2021-2022学年湘教版(2019) 高一数学必修第一册 第4章 专项拓展训练2 与对数函数有关的复合函数问题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页第Page\*MergeFormat7页共NUMPAGES\*MergeFormat7页第4章专项拓展训练2与对数函数有关的复合函数问题一、单选题1．若函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由的图象可得，以及的单调性，再根据复合函数的单调性判断的单调性，即可得解；【详解】解：由函数的图象，可知，函数在上是减函数，在上是增函数，因为对数函数是减函数，所以，且在上是增函数，在上是减函数，即只有C满足条件．故选：C．二、多选题2．已知函数且，则下列为真命题的是（

）A．当时，值域为 B．存在，使得为奇函数或偶函数C．当时，的定义域不可能为 D．存在，使得在区间上为减函数【答案】AC【解析】对于A，转化为整体真数部分能取遍一切正实数值，对于C,转化为自变量任意实数值时真数的值恒为正值，对应真数中的二次函数为正值．然后利用二次函数的性质可作出判定；对于B，利用奇偶性的定义分别转化为关于的含有参数的等式，考察等式恒成立的条件，即可判定参数的无解，从而否定B；对于D,考察函数在给定区间内为减函数的条件，注意结合复合函数的单调性法则和对数函数的单调性，同时注意函数在给定区间内真数大于零，探究满足条件的所满足的条件，研究发现无解，从而否定D.【详解】当时，,当时可以取遍之间的一切实数值，从而可以取遍的一切值，即值域为,故A正确；的定义域是不等式的解集，不论实数取何值，定义域都是无限集.要使为偶函数，则,于是，即对定义域内的实数恒成立，,但此时对数的底数为零，无意义；要使为奇函数，则,即，于是，即对定义域内的任意实数恒成立，但此方程为四次方程，至多有四个不同的实数根，矛盾.综上，B错误；的解集为R，等价于,即,所以当时，的定义域不可能为，故C正确；要使在区间上为减函数，必须是故,无解，故D错误.综上可知，正确的只有AC,故选:AC.【点睛】本题考查对数函数的性质，复合函数的性质，属中档题，对于此类对数函数与二次函数的复合函数，值域为R的条件是整体真数部分能取遍一切正实数值，定义域为R的条件是自变量任意实数值时真数的值恒为正值，对应真数中的二次函数首项系数为正值，判别式一个为大于等于零，另一个为小于零，两者要注意区分；探究函数的奇偶性时利用定义方法，注意得到在定义域内需要恒成立的等式，然后考察参数是否有可能满足条件；研究函数的单调性时，除了要注意复合函数的单调性的条件还必须注意在给定区间内有意义的要求.三、填空题3．函数的值域为______．【答案】【分析】先求函数的定义域，求出真数部分的函数在定义域上的值域后可得原函数的值域．【详解】令，则，设，则，因为，故，，∴函数的值域为．故填．【点睛】在高中数学的起始阶段，函数值域的求法，大致有两类基本的方法：（1）利用函数的单调性，此时需要利用代数变形把函数的单调性归结为一个基本初等函数的单调性，代数变形的手段有分离常数、平方、开方或分子（或分母）有理化等.（2）利用换元法把复杂函数的值域归结常见的函数的值域.4．若关于x的方程上有解，则实数a的取值范围为【答案】【详解】方程在内有解,则在内有解,即在内有值使成立设,当时,,,的取值范围是.故答案为:四、解答题5．已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．【答案】（1）增区间为；减区间为；（2）．【分析】（1）由得，先求出函数定义域，再由复合函数单调性的判定方法，即可得出单调区间；（2）先令，根据函数在给定区间的单调性，分别讨论，两种情况，即可得出结果.【详解】（1）当时，，由，得，解得或，所以函数的定义域为，令，则其在上单调递减，在上单调递增；又是减函数；根据复合函数单调性可得：函数的增区间为，减区间为．（2）令，则函数的图象为开口向上，对称轴为的抛物线，①当时，要使函数在区间上是增函数，则在上单调递减，且，即，此不等式组无解．②当时，要使函数在区间上是增函数，则在上单调递增，且，即，解得，又，∴，综上可得．所以实数的取值范围为．【点睛】本题主要考查判断复合函数的单调性，考查由函数单调性求参数的问题，属于常考题型.6．已知函数，．(1)解不等式：；(2)若关于x的方程在区间上有解，求实数m的取值范围．【答案】(1)或(2)【分析】（1）依题意可得，即可得到或，再根据对数函数的性质计算可得；（2）依题意在上有解．令，，根据二次函数的性质求出的值域，即可求出参数的取值范围；【详解】(1)解：由，即，得或，即或，解得或，所以原不等式的解集为或．(2)解：关于x的方程在区间上有解，即在上有解．令，由，得，则，其中．令，则在上单调递增，所以，即，所以．故实数m的取值范围为．7．已知函数，其中a为常数．(1)当时，求函数的值域；(2)若，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用换元法转化为求二次函数的值域即得；（2）通过换元可得，恒成立，再利用函数的单调性及基本不等式求函数的最值即得.【详解】(1)当时，．