极小值点.故选：C.【点睛】本题考查求具体函数的极值点，解题的关键是区分极值点和极值的定义，属于基础题.15．若函数SKIPIF1<0有两个不同的极值点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】计算SKIPIF1<0，然后等价于SKIPIF1<0在（0，+∞）由2个不同的实数根，然后计算SKIPIF1<0即可.【详解】SKIPIF1<0的定义域是（0，+∞），SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有两个不同的极值点，则SKIPIF1<0在（0，+∞）由2个不同的实数根，故SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故选：D.【点睛】本题考查根据函数极值点个数求参，考查计算能力以及思维转变能力，属基础题.二、多选题16．设函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极值点C．SKIPIF1<0存在零点 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增【答案】AD【分析】求出定义域，再求导，计算即可判断A，由导函数SKIPIF1<0，即可判断选项B、D，由SKIPIF1<0，即可判断选项C，从而可得结论．【详解】由题可知SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，对于A，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A正确；对于B、D，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0单调递增，故无极值点，故B错误，D正确；对于C，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0不存在零点，故C错误．故选：AD．17．关于函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列结论正确的有（）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0存在惟一极小值点SKIPIF1<0C．对任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上均存在零点D．存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有且只有一个零点【答案】ABD【分析】逐一验证，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题.【详解】对于A：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以切线斜SKIPIF1<0，故直线方程为SKIPIF1<0，即切线方程为：SKIPIF1<0，故选项A正确；对于B：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0单调递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以存在惟一极小值点SKIPIF1<0，故选项B正确；对于C、D：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，则令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由函数SKIPIF1<0图象性质知：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极小值，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极小值，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,又因为在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极大值，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极大值.又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上无零点，所以选项C不正确；当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象只有一个交点，即存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有且只有一个零点，故选项D正确.故选：ABD【点睛】本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.18．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的有（）A．SKIPIF1<0是偶函数B．SKIPIF1<0是周期函数C．在区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0有且只有一个极值点D．过(0，0)作SKIPIF1<0的切线，有且仅有3条【答案】ACD【分析】利用函数的奇偶性的定义易知函数SKIPIF1<0为偶函数，所以A正确；根据周期性的定义可判断B错误；根据导数判断其单调性，易知SKIPIF1<0有且只有一个极值点，C正确；根据导数的几何意义求曲线过某点的切线方程可知D正确．【详解】对于A，因为函数的定义域为SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0是偶函数，正确；对于B，若存在非零常数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，舍去；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以若存在非零常数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不符合题意．故不存在非零常数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，B错误；对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0单减，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且仅有一个解，SKIPIF1<0有且只有一个极值点，故C正确；对于D，设切点横坐标为SKIPIF1<0，则切线方程为SKIPIF1<0，将(0，0)代入，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则切线方程为SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，D正确．故选：ACD．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，周期性的定义的应用，利用导数的几何意义求曲线过某点的切线方程，以及利用导数研究函数的极值点，属于中档题．19．已知SKIPIF1<0.（）A．SKIPIF1<0的零点个数为4 B．SKIPIF1<0的极值点个数为3C．x轴为曲线SKIPIF1<0的切线 D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】BC【分析】首先根据SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，分别画出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案.【详解】SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0.分别画出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图像，如图所示：由图知：SKIPIF1<0有三个解，即SKIPIF1<0有三个解，分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为增函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为减函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为增函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为减函数.所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极大值为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极小值为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得极大值为SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0有两个零点，三个极值点，A错误，B正确.因为函数SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0轴为曲线SKIPIF1<0的切线，故C正确.因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为增函数，SKIPIF1<0为减函数，所以存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，故D错误.故选：BC【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.20．设函数SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A．SKIPIF1<0定义域是SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0图象位于SKIPIF1<0轴下方C．SKIPIF1<0存在单调递增区间 D．SKIPIF1<0有且仅有一个极值点【答案】BCD【分析】求出函数定义域判断A，根据函数值的正负判断B，求出导函数，利用导函数确定原函数的增区间，判断C，由导函数研究函数的单调性得极值，判断D．【详解】由题意，函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，所以A不正确；由SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象都在轴的下方，所以B正确；∵SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在定义域上有解，所以函数SKIPIF1<0存在单调递增区间，所以C是正确的；由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调增，则函数SKIPIF1<0只有一个根SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数单调递减，当SKIPIF1<0时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D正确；故选：BCD.【点睛】本题考查求函数的定义域，考查用导数研究函数的单调性与极值，掌握极值的定义，单调性与导数的关系是解题关键．三、解答题21．已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0只有一个极值点，求SKIPIF1<0的取值范围.(2)若函数SKIPIF1<0存在两个极值点SKIPIF1<0，记过点SKIPIF1<0的直线的斜率为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析.【分析】（1）先求导，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，解不等式组SKIPIF1<0即得解；（2）只需证SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0即得证.【详解】(1)解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，要使函数SKIPIF1<0只有一个极值点，则需满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；(2)证明：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0存在两个极值点，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0不妨假设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0要证SKIPIF1<0，即要证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0得证.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析得到只需证明SKIPIF1<0.对于比较复杂的问题，我们可以通过分析把问题转化，再证明，提高解题效率.22．已知函数SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0是奇函数，且有三个零点，求SKIPIF1<0的取值范围；（2）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处有极大值SKIPIF1<0，求当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的值域．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】（1）先由函数奇偶性，得到SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，对其求导，分别讨论SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，结合零点个数，即可求出结果；（2）先对函数求导，根据极大值求出SKIPIF1<0，根据函数单调性，即可求出值域.【详解】（1）∵SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的奇函数，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上只有一个零点，不合题意．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有三个零点，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0恒成立，∴SKIPIF1<0．所以实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极小值点，与题意不符．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极大值点，符合题意，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0．【点睛】思路点睛：导数的方法求函数零点的一般步骤：先对函数求导，由导数的方法求出函数的单调性区间，根据函数极值的定义，求出函数的的极值，再根据函数函数的零点个数，确定极值的取值情况，进而可得出结果.23．（1）当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0对于任意的SKIPIF1<0恒成立，求实数k的取值范围；（3）设a>0，求证；函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一的极大值点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0；（3）证明见解析【分析】（1）构造函数SKIPIF1<0，转化为函数的最值问题求解；（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0讨论，通过研究SKIPIF1<0的最小值求解；（3）求得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，通正切函数的性质可得函数单调性，进而可得极值点．将证明SKIPIF1<0转化为证明SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，构造函数利用导数求其最值即可．【详解】（1）证明：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为增函数．所以SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立；（2）解：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，考虑到当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，（ⅰ）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，从而SKIPIF1<0，此时适合题意．（ⅱ）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，这与“当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立”矛盾．故此时不适合题意．由（ⅰ）（ⅱ）得所求实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．（3）证明：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可化为SKIPIF1<0，由正切函数的性质及SKIPIF1<0，得在SKIPIF1<0内必存在唯一的实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的极大值点．且SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0．下面证明：SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，由（1）知SKIPIF1<0，由（2）易证SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．下面证明：SKIPIF1<0．令SKIPIF1<