(新高考)高考数学一轮复习讲练测专题8.2《空间几何体的表面积和体积》(解析版)

专题8.2空间几何体的表面积和体积新课程考试要求1.理解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体.2.会计算柱、锥、台、球的表面积和体积.核心素养本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象等.考向预测（1）以结合三视图、几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.（2）与立体几何相关的“数学文化”等相结合，考查数学应用.（3）几何体的表面积与体积与三视图结合是主要命题形式.有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想．【知识清单】知识点1．几何体的表面积圆柱的侧面积圆柱的表面积圆锥的侧面积圆锥的表面积圆台的侧面积圆台的表面积球体的表面积柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.知识点2．几何体的体积圆柱的体积圆锥的体积圆台的体积球体的体积正方体的体积正方体的体积【考点分类剖析】考点一：几何体的面积【典例1】（2021·全国高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为SKIPIF1<0（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为SKIPIF1<0的球，其上点A的纬度是指SKIPIF1<0与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为SKIPIF1<0，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0），则S占地球表面积的百分比约为（）A．26% B．34% C．42% D．50%【答案】C【解析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：SKIPIF1<0.故选：C.【典例2】（2021·全国高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为SKIPIF1<0则该圆锥的侧面积为________.【答案】SKIPIF1<0【解析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【规律方法】几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【变式探究】1．（2020·全国高考真题（理））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆半径为，球的半径为，依题意，得，为等边三角形，由正弦定理可得，，根据球的截面性质平面，，球的表面积.故选：A

2．（2020·北京高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．

A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：.故选：D.【总结提升】计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.考点二：几何体的体积【典例3】（2021·天津高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为SKIPIF1<0，两个圆锥的高之比为SKIPIF1<0，则这两个圆锥的体积之和为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点SKIPIF1<0，设圆锥SKIPIF1<0和圆锥SKIPIF1<0的高之比为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，这两个圆锥的体积之和为SKIPIF1<0.故选：B.【典例4】（2018·全国高考真题（文））在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在长方体中，连接，根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，所以该长方体的体积为，故选C.【总结提升】（1）已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．（3）规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法（4）不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.（5）三视图形式：若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解提醒：处理高线问题时，经常利用的方法就是“等积法”．【变式探究】1．（2018·全国高考真题（文））已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．【答案】8π【解析】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线，高，底面圆半径的长，代入公式计算即可.详解：如下图所示，又，解得，所以，所以该圆锥的体积为.2．（2019·山西高三月考）已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是__．【答案】【解析】如图所示，设，则，外接圆的半径为则三棱锥的高为，三棱锥的体积公式为，设，则，，令，解得，在单增，单减，，所以三棱锥体积最大值为【方法总结】求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.考点三：几何体的展开、折叠、切、截问题【典例5】（2019·天津高考真题（理））已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.【答案】.【解析】由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，故圆柱的体积为.【规律方法】几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.【典例6】（2019·四川高三月考（理））学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，高为.打印所用部料密度为．不考虑打印损耗．制作该模型所需原料的质量为________.（取）【答案】【解析】设被挖去的正方体的棱长为，圆锥底面半径为，取过正方体上下底面面对角线的轴截面，由相似三角形得则，解得．模型的体积为，因此，制作该模型所需材料质量约为．故答案为：.【典例7】（2021·上海高二期末）已知正三棱柱SKIPIF1<0的侧棱长为4，底面边长为SKIPIF1<0，且它的六个顶点均在球SKIPIF1<0的球面上，则球SKIPIF1<0的体积为__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】根据题意画出图形，由正弦定理求出SKIPIF1<0的外接圆半径，再根据勾股定理，求出球的半径，根据球的体积公式即可求解.【详解】解：如图所示，设SKIPIF1<0中心为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，根据等边三角形性质知：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外接圆半径，根据正弦定理得：SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故球SKIPIF1<0的体积为：SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.【总结提升】1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．【典例8】（2021·浙江高二期末）某四棱锥三视图如图所示，则该几何体的体积是______，其内切球半径为_____.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0；【解析】根据三视图画出原几何体，如图所示，是从正方体中截得的四棱锥SKIPIF1<0，从而可求出其体积，然后利用等体积法可求出内切球的半径【详解】解：由三视图可知，原几何体是如图所示的四棱锥SKIPIF1<0，所以该几何体的体积为SKIPIF1<0，设该几何体的内切球的半径为SKIPIF1<0，则由图可知SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【总结提升】看个性考向(一)是几何体的外接球一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.考向(二)是几何体的内切球求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.找共性解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：【变式探究】1.（2020·佛山市第四中学高二月考）《九章算术.商功》中有这样段话：“斜解立方，得两壍堵(qiandu).斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑(bienao).”这里所谓的“鳖臑”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥SKIPIF1<0是一个“鳖臑”，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】将三棱锥SKIPIF1<0补为长方体可求得结果.【详解】如图所示，将三棱锥SKIPIF1<0补为一个长宽高分别为SKIPIF1<0的长方体，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球即长方体的外接球.设外接球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积SKIPIF1<0.故选：B.2．【多选题】（2021·江苏高一期末）已知正四面体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，则（）．A．SKIPIF1<0 B．四面体SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0C．四面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0 D．四面体SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0由已知条件可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0可判断A；求出正四面体SKIPIF1<0表面积可判断B；由A选项得知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，可得四面体SKIPIF1<0的体积可判断C；将正四面体SKIPIF1<0补成正方体，正方体的对角线即为外接球的直径，正四面体的棱长即为正方体面对角线长，计算出正方体对角线长可求出外接球的半径可判断D.【详解】对于A，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是正四面体，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故正确；正四面体SKIPIF1<0的一个侧面的面积为SKIPIF1<0，所以表面积为SKIPIF1<0，故B正确；由A选项得知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是正四面体，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，四面体SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，故C错误；将正四面体SKIPIF1<0补成正方体，则正四面体和长方体有相同的外接球，正方体的对角线即为外接球的直径，正四面体的棱长即为正方体面对角线长，因为正四面体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，所以正方体的棱长为SKIPIF1<0，对角线长为SKIPIF1<0，所以外接球的半径为SKIPIF1<0，故D正确.故选：ABD.3．（2018·天津高考真题（文））如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________．【答案】【解析】如图所示，连结，交于点，很明显平面，则是四棱锥的高，且，，结合四棱锥体积公式可得其体积为，故答案为.【典例9】（2020-2021学年江苏省连云港市）已知正方形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0折起，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得到三棱锥SKIPIF1<0．若O为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点（不包括端点），且SKIPIF1<0，则当点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为________时，三棱锥SKIPIF1<0的体积取得最大值，且最大值是________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】首先证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为三棱锥的高，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，将三棱锥的体积表示为关于SKIPIF1<0的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.【详解】因为四边形SKIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，因为O为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，又因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0的体积最大为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【规律方法】有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【变式探究】（2017课标1，理16）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】【解析】【典例10】（2020·浙江温州中学高三3月月考）单位正方体内部或边界上不共面的四个点构成的四面体体积的最大值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】要使四面体的体积最大，则四面体的四个顶点应该在正方体的表面上，了叙述方便，把此时的四面体称为正方体的内接四面体，记正方体的外接球为球O，由题意知正方体的内接四面体体积的最大值不大于球O的内接四面体的体积的最大值，球O的内接四面体以正四面体的体积最大，此时正四面体恰好是正方体的内接四面体，正方体为1时，内接正四面体的体积为SKIPIF1<0．故选：C．【变式探究】（2018·江苏高考真题）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为【典例11】（2020·山东省泰安市6月三模）已知球O是正三棱锥的外接球，，，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是_______.【答案】【解析】如图，设三棱锥的外接球半径为R，正三角形的外接圆圆心为，因为，三角形是正三角形，为正三角形的外接圆圆心，所以，因为，所以，，解得，，因为过作球的截面，当截面与垂直时，截面圆的半径最小，所以当截面与垂直时，截面圆的面积有最小值，在中，，故，截面面积，故答案为：.【总结提升】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【变式探究】1.（2020·安徽马鞍山�高三三模（文））已知正方体的棱长为，直线平面，平面截此正方体所得截面中，正确的说法是（）A．截面形状可能为四边形 B．截面形状可能为五边形C．截面面积最大值为 D．截面面积最大值为【答案】D【解析】如图在正方体中平面，所以平面与平面平行平面与正方体的截面可以是三角形、六边形但不会是五边形和四边形当截面为正六边形时，截面面积有最大，由题可知：，则故选：D2．（2020·江苏苏州�高一期末）已知在球的内接长方体中，，，则球的表面积为________，若为线段的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值为______．【答案】【解析】如图，因为球的内接长方体中，，，所以，所以球的表面积，当球的截面，即为截面圆圆心时，球心到截面圆的距离时最大，此时截面圆的半径最小，此时截面圆的面积最小，而,所以，所以截面圆面积.故答案为：；专题8.2空间几何体的表面积和体积练基础练基础1．（2021·湖南高一期末）已知圆柱SKIPIF1<0及其展开图如图所示，则其体积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】结合展开图求出圆柱的底面半径与高，进而结合体积公式即可求出结果.【详解】设底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，根据展开图得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以圆柱的体积为SKIPIF1<0，故选：D.2.（2021·宁夏大学附属中学高一月考）已知圆柱的上、下底面的中心分别为SKIPIF1<0，过直线SKIPIF1<0的平面截该圆柱所得的面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根据圆柱的轴截面面积求出圆柱的底面半径和母线长，利用圆柱的表面积公式，即可求解.【详解】设圆柱的轴截面的边长为SKIPIF1<0，因为过直线SKIPIF1<0的平面截该圆柱所得的面是面积为8的正方形，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即圆柱的底面半径为SKIPIF1<0，母线长SKIPIF1<0，所以圆柱的表面积为SKIPIF1<0.故选：B.3．（2021·浙江高二期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．【详解】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为1的四棱锥体；如图所示：所以：SKIPIF1<0．故选：D．4．（2021·辽宁高一期末）已知一平面截一球得到直径为SKIPIF1<0的圆面，球心到这个面的距离是SKIPIF1<0，则该球的体积为（）SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由球的截面性质求得球半径后可得体积．【详解】由题意截面圆半径为SKIPIF1<0，所以球半径为SKIPIF1<0，体积为SKIPIF1<0．故选：B．5．（2020·浙江省高考真题）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．6【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：SKIPIF1<0.故选：A6.（2018·全国高考真题（文））已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，可得截面是边长为的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，所以其表面积为，故选B.7.（2020·江苏省高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半轻为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】SKIPIF1<0【解析】正六棱柱体积为SKIPIF1<0圆柱体积为SKIPIF1<0所求几何体体积为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<09.（2019·北京高考真题（文））某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40.【解析】如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱之后余下的几何体,几何体的体积.10．（2019·全国高考真题（理））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】共26个面.棱长为.【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，，，即该半正多面体棱长为．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1.（2021·浙江高一期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等腰梯形SKIPIF1<0和等腰梯形SKIPIF1<0的高分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由图可知，中间部分为棱柱，两侧为两个全等的四棱锥，再由柱体和锥体的体积公式可求得结果.【详解】按照图SKIPIF1<0中的分割方式，中间为直三棱柱，直三棱柱的底面为直角三角形，两条直角边长分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直三棱柱的高为SKIPIF1<0，所以，直三棱柱的体积为SKIPIF1<0.两侧为两个全等的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，直角梯形的面积为SKIPIF1<0，四棱锥的高为SKIPIF1<0，所以，两个四棱锥的体积之和为SKIPIF1<0，因此，该“羡除”的体积为SKIPIF1<0.故选：A.2.（2021·河北巨鹿中学高一月考）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠（近似看作球体）的表面上有四个点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0为正三棱锥，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，侧棱SKIPIF1<0，则该蹴鞠的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点易得SKIPIF1<0，再应用余弦定理、勾股定理求得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为直三棱锥，即可求外接球半径，进而求表面积.【详解】如下图，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为正三棱锥且侧棱SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为直三棱锥，易得外接球半径SKIPIF1<0，∴该蹴鞠的表面积为SKIPIF1<0.故选：A3．【多选题】（2021·江苏高一期末）已知圆台上、下底面的圆心分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圆台的母线与下地面所成角的正切值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，则（）A．圆台的母线长为SKIPIF1<0B．当圆锥的SKIPIF1<0圆锥SKIPIF1<0的体积相等时，SKIPIF1<0C．圆台的体积为SKIPIF1<0D．当圆台上、下底面的圆周都在同一球面上，该球的表面积为SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】转化求解圆台的母线长判断Q；利用比例关系判断B；求解体积判断C；取得球的表面积判断D．【详解】解：圆台上、下底面的圆心分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，半径为2，4，圆台的母线与下底面所成角的正切值为3，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，母线SKIPIF1<0，与圆台的母线长为6矛盾，所以A错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，B正确；SKIPIF1<0，C正确；设球心到上底面的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D正确；故选：BCD．4．（2020·全国高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中SKIPIF1<0，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，设内切圆半径为SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，其体积：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.5．（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该“阳马”的最长棱长等于______；外接球表面积等于______.【答案】3SKIPIF1<0【解析】如图，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为长方形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.最长棱为:3.该几何体可以通过补体得长方体,所以其外接球的半径为SKIPIF1<0.则其外接球的表面积为SKIPIF1<0，故答案为：3；SKIPIF1<0.6．（2020·山东省仿真联考3）在三棱锥中，平面，，，，是上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则________，三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】6【解析】设直线与平面所成的角为，三棱锥外接球的球心为，半径为，如图所示，则，所以，则的最小值为，的最小值是，即点到的距离为，所以．因为，所以，所以，所以，所以．取的外接圆的圆心为，则圆的半径．连接，作于点，则点为的中点，所以，故三棱锥的外接球的表面积．故答案为：6；.7.（广东省汕尾市2020-2021学年高一下学期期末数学试题）已知某圆柱的轴截面是一个正方形，且该圆柱表面积（底面和侧面面积之和）为SKIPIF1<0，其外接球的表面积为SKIPIF1<0，则该圆柱的表面积与其外接球的表面积的比值SKIPIF1<0________.【答案】SKIPIF1<0【解析】设圆柱的底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，上下底面圆圆心连线的中点即为该圆柱外接球的球心，可得外接球的半径SKIPIF1<0，再由圆柱的表面积公式和球的表面积公式分别计算SKIPIF1<0、SKIPIF1<0即可得比值.【详解】设圆柱的底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，因为圆柱的轴截面是一个正方形，所以SKIPIF1<0，所以圆柱表面积SKIPIF1<0，其外接球的球心在上下底面圆圆心连线的中点位置，可知球心到上底面圆的距离为SKIPIF1<0，由勾股定理可得：外接球的半径SKIPIF1<0，所以外接球的表面积SKIPIF1<0，所以该圆柱的表面积与其外接球的表面积的比值SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.8．（2021·重庆市杨家坪中学高一月考）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为在一正三棱柱中挖去一个圆柱后的剩余部分（圆柱的上下两底面圆与三棱柱的底面各边相切），圆柱底面直径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0.打印所用原料密度为SKIPIF1<0，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______SKIPIF1<0.（取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，精确到0.1）.【答案】SKIPIF1<0【解析】由正三棱柱的性质，结合已知求其底面面积，再由棱柱的体积公式求其体积SKIPIF1<0，并求圆柱的体积为SKIPIF1<0，则模型体积为SKIPIF1<0，即可求制作该模型所需原料的质量.【详解】由题意，正三棱柱底面(等边三角形)如上图有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故底面面积SKIPIF1<0，∴正三棱柱的体积SKIPIF1<0.而圆柱的体积为SKIPIF1<0，∴制作该模型所需原料的质量为SKIPIF1<0克.故答案为：SKIPIF1<09．（2021·上海高二期末）五月五是端午，门插艾，香满堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古称“角黍”，是我国南北各地的节令食品，因各地风俗不同，粽子的形状和食材也会不同，有一种各面都是正三角形的正四面体形粽子，若该正四面体粽子的棱长为8cm，则现有1立方米体积的食材，最多可以包成这种粽子_______个.【答案】16572【解析】根据题意，利用棱锥的体积公式求得正四面体粽子的体积，进而求得答案.【详解】如图所示，正四面体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，设底面正三角形SKIPIF1<0的中心为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以一个粽子的体积为：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0所以1立方米体积的食材，最多可以包成这种粽子SKIPIF1<0个.故答案为：SKIPIF1<0.10．（2021·浙江高二期末）在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若四面体SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0，则四面体SKIPIF1<0的体积的最大值为___________．【答案】SKIPIF1<0【解析】根据题意可以将此四面体放入一个长方体中，则易求四面体高与底面长的关系，再根据体积公式写出其体积表达式，最后利用基本不等式即可.【详解】如图所示，不妨将四面体SKIPIF1<0放入下图中的长方体中，则长方体的宽为SKIPIF1<0，设长方体的长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0.因为四面体SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0，所以此长方体外接球半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<