最新高考数学集合总复习-离散型随机变量及其分布列自主梳理

离散型随机变量及其分布列自主梳理1．(1)随机变量离散型随机变量(2)①≥②概率之和2．两点分布3.eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))自我检测1．B[除了白球外，其他的还有6个球，因此取到白球时取球次数最少为1次，最多为7次．]2．C[A、D的概率之和不等于1，B中P(3)＝－0.1<0，故均不正确，所以选C.]3．C[由分布列的性质知eq\f(1,2a)＋eq\f(2,2a)＋eq\f(3,2a)＝1，∴a＝3，∴P(X＝2)＝eq\f(2,2a)＝eq\f(1,3).]4．C[∵P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝P(ξ＝0)＋2P(ξ＝0)＝3P(ξ＝0)＝1，∴P(ξ＝0)＝eq\f(1,3).]5.ξ012Peq\f(1,10)eq\f(3,5)eq\f(3,10)解析∵P(ξ＝0)＝eq\f(1,C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)，∴ξ012Peq\f(1,10)eq\f(3,5)eq\f(3,10)课堂活动区例1解题导引求离散型随机变量的分布列步骤是：(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，…，)；(2)求出取各值xi的概率P(X＝xi)；(3)列表．求出分布列后要注意应用性质检验所求的结果是否准确．解X的可能取值为3,4,5,6，从而有：P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,1)·C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,1)·C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(1,1)·C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2).故X的分布列为X3456Peq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(3,10)eq\f(1,2)变式迁移1解依题意可知，杯子中球的最大数ξ的所有可能值为1,2,3，当ξ＝1时，对应于4个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；当ξ＝2时，对应于4个杯子中恰有一个杯子放两球的情形；当ξ＝3时，对应于4个杯子恰有一个杯子放三个球的情形．从而有P(ξ＝1)＝eq\f(A\o\al(3,4),43)＝eq\f(3,8)；P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)·C\o\al(1,4)·C\o\al(1,3),43)＝eq\f(9,16)；P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,4),43)＝eq\f(1,16).∴ξ的分布列为ξ123Peq\f(3,8)eq\f(9,16)eq\f(1,16)例2解题导引对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．解依题意，随机变量X服从超几何分布，所以P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,6)C\o\al(4－k,4),C\o\al(4,10))(k＝0,1,2,3,4)．∴P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,6)C\o\al(4,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,210)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(3,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(4,35)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(3,7)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(1,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(8,21)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(0,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,14)，∴X的分布列为X01234Peq\f(1,210)eq\f(4,35)eq\f(3,7)eq\f(8,21)eq\f(1,14)变式迁移2解(1)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选的3人中女生随机变量X＝0,1,2，其概率P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,2)C\o\al(3－k,4),C\o\al(3,6))，k＝0,1,2，故X的分布列为：X012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)(2)由(1)可得“所选3人中女生人数X≤1〞的概率为P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)＝eq\f(4,5).例3解题导引(1)是古典概型；(2)关键是确定X的所有可能取值；(3)计分介于20分到40分之间的概率等于X＝3与X＝4的概率之和．解(1)方法一记“一次取出的3个小球上的数字互不相同〞为事件A，那么P(A)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(2,3).方法二记“一次取出的3个小球上的数字互不相同〞为事件A，记“一次取出的3个小球上有两个数字相同〞为事件B，那么事件A和事件B是对立事件．因为P(B)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,3)，所以P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).(2)随机变量X的可能取值为2,3,4,5，取相应值的概率分别为P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(2,15)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,6),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(8,15).∴随机变量X的分布列为X2345Peq\f(1,30)eq\f(2,15)eq\f(3,10)eq\f(8,15)(3)由于按3个小球上最大数字的9倍计分，所以当计分介于20分～40分时，X的取值为3或4，所以所求概率为P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(2,15)＋eq\f(3,10)＝eq\f(13,30).变式迁移3解(1)得分X的所有可能值为5,6,7,8.P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝7)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝8)＝eq\f(C\o\al(4,4)C\o\al(0,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35).∴X的分布列为X5678Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)(2)得分大于6的概率为：P(X＝7)＋P(X＝8)＝eq\f(12,35)＋eq\f(1,35)＝eq\f(13,35).课后练习区1．D[由分布列的性质，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2q≥0，,q2≥0，,\f(1,2)＋1－2q＋q2＝1，))解得q＝1－eq\f(\r(2),2).或由1－2q≥0⇒q≤eq\f(1,2)，可排除A、B、C.]2．C[X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.]3．B[∵eq\f(a,2)＋eq\f(a,4)＋eq\f(a,8)＋eq\f(a,16)＝1，∴a＝eq\f(16,15).∴P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝eq\f(\f(16,15),8)＋eq\f(\f(16,15),16)＝eq\f(2,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(1,5).]4．C[P(ξ＝10)＝1－eq\f(\f(2,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,39))),1－\f(1,3))＝eq\f(1,39).]5．C[X服从超几何分布P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,7)C\o\al(10－k,8),C\o\al(10,15))，故k＝4.]6．0.88解析环数X≥7的概率是：0．09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.7.eq\f(3,64)解析P(ξ＝3)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,64).8.eq\f(4,5)解析方法一由，ξ的取值为7,8,9,10，∵P(ξ＝7)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝8)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,1)＋C\o\al(2,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝9)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),C\o\al(3,5))＝eq\f(2,5)，P(ξ＝10)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,1),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，∴ξ的概率分布列为ξ78910Peq\f(1,5)eq\f(3,10)eq\f(2,5)eq\f(1,10)∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝eq\f(3,10)＋eq\f(2,5)＋eq\f(1,10)＝eq\f(4,5).方法二P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(4,5).9．解由于η1＝eq\f(1,2)ξ对于不同的ξ有不同的取值η1，所以η1的分布列为η1－1－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)(6分)η2＝ξ2对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2值的概率eq\f(1,12)与eq\f(2,12)合并的结果，η2取1这个值的概率为ξ取－1与1的概率eq\f(3,12)与eq\f(1,12)合并的结果，故η2的分布列为η20149Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)(12分)10．解(1)由离散型随机变量的性质，得a·1＋a·2＋a·3＋a·4＋a·5＝1，解得a＝eq\f(1,15).(2)由(1)，得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(k,5)))＝eq\f(1,15)k，k＝1,2,3,4,5.方法一Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ≥\f(3,5)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(3,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(4,5)))＋P(ξ＝1)＝eq\f(3,15)＋eq\f(4,15)＋eq\f(5,15)＝eq\f(4,5).(7分)方法二Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ≥\f(3,5)))＝1－Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ<\f(3,5)))＝1－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(1,5)))＋P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(2,5)))))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,15)＋\f(2,15)))＝eq\f(4,5).(7分)(3)∵eq\f(1,10)<ξ<eq\f(7,10)，∴ξ＝eq\f(1,5)，eq\f(2,5)，eq\f(3,5)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<ξ<\f(7,10)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(1,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(2,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(3,5)))＝eq\f(1,15)＋eq\f(2,15)＋eq\f(3,15)＝eq\f(2,5).(12分)11．解(1)ξ的可能取值为0,