代数式和整式

/7代数式和整式代数式1、代数式的定义概念：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数及表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。代数式的写法：①数的运算律同样适用于代数式。②单独一个数字或者一个字母也是代数式。③代数式中不可含有符号“="、“■”、“>”或“<”。④代数式的规范写法：字母与字母相乘可省略“■”。例如：x■y或xy；遇到除法，x除号用分数线表示。例如：X■y写成一；通常数字写在字母前面。例如：4x；带分数与y17字母相乘，把带分数写成假分数。例如：?3■y写成3y。2、代数式的分类■:整式!单项式秒物能■有理式■工■多项式代数式；黔式■■无理式3、列代数式把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式。要点提示：①再同一个问题中，不同的数量关系必须用不同的字母表示。②列代数式时，抓住题目中表示运算关系的关键词，如和、差、积、商、倍、比、增加或减少等。4、求代数式的值用具体数值代替代数式中的字母，按代数式指明的运算顺序，计算后得出结果，这就是求代数式的值。整式的相关概念单项式与多项式统称为整式。1、单项式与多项式单项式①概念：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。2②单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如：3r2h的系数2是3，2Hr的系数是2■，-abc的系数是-1，-3m2的系数是-3。③单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例5如：ab2c的次数是4，-x2yz2的次数是5，-16的次数是0。4多项式①概念：几个单项式的和叫做多项式。②多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。例如：1x2y2■x2yz2B5yz中，x2yz2项的次数最高是5，所以这个多项式的次数是5。多项式4通常以它的次数和项数来命名，称几次几项式。例如：ax2・bx■c（其中a、b、c是常数，且ab■0）是二次三项式。要点提示：①单项式的系数包括系数前面的符号。例如：-m2n的系数是-1。②多项式的每一项都包括它前面的符号。③单项式中分母不含字母。2、常数项在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。例如：在多项式4ab2〜b■9中，4ab2、-ab、9是项，其中9是常数项。3、多项式的排列①降幂排列：把一个多项式按某一字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做这个多项式按这个字母的降幂排列。例如：4x2■3xH叫做按字母》的降幂排列，a3■2a2b■2ab2■b叫做按字母a的降幂排列。②升幂排列：把一个多项式按某一字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做这个多项式按这个字母的升幂排列。例如：-2■3x■4x2叫做按字母x的升幂排列，a3■2ab■3ab2•3叫做按字母b的升幂排列。整式的加减运算1、同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。同一多项式中，常数项也是同类项。要点提示：同类项的判断只需具备两个“相同”，即所含字母相同，相同字母的指数也相同，与各项的系数无关，与字母的排列顺序也无关。、合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项法RL把同类项的系数相加r所退E勺结果作

为系数r字母与字母芭脂数保持不变括号前面是:”号把括号f口它前面的

彳.号去掉,括号县各项都不改变卷号去括号法则括号前面是「号,把?。匚它前面的

号去掉，话号里各项都改变苻号合并同类

项的法则添括号法则整式的加减法ML所添括号前后是3号.括到括号里的各项都不改期号所添括号前面是'一三括祖括号里的各项都奥变符号整式口斌的一^莪是：L如果遇到括号，按去聘法处先去括号2、先作®:的秉除三台并同美场1、乘法运算①单项式乘以单项式的法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式中含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。②单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加、③多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。要点提示：①几个单项式相乘，最后结果仍是一个单项式。②单项式乘多项式时注意符号的处理，即括号法则是一致的。③单项式乘多项式的结果仍是一个多项式。④两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应该等于这两个多项式的项数的积。2、除法运算①单项式除以单项式的法则：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。②多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。③多项式除以多项式的法则：两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算：第一步：用除式的第一项去除被除式的第一项，所得的商作为商式的第一项。第二步：用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下边，同类项要对齐，从被除式中减去这个积。第三步：把余式当做新的被除式，仿照上面的方法计算，直到余式的次数低于除式的次数为止（或余为零）乘法公式1、含同一字母的两个一次二项式的乘法法则①当一次项系数为时，有■X■a^^Hb■%2■■a■b■■ab②当一次项系数不为时，有■mX■a■HXfeb■mnx2・^^■na■X■ab2、平方差公式两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即：・■b.1b%2■b2要点提示：①公式中的a、b所代表的内容具有广泛性，它们可以是数字，也可以是单项式或多项式。②平方差公式具有可以连续使用的特点。③有时需将多项式进行适当调整和变形，才能使用平方差公式计算。、完全平方公式两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）它们的积的倍。即：*bIta2■2ab■b2要点提示：完全平方公式的变形：a2■b2■b■2ab・b.■■b*4abI■b■■■bm4abI■b■■■bm2a2■2b2、三项和的平方公式：■■b■c■fca2■b2■c2■2ab■2bc■2ac、完全立方公式：■a■b■Ita3■3a2b■3ab2■b3、立方和与立方差公式：■a■b.Hab■b2■a3■b3整数指数幕的运算法则、同底数幕的乘除法则①同底数幕的乘法法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加，即：am•〃■am%（m、n都是正整数）。②同底数幕的除法法则：同底数幕相除，底数不变，指数相减，即：amMan■am〜（a■0,m、n都是正整数，且m■n）。、幕和积的乘方法则①幕的乘方法则：幕的乘方，底数不变，指数相乘，即：ia^m.amn（m、n都是正整数）。②积的乘方法则：积的乘方，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幕相乘，即■ab■fca„b„、零指数幕与负整数指数幕①任何非零数的次幕都等于、即a0■1（a■0）。1②任何不等于零的数的-P次幕等于这个数的P次幕的倒数，即：a■p■—aP（a■0,p是正整数）。4、幂的运算法则幂的运算法则就是指同底数幂的乘、除法则、幂的乘方法则及积的乘方法则，它是整式乘除法运算的基础。因式分解1、因式分解的有关概念①因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（或叫做分解因式）。要点提示：因式分解和整式乘法互为逆运算。因式分解的对象是多项式。因式分解的结果一定是整式乘积的形式。因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止。因式分解的结果如果有相同因式，就将相同因式写成幂的形式。②公因式：一个多项式的各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。2、因式分解的方法和步骤①提取公因式法：如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。例如：na■nb■n■■b・②运用公式法：如果把乘法公式从左向右使用，就可以用来把某些符合条件的多项式分解因式，我们把这种分解因式的方法叫做运用公式法。③分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。要点提示：分解后能直接提取公因式。分解后能运用公式。④关于x2■.■q■■pq型多项式的因式分解：x2■■■q1■pqP"q.这种式子的特点：二次项系数为1常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数之和。⑤十字相乘法：借助十字交叉线分解系数，从而帮助把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。要点提示：十字相乘法步奏：第一步，将二次三项式ax2・bx■c的二次项系数a分解为a、1a，常数项c分解为c、c，并且把a、a、c、c排列为：第二步，按交叉线相乘，再相加，就得到“C■"C。如果b■"C■"C，那么12211221ax