平面向量常用方法归纳

平面向量常用方法归纳1、基底法在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.【例1.1】在中，是的中点，，则__________．【答案】【解析】方法一：基底法方法二：极化恒等式法【例1.2】已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】方法一：基底法，令，，则原式可化为：，解得，.方法二：解析法建立如图所示直角坐标系，则：，，，又，，易得，，，下同方法一.【练习1.1】已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________.【答案】【提示】本题仍然推荐基底法和坐标法，可令，当时取得最小值5.【练习1.2】如图，△是边长为的等边三角形，是以为圆心，半径为1的圆上的任意一点，则的取值范围是.【答案】【提示】本题可以使用基底法和极化恒等式两种方法处理，当然也可以使用解析法处理..2、平方法在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律，即.【例2.1】设是两个非零向量，()A．若，则B．若，则C．若，则存在实数，使得D．若存在实数，使得，则【答案】C【解析】方法一：平方法对式子进行两边平方处理，易得：，即向量与反向，而“存在实数，使得”表示向量与共线，故选项C正确.方法二：三角不等式由三角不等式等号成立的条件是向量与反向，下同方法一.【例2.2】11.如图，在△中，，为的中点，为上一点，且满足，若△的面积为，则的最小值为【答案】【解析】由，点为的中点，易得：，又三点共线，，，则，又，，，当且仅当时取等号.【练习2.1】设为单位向量，非零向量.若的夹角为，则的最大值等于__________．【答案】2【提示】平方法转化成二次函数最值问题，数形结合也可处理.【练习2.2】设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数，的最小值为（）A.若确定，则|唯一确定B.若确定，则唯一确定C.若确定，则唯一确定D.若确定，则唯一确定【答案】B【提示】平方法转化成一次二此不等式恒成立问题，或使用数形结合方法处理.3、投影法平面向量数量积（点乘）：=1\*GB3①我们可以理解成：两向量的数量积等于他们各自的模长，乘以它们夹角的余弦值；=2\*GB3②也可以理解成：两向量的数量积等于其中一个向量的模长，乘以另外一个向量在它上面的投影；=3\*GB3③在上的投影是=4\*GB3④投影有正有负，正负代表投影的位置.【例3.1】如图，四个边长为的正方形排成一个大正方形，是在正方形的一条边，是小正方形的其余各个顶点，则的不同值的个数为（）A.7B.5C.3D.1【答案】C【解析】在向量上的投影有三种情况，分别是的投影是0，，，的投影是1，，的投影是2，所以共有三个不同的结果，故选C.【例3.2】如图，在等腰直角中，为上靠近点的四等分点，过作的垂线，为垂线上任一点，设，则等于()A． B.C． D.eq\f(3,2)【答案】A【提示】投影法，又是等腰直角三角形，且，，.【练习3.1】已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则．【答案】【提示】方法一：投影法由题意知，又，由向量数量积的几何意义，可知在与上的投影均为，又，，则向量如图所示，由几何关系易得方法二：坐标法建立如图所示的直角坐标系，设易得：，，，可得：，解得：，方法三：数形结合，，，又，，或（舍）代回已知，易得【练习3.2】在中，，，分别为的重心和外心，且，则的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能【答案】B【提示】方法一利用重心和外心的性质，利用投影的思想来处理这个条件，方法二利用基底代换，把条件转化为余弦定理形式来判断为钝角.4、坐标法几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。只要题目中给出了向量之间的夹角就可以考虑使用坐标来处理向量问题。【例4.1】如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为与的夹角为，在与内部，且，若，则（）A．＝4，＝2 B．＝eq\f(8,3)，＝eq\f(3,2)C．＝2，＝eq\f(4,3) D．＝eq\f(3,2)，＝eq\f(4,3)【答案】C【提示】建立平面直角坐标系，把各个向量坐标化，易知答案为C.【例4.2】.已知是圆上的两个点，是线段上的动点，当的面积最大时，则的最大值是（

）

A.-1

B.0

C.

D.【答案】C【提示】由题意知：，，易知当时，面积最大.不妨设单位圆与轴和轴正半轴的交点分别为点，，易知直线所在的直线方程为，可设，.【练习4.1】设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点，则使成立的点M的个数为…()A．0B．1C．2D．4【答案】B【提示】坐标化，解出点坐标只有一组解，故选B.【练习4.2】平面向量满足，，，，则的最小值为．【答案】【提示】建立如图所示的直角坐标系，，利用向量数量积的几何意义，可知向量与可以看成是终点在与上自由移动，，可知与终点的连线线段长为2，设，，有几何关系知：，当时，，当时取得最大值，最小值为；当时，，当时取得最大值，最小值为.综上可知，的最小值为.5、数形结合法在处理一些平面向量的问题时，需要利用图形，结合向量的运算法则，综合分析，来处理一些动态变化问题。这类问题主要包含：圆上动点、直线上动点等。【例5.1】若平面向量，满足，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是.【答案】【提示】方法一：如图所示，，整理得：，，，方法二：如右图建立平面直角坐标系，把向量放在轴非负半轴，当的终点在直线上滑动时，可以满足以向量为邻边的平行四边形的面积为，又，由几何关系知.【例5.2】已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】方法一：数形结合由题意知，是单位向量，，可取轴和轴正方向的单位向量分别记为与，可化为，由向量的计算法则，结合右图易知：以的终点为圆心，以为半径画一个圆，则从原点出发连到该圆上的任意向量都是满足题意的向量，则.方法二：解析法（坐标法）由题意知，是单位向量，，可取轴和轴正方向的单位向量分别记为与，则，，设，，，设，，，，，，，.【练习5.1】在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则()A．B．C．D．【答案】D【提示】本题推荐三种方法，其一是特殊值排除，其二是构造函数求解，其三是利用极化恒等式处理，下面针对后两种情况详细说明.方法二：构造函数取线段中点记为，设，令，由题意知，所以对称轴，整理得：，即，.方法三：极化恒等式取线段与线段中点分别记为，，又，可知，，.【练习5.2】设向量满足，则的最大值等于()A．B．C．D．【答案】A【提示】且，所以向量内接与圆，当为该圆的直径时最大，为2.【练习5.3】已知向量，满足，且，则的最小值为.【答案】【提示】考虑，因为，以终点为圆心，以为半径画圆，可知由的起点连到该圆上的向量为向量，由向量数量积的投影意义易得当与同向时（左侧）取得最小值，此时也取得最小值为.，当时，的最小值会把拉长，导致在投影边长，此时，综上：也取得最小值为.6、三点共线结论及其推广在平面内，若点与不共线，对于任意的有：若，则三点共线.=1\*GB3①若，则点在点和点之间，且有；=2\*GB3②若，则点在点的外侧，且有；=3\*GB3③若，且把改为，则点在内部及边界上.【例6.1】如图所示，是圆上的三点，的延长线与线段的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【提示】因为三点共线，则存在实数使得：，，又因为三点共线，且点在圆外，则有：，，，又，，，.【练习6.1】在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足则点集所表示的区域的面积是（）A．B．C．D．【答案】D【提示】由知识点第三条推导可得：点所表示的区域范围是以点为中心，为一边，为对角线一半的平行四边形，故面积为.【练习6.2】、满足，，若对任意，都有成立，则的最小值为【答案】【提示】方法一：利用结论设，，∴C点在单位圆上，∵且，∴点C要在图中阴影部分内，即图中红色圆弧要在阴影部分内，如右图所示，AB与圆O相切于点C时，此时、夹角最大，通过解三角形算得此时，∴的最小值为方法二：解析法平方得，表示椭圆，满足，且，数形结合，即椭圆夹在两条平行线之间，联立椭圆和直线，化简为一元二次方程，，，解得，∴的最小值为绝对值不等式绝对值不等式：=1\*GB3①对于非零实数，左侧等号成立的条件是与异号，右侧等号成立的条件是与同号；=2\*GB3②对于非零向量，第一个等号成立的条件是与反向，第二个等号成立的条件是与同向。【例题7.1】已知向量，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值是。【答案】【提示】方法一：，两边平方可得：，又，，方法二：由得：该式子表示向量与在向量上投影绝对值之和小于等于，由向量运算法则可知，当与共线时取得最大值，且该最大值为，，【练习7.1】已知向量，，，，，若为平面内任意单位向量，则的最大值是.【答案】【提示】由例题7.1的方法易得最大值为【练习7.2】已知平面上三个不同的单位向量、、满足，若为平面内的任意单位向量，则的最大值为【答案】【提示】方法一：如图构造，，，，设，根据题意，，要取得最大，∴，即最大值为.方法二：由例7.1的方法二可知，当与四个向量某一个同向时取得最大值，即，建立如图所示的坐标系，，，，则的最大值为.8、极化恒等式极化恒等式：平行四边形模式：如图在平行四边形中，则有在三角形模式中：如图在中，为中点，则有.（3）题目中遇到求两个共起点（或共终点）的向量的数量积问题时，可优先考虑极化恒等式是否可行.【例题8.1】已知是边长为的正三角形，PQ为外接圆O的一条直径，M为边上的动点，则的最大值是．【答案】3【提示】由极化恒等式得：，由题意知：，，即的最大值为3.【例题8.2】已知正方形长为，，，若在正方形边上恰有个不同的点P，使，则的取值范围________【答案】【解析】以为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，取线段的中点记为，由极化恒等式可得：整理得：点的轨迹方程为：，与正方形四条边有6个交点，则半径,可得【练习8.1】如图，在同一平面内，点位于两平行直线、外部，且到、距离分别为1、3，点、分别在、上，，则的最大值为（）A.15B.12C.10D.9【答案】A【练习8.2】在△中，、分别是、的中点，是直线上的动点.若△的面积为，则的最小值为.【答案】9、等和线引理：已知不共线的向量，对于任意向量，必存在一组使得，。则三点共线.等和线：看到，可考虑两边同时除以得：，令，则有，此时有三点共线.【例题9.1】给定两个长度为1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为90°．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动．若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，其中，则x＋y的最大值是________．【答案】【解析】由，得：，，所以三点共线，，所以三点共线，，易知，，，当点在弧中点时取得最大值.【例题9.2】如图，在扇形中，，，为弧上的一个动点.若，则的取值范围是.【答案】【提示】取，，，，令，所以三点共线，又，所以三点共线，，因为，由图易知，.【练习9.1】已知是内任一点，且满足,、，则的取值范围是．【答案】【练习9.2】已知中，，，在边的中垂线上（不在直线上），且满足，，则.【答案】强化练习1、如图，已知半圆的直径，是等边三角形，若点是边（包含端点、）上的动点，点在弧上，且满足,则的最小值为. 【答案】2【解析】因为，所以,而，所以而表示在上的投影，即点在点时，投影最小.2、在边长为的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，若与的夹角记为，其中，且，则的最大值为．【答案】【解析】，°，则的最大值是3、已知平面向量、满足条件：，，，．若向量(R)，且，则的最小值为．【答案】【解析】由题知得，根据，整体换元得，而，带入化简得.所以4、已知向量且，若向量满足，则的最大值为_________【答案】【解析】设可得5、在平面直角坐标系中，已知向量，是坐标原点，是曲线上的动点，则的取值范围（）A、B、C、D、【答案】A【解析】设则，令，可看做平移过程中，与曲线有交点时，截距的最值情形，利用线性规划解题6、已知点，为曲线上任意一点，则的取值范围为（）A、B、C、D、【答案】A【解析】依题意画图，为半个椭圆图像，如图设则，数形结合，令，利用根的判别式求出直线与椭圆上半部分相切时的值，即为最大值，解得为7，最小值在点处取得为1，所以范围是，答案选A7、已知平面向量、、满足，，且，则当时，的取值范围是．【答案】【解析】，表示以原点为圆心，1为半径的圆记其终点为A，表示，则其最小值的最大值为38、已知圆:，圆:.直线、分别过圆心、，且与圆相交于两点，与圆相交于两点，点是椭圆上任意一点，则的最小值为___________.【答案】【解析】设，则9、设点在以为圆心，半径为1的圆弧上运动（包含、两个端点），，且，的取值范围为【答案】【解析】以为原点，为正半轴建立平面直角坐标系，∴，，设，，，∴，，即，，∴∵和均在上单调递增，在上单调递减，且为两个三角函数的对称轴，∴或时，，时，，∴的取值范围为.10、过点作圆（）的切线，切点分别为、，则的最小值为【答案】【解析】设，，，，∴，当时等号成立.11、已知O为△ABC的外心，，，则的最大值为【答案】【解析】如图所示，作，，，，∴，设外接圆半径为1，则，，即.12、在中，已知，为线段上的一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为________【答案】【解析】，由共线定理，，由可得，∴，，∴.13、正方形的边长为，对角线相交于点，动点满足，若，其中，则的最大值是【答案】【解析】以点为原点，所在直线分别为轴，建立直角坐标系。则。因为，则的轨迹方程为设根据得，则即14、已知正三角形的边长为，点是所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为【答案】【解析】根据题意，作出示意图，，当与反向时，有最小值0，当与同向时，有最大值6，所以的取值范围为.15、向量、是平面直角坐标系轴、轴的基本单位向量，且，则的取值范围为【答案】【解析】根据题意，，，设，根据的几何意义，轨迹是一条线段（图中AB），的几何意义为到点的距离，由图可知，距离最短为，最长为，范围为16、已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量、、满足，，，若、、在同一直线上，则【答案】2【解析】由题意，、、在同一直线上，∴，即，，，，，，，……，可知周期为6，且每6项之和为0，∵，∴.17、在中，是的中点，点列（）在直线上，且满足，若，则数列的通项公式【答案】【解析】，，∵与共线，但不与共线，∴，，.18、已知Rt中，，，，在三角形所在的平面内有两个动点和，满足，，则的取值范围是（