2023届“西南汇”联考高三上学期开学考试数学（理）试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2023届“西南汇”联考高三上学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．设集合，​，则（

）A．​ B．​ C．​ D．​【答案】B【分析】先求出，从而判断四个选项的正误.【详解】由题意，得​，则.故选：B2．设复数​满足​，则​（

）A．​ B．​ C．​ D．​【答案】C【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解.【详解】设则即即解得故选：C.3．函数​的零点共有（

）A．​个 B．​个 C．​个 D．​个【答案】C【分析】分别讨论与时的解得个数即可.【详解】当​时​无解；当​时，​有解​综上，函数​有​个零点.故选：C.4．已知正方体​中，​分别为​的中点，则（

）A．​ B．​C．​ D．​【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，然后计算相应的数量积即可确定垂直关系.【详解】建立如图坐标系，不妨设正方体的棱长为.则∴，得到故.故选：D.5．已知的内角的对边分别是，则“”是“是钝角三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由结合余弦定理求出，求出​为钝角，充分性得证，再举出反例推出必要性不成立.【详解】​，由余弦定理得：，即​为钝角，故充分性成立，若钝角三角形中​为钝角，则​为锐角，​，即有​，故必要性不成立.故选：A.6．已知函数​，下列说法正确的是（

）A．​的最小正周期是​B．​的图像关于直线​对称C．​在区间​上单调递增D．​的图像可由​的图像向左平移​个单位得到【答案】D【分析】利用辅助角公式对恒等变形，从而求出最小正周期判断A，利用整体代入法可判断B与C，根据图像平移判断D.【详解】，得，故A选项错误；令，直线不为其对称轴，故B选项错误；当，时，单调递增，函数单调递减，故C选项错误；将的图像向左移个单位得.故D选项正确.故选：D.7．已知​均为单位向量，且满足​，命题​，命题​，则下列命题恒为真命题的是（

）A．​ B．​C．​ D．​【答案】B【分析】根据已知可求得的夹角和的夹角相等，进而可求解.【详解】由可得，，又因为均为单位向量，所以的夹角和的夹角相等，作图知命题必有一个为真命题，故恒为真命题的是.故选：B.8．的最小值为（

）A．​ B．​ C．​ D．​【答案】A【分析】由诱导公式以及基本不等式即可求最值.【详解】因为，原式.当且仅当时，取等号.故选：A9．已知一个定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求导可得为增函数，且，再求解与的解集，结合的奇偶性求解即可.【详解】由题意，得则​单调递增，又，所以​当​时，​；当​时，​.​时，​的解集为​.又​为奇函数，​为偶函数，​的解集为​.故选：D10．已知某校高三年级共​人，按照顺序从​到​编学号.为了如实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有​个黑球和​个白球的不透明盒子中随机取出​个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二.问题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级​人全部参与调查，经统计：有​人回答“否”，其余人回答“是”.则该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为（

）A．​ B．​ C．​ D．​【答案】B【分析】根据题意，按比例将1400人分为840人和560人，其中840人中将有420人回答“否”，则则​人中有​(人)回答“否”，​人回答“是”，则可求出问是否带手机的回答是的人数所占的比例，从而可求出该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数.【详解】根据题意，​人分为​（人）和​（人），​人中将有​人回答“否”，则​人中有​(人)回答“否”，​人回答“是”，则问是否带手机的回答是人数约占​，该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数约为​（人）.故选：B11．单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为（

）A．​ B．​C．​ D．​【答案】C【分析】先求得外接球半径，然后计算外接球内接的最大正三角形边长即可.【详解】如图为单位正四面体.过点作面的垂线交面于点为外接球球心，则为的中心，则，在中，.设，则在中，，解得.外接球内接的最大正三角形即为球的大圆的内接正三角形，由正弦定理可得边长为.故选：C12．​，则（

）A．​ B．​C．​ D．​【答案】A【分析】通过构造函数，由函数的单调性比较的大小，再构造函数，判断其单调性后比较的大小，从而可得结果.【详解】构造，，则，令，则，所以在上递减，所以，所以，所以在上递减，所以，所以，所以，即，所以，令（），则，所以在上递增，所以，所以，所以，所以，即故​.故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查比较大小，考查导数的应用，解题的关键是构造函数，通过判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小即可，考查数学转化思想，属于较难题.二、填空题13．已知函数​，则​____________.【答案】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】解：因为，又，所以，所以​.故答案为：14．函数的一条过原点的切线方程为____________.【答案】【分析】求出函数的导函数，设切点为，即可求出切线的斜率，从而得到，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而求出切线方程.【详解】解：因为，所以，设切点为，则，所以​，即​，令，，则，所以在上单调递增，又，所以​，则，，所以函数​过原点的一条切线方程为​.故答案为：15．设​是抛物线​的焦点，点A​在抛物线​上，​，若​，则​____________.【答案】【分析】根据题意可得焦点F的坐标，进而可得，由，可得结合抛物线的定义可得A点的横坐标，再代入抛物线的方程，即可得出答案.【详解】由可知焦点，，∴​，∵，∴∴​点​到抛物线准线的距离为​.∵​抛物线的准线方程为​，∴点A的横坐标∴​或​，∴​.故答案为：.16．已知正实数​满足​，则​的最小值为____________.【答案】【分析】由​得=1，将​同乘，利用，代换得，结合导数研究增减性，进而可求最小值.【详解】原式​，令​，则​，因为​，所以，当时，，在​上单调递减；当时，，在​​上单调递增，故，将​代入​，得原式​.故答案为：【点睛】本题重点考查了利用导数求解函数最值，解题突破口在于利用“1”的妙用思路和进行整体代换，入手难度大，平时应多加强此类题型积累.三、解答题17．在三棱锥中，平面平面是的中点.(1)证明：；(2)若，求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)​【分析】（1）利用条件先证明平面，再证明；（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量分别计算出平面平面和平面的法向量，再利用数量积算出二面角的大小.【详解】(1)证明：由题意，平面平面，平面平面，∴平面，平面，平面，∴；又，且AD,DC均在面CDA内，平面，平面，

；(2)以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A点作平行于DC的直线为z轴，建立空间直角坐标系如下图：由题意，得

,，显然平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则有，得，令，则，所以平面的一个法向量，则，则二面角的大小为；综上，二面角的大小为.18．已知​的内角​、、所对的边分别为、、，，​.(1)求​；(2)若​，，求、​.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（2）将​代入（1）中两式，得到，​，再分、两种情况讨论，分别求出、，再由，即可确定、，最后由余弦定理求出.【详解】(1)解：因为，，由正弦定理得​，.​，又，​.(2)解：将​代入（1）中两式，得，​.，​.当​时，解得​，；当​时，解得​，.又​，​，，.​，又，​.综上，​，.19．记数列​前​项和为，.(1)证明：​为等差数列；(2)若​，记​为数列​的前​项积，证明：​.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据与的关系，用替换，然后作差即可证明.（2）先由（1）中结论得到通项，从而得到，然后裂项放缩，即可得证.【详解】(1)由题意，得​.则​.两式相减，得​，即​，​是等差数列.(2)因为，由（1）知（也符合此式）故数列的通项公式为则所以故，得证.20．设椭圆，右焦点​，短轴长为2，直线​与轴的交点到右焦点的距离为​.(1)求​的方程；(2)点，均在​上，且满足若​与​轴交点为​，求满足条件的点​的坐标.【答案】(1)​(2)​或​或【分析】（1）由题知，再根据解方程即可得答案；（2）当​不平行​轴时，不妨设，进而联立方程结合韦达定理得，再根据已知得，进而分和两种情况讨论求解得，，，并检验判别式即可得答案.【详解】(1)解：因为短轴长为2，直线​与轴的交点到右焦点的距离为所以，​所以，所以，椭圆​的方程为​.(2)解：当​轴时，此时点​不存在；当​不平行​轴时，不妨设.联立直线​和椭圆的方程，得则由韦达定理，得​.设​的中点为​，因为所以，​，其中为到直线的距离，所以，​.结合直线​和​，得​.所以，由可得，即若​，则​，将​代入​，解得​.此时，​.经验证，符合​，此时点​的坐标为​；若​，即​，解得.经验证：符合​，此时点​的坐标为​或​.综上所述，符合条件的点​的坐标有​或​或​.21．设函数（​为常数）.(1)讨论​的单调性；(2)若函数​有两个不相同的零点​，证明:​.【答案】(1)在​上单调递减，​上单调递增.(2)证明见解析【分析】（1）对函数求导后，再构造函数，再次求导，可得在上单调递增，再由，可求出的单调区间，（2）不妨设，转化为只需证​，构造函数​，利用导数求出其最大值小于零即可.【详解】(1)由（），得，令，则，所以在上单调递增，因为，所以当时，，当时，，所以​在​上单调递减，​上单调递增.(2)由（1）的结论，不妨设​.又​均​，只需证​.构造函数​.则，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，而，所以取不到等号，所以，所以在上单递增，所以，所以​恒成立，结论得证.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是将问题转化为只需证​，然后构造函数，利用导数求其最值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.22．在平面直角坐标系​中，曲线​的参数方程是​(​为参数)，正方形​的顶点均在​上，且​依逆时针次序排列，点​.(1)求​的普通方程及点​的坐标；(2)设​为​内（包含边界）任意一点，求​的最小值.【答案】(1)​，；​(2)4【分析】（1）消去参数得到普通方程，画出图形，数形结合求出点​的坐标；（2）利用两点