《余弦定理》-完整版课件

8.2

余弦定理1．理解用向量方法推导余弦定理的过程，进一步巩固向

量知识，体会向量的工具性．2．掌握余弦定理，能用余弦定理解三角形．课标要求三角形余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的________减去这两边与它们的夹角的余弦的积的______倍，即a2＝b2＋c2－________，b2＝________＋a2－2cacosB，c2＝________．答案平方的和两2bccosA

c2

a2＋b2－2abcosC自学导引1．2．已知△ABC的三边a、b、c，△ABC能否唯一确定？如何确定角A?在解三角形的过程中，求某一个角时既可用余弦定理，也可用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？提示在区间(0，π)上，y＝cosx是单调函数，由余弦定理可唯一确定相应角的值(但计算复杂)．利用正弦定理时，由于y＝sinx在(0，π)不单调．根据正弦值求所对应的角时，有时可确定两角，因此应结合题设条件判定解的个数．自主探究2．1．

在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝(

)．答案

A预习测评1．答案

C2．在△ABC中，sinA＝2cosBsinC，则三角形为________．解析利用正弦定理和余弦定理化边为角，即sin(B＋C)＝2cosBsinC，sinBcosC＋cosBsinC＝2cosBsinC，∴sinBcosC－cosBsinC＝0，∴sin(B－C)＝0,∴∠B＝∠C.∴b2＝c2，∴b＝c.答案等腰三角形3．在△ABC中，若a2<b2＋c2，则角A是________(填“锐角”、“直角”或“钝角”)．解析由余弦定理及已知得a2＝b2＋c2－2bccosA<b2＋c2，所以－2bccosA<0，即cosA>0.所以A为锐角．答案锐角4．坐标法证明余弦定理教材中用向量法给出余弦定理的证明，下面我们给出坐标法证明．名师点津1．证明如图所示，以△ABC的顶点A为原点，射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系，这时顶点B可作角A终边的一个点，它到原点的距离r＝c，设点B的坐标为(x，y)，由三角函数的定义可得：x＝ccosA，y＝csinA，即点B为(ccosA，csinA)，又点C的坐标是(b，0)．两边平方得：a2＝(b－ccosA)2＋(－csinA)2＝b2＋c2－2bccosA.以△ABC的顶点B或顶点C为原点，建立直角坐标系，同样可证b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍．注意

(1)利用余弦定理及推论，可以解决以下两类三角形的问题：①已知三边，求三个角．②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．这两种类型问题在有解时都只有一个解．(2)余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行刻画，使其变成了可计算的公式．2．题型一已知两边及夹角解三角形【例1】典例剖析方法点评已知三角形的两边和夹角解三角形，基本思路是先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理或余弦定理求其他各角．【变式1】已知三角形ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，求c.题型二已知三边解三角形【例2】在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，试确定△ABC的形状．题型三

判断三角形的形状【例3】所以a＝b.又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，所以b＝c.所以a＝b＝c，因此△ABC为等边三角形．解法二利用角的关系来判定．因为A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)．又因为2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0.因为A、B均为三角形的内角，所以A＝B.又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab.方法点评本题型是用正余弦定理判定三角形的形状，常有两种思路，一是通过三角形的边的关系，二是通过三角形的角的关系，这都可以用正弦定理和余弦定理来实现转化．在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断三角形的形状．解将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC，【变式3】已知锐角三角形的边长分别为1，3，x，则x的取值范围是多少？[错解]由三角形中三边的关系知3－1<x<3＋1，即2<x<4.错因分析错误的根源在于审题不清，漏掉“锐角三角形”的限制条件．误区警示

审题不清，导致错误【例4】纠错心得在△ABC

中，若A为锐角，则有a2<b2＋c2；若A为钝角，则有a2>b2＋c2.解决此类问题时要仔细审题，加强训练，培养思维的严密性．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系．正弦定理可解