一次函数的图像和性质的应用

一次函数的图象和性质的应用涧池中学尹合群一、本章知识内容1、函数，一次函数的概念2、一次函数图象的概念及特征3、确定一次函数表达式4、一次函数图象的应用。回顾与思考二、本章知识网络结构图丰富的现实背景函数一次函数函数表达式图象函数表达式的确定图象的应用三、知识点回顾1、函数的概念一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。2、一次函数，正比例函数的概念及联系若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx+b（k,b为常数，b≠0)的形式，则称y是x的一次函数。X是自变量，y是因变量。当b=0时，即y=kx时，称y是x的正比例函数3、函数图象的概念把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。4、一次函数图象的特征（y=kx+b,b≠0)（1）不过原点，和两坐标轴相交的直线。当k>0，b>0时，图象经过一、二、三象限；当k>0，b<0时，图象经过一、三、四象限；当k<0，b>0时，图象经过一、二、四象限；当k<0，b<0时，图象经过二、三、四象限。（2）作图象时，需描两个点。（3）当k>0时，y的值随x的增大而增大；当k<0时，y的值随x的增大而减小。（0，b）和（，0）（1）正比例函数的图象都经过坐标原点的直线。（2）作y=kx的图象时，除原点外还需找一点。（3）当k>0时，k的值越大，函数图象与x轴正方向所成的锐角越大。图象越靠近y轴一般找（1，k）点。正比例函数的图象特点(y=kx)（4）当k>0时，y的值随x值的增大而增大；当k<0时，y的值随x值的增大而减小。5、函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系当k1

≠k2，两直线相交；当k1

≠k2，b1=b2时，两直线相交于y轴上同一点；当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行。6、一次函数的应用1、在函数y=2x中，函数y随自变量x的增大__________。2、已知一次函数y=kx+5过点P（－1，2），则k=_____。3、已知一次函数y=2x+4的图像经过点（m，8），则m＝________。4、已知y与x成正比例，且当x＝1时，y＝2，那么当x＝3时，y=_________。5、一弹簧，不挂重物时，长6cm，挂上重物后，重物每增加1kg，弹簧就伸长0.25cm，但所挂重物不能超过10kg，则弹簧总长y（cm）与重物质量x（kg）之间的函数关系式为___________。

复习练习6、已知y－3与x成正比例，有x=2时，y＝7。（1）写出y与x之间的函数关系式。（2）计算x＝4时，y的值。（3）计算y＝4时，x的值。7、已知一次函数y=kx+b的图像与y＝2x+1的交点的横坐标为2，与直线y＝－x+8的交点的纵坐标为－7，求直线的表达式。8、某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书，租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如下图所示。5020O100y/天x/天租书卡会员卡（1）分别写出用租书卡和会员卡租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系式。（2）两种租书方式每天的收费是多少元？例1：求函数与x轴、y轴的交点坐标，并求这直线与坐标轴围成的三角形的面积。解：设直线与x轴的交点坐标为（a,0）把（a,0）代入中得∴∴

直线与x轴的坐标是（2，0）设直线与y轴的交点坐标为（b,0）把（b,0）代入中得∴∴

直线与y轴的坐标是（0,-3）yx12-1-2-3o由图象可知直线与坐标轴围成的三角形是直角三角形∵

直线与x轴、y轴的交点坐标是（2，0）、（0，-3）∴

直线与坐标轴围成的三角形的面积是

例题解析O102030405020040060080010001200t/天v/立方万米例2.由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少，干旱持续的时间t(天）与蓄水量v(立方万米）的关系如图。（1）干旱持续10天，蓄水量为多少？持续20天呢？（2）蓄水量小于400立方万米时，将发出严重干旱警报，多少天后将发出严重干旱警报？（3）按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？60例3：弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的关系是一次函数,图象如左图所示,观察图象回答：（1）弹簧不挂物体时的长度是多少？从图中还可知道什么？(2)y与x之间的函数关系式为？（3）弹簧的长度是24cm时，所挂物体的质量是多少？x/kg081051520y/cmA例4.某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量y（升）与摩托车行驶路程x（千米）之间的关系，如图所示：根据图象回答下列问题油箱汽油可供摩托车行驶多少千米？2摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？3油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警？100100200300400500421356789y/升x/千米例5.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x(公斤）的一次函数，图象如图所示

求：（1）从图中可以获取哪些信息

（2）旅客最多可免费携带行李的公斤数.x(公斤)Y(元)1080606Ao2536x/小时y/微克例7.某医药研究所开发了一种新药,在实验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(时)变化情况如图所示,当成人按规定剂量服药后.(1)服药后时,血液中含药量最高,达每毫升微克,接着逐步衰减.(2)服药后5时,血液中含药量为每毫升微克(3)当x≤2时,y与x之间的函数关系式是(4)当x≥2时,y与x之间的函数关系式是(5)如果每毫克血液中含药量度微克或3微克以上时,治疗疾病最有效,那么这个有效时间范围是时例8.我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶（如图所示）。图中L1，L2分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系t/分根据图象回答下列问题1）哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系？2）A，B哪个速度快3）15分内B能否追上A？4）如果一直追下去，那么B能否追上A？5）当A逃到离海岸12海里时，B将无法对其进行检查。照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？s/海里12345678910123456780L1L2例9.一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题.(1)农民自带的零钱是多少?(2)试求降价前y与x之间的关系式(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆?例10.如图所示，L1

反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，L2

反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图意填空：（1）当销售量为2吨时，销售收入=————元，销售成本=————元（2）当销售量为6吨时，销售收入=————元，销售成本=————元（3）当销售量等于———时，销售收入等于销售成本（4）当销售量———时，该公司赢利（收入大于成本）；当销售量———时，该公司亏损（收入小于成本）（5）对应的函数表达式是——————，对应的函数表达式是——————L2y/元x/吨123456100020003000400050006000L1例11

．如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离S（千米）与所行的时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示的AC和BD给出，当他们行走3小时后，他们之间的距离为多少千米？例12.如图是某出租车单程收费y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系图象,根据图象回答下列问题(1)当行使8千米时,收费应为

元(2)从图象上你能获得哪些信息?(请写出2条)

(3)求出收费y(元)与行使x(千米)(x≥3)之间的函数关系两直线与y轴所围三角形的面积

例13：求直线y=2x－7，直线与y轴所围成三角形的面积．析解：如图3，直线y=2x－7，直线与y轴所围成三角形为△ABC，过点A作AD⊥y轴，垂足为D．易求A点坐标为（3，－1），B点坐标为，C点坐标为（0，－7），则，AD=3，所以．1.A市和B市分别有某种库存机器12台和6台,现决定支援C村10台,D村8台.已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元,从B市调运一台机器到运费分别是300元和500元.(1)设B市运往C村机器x台,求总运费W关于x的函数关系式;(2)若要求总运费不超过9000元,共有几种方案;(3)求出总运费最低的方案,最低运费是多少?分析:由已知条件分析得下表:库存机器支援C村支援D村B市6台x台(6-x)台A市12台(10-x)台[8-(6-x)]台

提高拓展解:(1)依题意得W=300x+500(6-x)+400(10-x)+800[8-(6-x)]=200x+8600(0≤x≤6且x为整数)∴W与x的函数关系式为W=200x+8600(0≤x≤6且x为整数)(2)由W=200x+8600≤9000,得x≤2又∵x为整数,∴x可以取0,1,2三个数,共有三种调运方案.(3)∵W=200x+8600是一次函数,且k=200>0,W随x的增大而增大,∴当x取最小值时,W最小,即当x=0时,W最小值=2000+8600=8600(元)∴当从A市调运10台给C村,调2台给D村,从B市调6台给D村时,总运费最低,最低运费是8600元.y1=15%x+（x+15%x）·10%=0.265x，y2=30%x-700=0.3x-700.∴y1-y2=0.265x-(0.3x-700)=700-0.035x.①当y1-y2=0时，有700-0.035x=0，∴x=20000.∵当x=20000时，两种销售方式获利一样多.②当y1-y2＞0时，有700-0.035x＞0，∴x＜20000.∴当x＜20000时，y1＞y2.即月初出售获利较多.③当y1-y2＜0时，有700-0.035x＜0，∴x＞20000.∴当x＞20000时，y1＜y2.即月末出售获利较多.

2.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售可获利15%，并可用本利和再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付仓储费用700元，问他如何销售获利较多？

解：设商场计划投资x元，在月初出售共获利y1元，在月末出售共获利y2元，根据题意，得3.我国是世办上严重缺水的国家之一。为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的办法收费。即一月用水10吨以内（包括10吨）用户，每吨收水费a元，一月用水超过10吨的用户，超过部分每吨按b元（b＞a）收费。设一户居民月用水x吨，水费y与x