(新高考)高考数学一轮复习讲练测专题7.2《等差数列及其前n项和》(解析版)

专题7.2等差数列及其前n项和新课程考试要求1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；2.了解等差数列与一次函数.3.掌握等差数列前n项和公式及其应用；4.会用数列的等差关系解决实际问题.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等.考向预测1.利用方程思想进行基本量的计算.2.等差、等比数列的综合问题.3.复习中注意:(1)方程思想在数列计算中的应用;(2)等差数列的通项公式、前n项和公式的综合应用.【知识清单】知识点一．等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中.，，成等差数列.4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．知识点二．等差数列的前n项和等差数列的前和的求和公式：.知识点三．等差数列的相关性质1.等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即SKIPIF1<0成等差数列.（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．（7）若数列是等差数列,则仍为等差数列．2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①；②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.3.,则,.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若与为等差数列，且前项和分别为与，则.6．等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值．【考点分类剖析】考点一：等差数列的基本运算【典例1】（2020·全国高考真题（文））记SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前n项和．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0等差数列的公差SKIPIF1<0根据等差数列通项公式：SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0整理可得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0根据等差数列前SKIPIF1<0项和公式：SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2019·江苏高考真题）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.【答案】16.【解析】由题意可得：，解得：，则.【典例3】（2021·上海民办南模中学高三三模）已知等差数列SKIPIF1<0的各项均为正整数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是___________.【答案】5【解析】若等差数列SKIPIF1<0的各项均为正整数，则数列SKIPIF1<0单增，公差SKIPIF1<0，从而表示出SKIPIF1<0，根据其单减性，求得最小值.【详解】若等差数列SKIPIF1<0的各项均为正整数，则数列SKIPIF1<0单增，则公差SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为正整数，SKIPIF1<0关于d单减，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不符；故SKIPIF1<0的最小值为5，故答案为：5【规律方法】1．活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．2.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为.这对已知和,求数列各项,运算很方便.3.等差数列的前n项和公式若已知首项和末项，则，或等差数列{an}的首项是，公差是，则其前项和公式为.【变式探究】1..数列an是等差数列，a1=1，aA．16B．-16C．32D．31【答案】D【解析】因为a4=8，所以又因为a1=1，所以可得a5=a1+4d=2.（2021·全国高二课时练习）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4+a7+a10=9，S14-S3=77，则使Sn取得最小值时n的值为____.【答案】5【解析】设等差数列{an}的公差为d，根据a4+a7+a10=9，S14-S3=77，求得SKIPIF1<0即可.【详解】设等差数列{an}的公差为d，因为a4+a7+a10=9，S14-S3=77，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，Sn取得最小值，故答案为：53.（2018·北京高考真题（理））设an是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则a【答案】a【解析】∵考点二：等差数列的判定与证明【典例4】（2021·全国高考真题（理））已知数列SKIPIF1<0的各项均为正数，记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列SKIPIF1<0是等差数列：②数列SKIPIF1<0是等差数列；③SKIPIF1<0．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】答案见解析【解析】选①②作条件证明③时，可设出SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0的关系求出SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0是等差数列可证SKIPIF1<0；选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出SKIPIF1<0，结合等差数列定义可证；选②③作条件证明①时，设出SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0的关系求出SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0可求SKIPIF1<0，然后可证SKIPIF1<0是等差数列.【详解】选①②作条件证明③：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0也是等差数列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.选①③作条件证明②：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差数列，所以公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等差数列.选②③作条件证明①：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足等差数列的定义，此时SKIPIF1<0为等差数列；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不合题意，舍去.综上可知SKIPIF1<0为等差数列.【典例5】（2019·浙江高考模拟）设Sn为数列an的前n项和，且S2＝8，．（I）求a1，a2并证明数列{}为等差数列；（II）若不等式对任意正整数n恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I），，见证明（II）【解析】（I），，得.，则，两式相减得，即①②②①得，即，故数列为等差数列.（II）由（I）可得，由得对任意正整数恒成立，，令，，，.【规律方法】1.等差数列的四种判断方法(1)定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；(2)等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;(3)通项公式：(为常数,)⇔是等差数列;(4)前项和公式：(为常数,)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔是等差数列.2.提醒：（1）判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.（2）若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用验证即可．（3）形如an＋1＝eq\f(kan,man＋k)的数列可转化为等差数列求解：可用列举观察法求解；也可用变形构造法（倒数差）求解（）见【变式探究】2）.【变式探究】1.（2020·全国高三其他（理））数列中，，，则（）A．2019 B．2020 C．4039 D．4040【答案】B【解析】分析：根据题中所给的条件，类比着写出，两式相减可得，从而可得数列隔项成等差数列，即其偶数项成等差数列，利用题中条件求得，利用通项公式求得，得到结果.详解：∵①，∴②，②①得，∴数列的偶数项是以为首项，2为公差的等差数列.∴.故选：B.2．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数)，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________；设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前17项和为___________.【答案】SKIPIF1<017【解析】化简函数解析式得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，再首尾相加求和即可得解.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为等差数列，故SKIPIF1<0.由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0.又易得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的前17项和为SKIPIF1<0.故答案为：①SKIPIF1<0；②17考点三等差数列的性质及应用【典例6】（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知数列SKIPIF1<0是等差数列，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．5 B．4 C．9 D．7【答案】A【解析】本题可设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，然后根据SKIPIF1<0、SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，最后通过SKIPIF1<0即可得出结果.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：A.【典例7】（2021·北京高考真题）SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是两个等差数列，其中SKIPIF1<0为常值，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由已知条件求出SKIPIF1<0的值，利用等差中项的性质可求得SKIPIF1<0的值.【详解】由已知条件可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选：B.【温馨提醒】等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前n项和公式求解．【变式探究】1．(2019·武汉调研)在等差数列{an}中，前n项和Sn满足S7－S2＝45，则a5＝()A．7 B．9C．14 D．18【答案】B【解析】解法一因为在等差数列{an}中，S7－S2＝45，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝45，所以a5＝9，故选B.解法二设等差数列{an}的公差为d，因为在等差数列{an}中，S7－S2＝45，所以，整理得a1＋4d＝9，所以a5＝9，故选B.2.（2021·全国高二课时练习）设数列{an}是等差数列，且a2=-6，a8=6，Sn是数列{an}的前n项和，则（）A．S4<S5 B．S4=S5 C．S6<S5 D．S6=S5【答案】B【解析】(方法一)利用首项和公差求解；(方法二)利用等差数列的性质求解.【详解】(方法一)设该等差数列的首项为a1，公差为d，则有SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0从而有S4=-20，S5=-20，S6=-18.从而有S4=S5.(方法二)由等差数列的性质知a5+a5=a2+a8=-6+6=0，所以a5=0，从而有S4=S5.故选：B考点四等差数列的前n项和公式的综合应用 【典例8】【多选题】（2021·全国高三其他模拟）等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和中SKIPIF1<0最小C．SKIPIF1<0的最小值为-49D．SKIPIF1<0的最大值为0【答案】BC【解析】由已知条件先计算出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，然后计算SKIPIF1<0的值对A进行判断；求出SKIPIF1<0的表达式，计算出最小值即可对B进行判断；求出SKIPIF1<0的表达式，运用导数求出最小值判断C选项；求出SKIPIF1<0的表达式对D进行判断.【详解】设数列SKIPIF1<0的公差为d，则SKIPIF1<0

解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A错误；

SKIPIF1<0，当n=5时取得最小值，故B正确；

SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0，

则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，

当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

所以最小值为-49，C正确；SKIPIF1<0，没有最大值，D错误．故选：BC【典例9】（2019·北京高考模拟（文））等差数列满足，则a5=______；若，则n=______时，{an}的前n项和取得最大值．【答案】46【解析】等差数列满足，所以，即，，所以，所以．令，解得，所以的前6项和取得最大值．故填：4，6．【典例10】（2021·全国高考真题）记SKIPIF1<0是公差不为0的等差数列SKIPIF1<0的前n项和，若SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；（2）求使SKIPIF1<0成立的n的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)7.【解析】(1)由题意首先求得SKIPIF1<0的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，设等差数列的公差为SKIPIF1<0，从而有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而：SKIPIF1<0，由于公差不为零，故：SKIPIF1<0，数列的通项公式为：SKIPIF1<0.(2)由数列的通项公式可得：SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为正整数，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.【规律方法】1.要注意等差数列前n项和公式的灵活应用，如等．2．求等差数列前项和的最值，常用的方法：（1）利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值.（2）利用等差数列的前n项和：(为常数,)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；3.利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.【变式探究】1.（2020·浙江湖州�高一期末）设公差为d的等差数列的前n项和为，若，，则________，取最小值时，________．【答案】34【解析】因为是等差数列，所以，解得，所以，因为的图象开口向上，对称轴为，由，所以当时，取最小值.故答案为:;.2.（2019·浙江高三期末）记等差数列的前n项和为，若，，则______；当取得最大值时，______．【答案】01009或1008【解析】，，，，，，，，，故当取得最大值时，或，故答案为：0，1009或1008．3.（2021·湖北省直辖县级行政单位·高三其他模拟）已知等差数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0最大.则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】首先根据题意求出SKIPIF1<0，再根据等差数列的前n项即可求解.【详解】解：由题意可知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍)，故SKIPIF1<0故答案为：20.考点五等差数列与传统文化【典例11】（2020·全国高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.故选：C【典例12】（2021·重庆高三三模）我国古代著名的数学专著《九章算术》有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，行程一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日减半里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，则二马（）日后相逢．A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【解析】根据题意通过已知条件转化为两个等差数列的前n项和为定值问题，进而计算可得结论．【详解】由题可知，良马每日行程SKIPIF1<0构成一个首项为103，公差SKIPIF1<0的等差数列，驽马每日行程SKIPIF1<0构成一个首项为97，公差为SKIPIF1<0的等差数列，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0与数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，又数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以大12日相逢．故选:C．【变式探究】1．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题（如7被3除余1：1被2除余1）.现有这样一个整除问题：将1到100这100个正整数中能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0各项的和为（）A．736 B．816 C．833 D．29800【答案】C【解析】根据给定信息确定出这个数列的通项公式，再由最大数不超过100，确定出项数即可作答.【详解】被2除余1且被3除余1的整数即被6除余1，这些整数由小到大依次排成一列构成的数列SKIPIF1<0通项为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是得符合条件的数列SKIPIF1<0有17项，这17项和为SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0各项的和为833.故选：C2.（2020·浙江平阳�高三其他）我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，九节总容量是______.【答案】【解析】设由下到上九节容量分别记为，则成等差数列，设公差为，且，，即，，所以，，故故答案为：；.专题7.2等差数列及其前n项和练基础练基础1．（2021·全国高三其他模拟（文））在等差数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，则公差SKIPIF1<0（）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】B【解析】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，根据等差数列通项公式计算可得；【详解】解：设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故选：B2．（2020·湖北武汉�高三其他（文））设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则公差SKIPIF1<0等于（）A．0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：B.3.（2020·全国高三其他（理））已知SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.4．（2019·浙江高三会考）等差数列ann∈N∗的公差为d，前n项和为Sn，若A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】根据题意，等差数列an中，S3=S9，则S9−S3=a4+a55．（2021·全国高三其他模拟（文））我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲､乙､丙､丁､戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（）A．30.8贯 B．39.2贯 C．47.6贯 D．64.4贯【答案】A【解析】由题意知甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数组成等差数列，由等差数列项的性质列方程组即可求出所要的结果.【详解】解：依次记甲､乙､丙､丁､戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，由数列{an}为等差数列，可记公差为d，依题意得：SKIPIF1<0，解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，即戊所得钱数为30.8贯.故选：A.6．（2020·全国高三课时练习（理））设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则，，…，中最大的项为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵等差数列前n项和SKIPIF1<0，由S15>0，S16<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若视为函数则对称轴在SKIPIF1<0之间，∵SKIPIF1<0，∴Sn最大值是SKIPIF1<0，分析SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0为正值时有最大值，故为前8项，又d＜0，SKIPIF1<0递减，前8项中SKIPIF1<0递增，∴前8项中SKIPIF1<0最大SKIPIF1<0最小时SKIPIF1<0有最大值，∴SKIPIF1<0最大．7．（2019·全国高考真题（文））记为等差数列的前项和，若，则___________.【答案】100【解析】得8.（2019·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.【答案】4.【解析】因，所以，即，所以．9.（2021·河南高三其他模拟（文））设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，则S8=___________.【答案】64【解析】设{an}的公差为d.根据已知条件列出方程组，计算求解即可.【详解】设{an}的公差为d.因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：64.10.（2018·全国高考真题（理））记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知（1）求{a（2）求Sn，并求S【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·上海市大同中学高三三模）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则“数列SKIPIF1<0为无穷数列”是“数列SKIPIF1<0单调”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由已知可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，若存在正整数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，此时数列SKIPIF1<0为有穷数列；若SKIPIF1<0恒不为0，由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论．【详解】解：令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为等差数列，首项为SKIPIF1<0，公差为1，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是单调递增的等差数列，若存在正整数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则有SKIPIF1<0，此时数列SKIPIF1<0为有穷数列；若SKIPIF1<0恒不为0，由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时SKIPIF1<0为无穷数列.（1）若SKIPIF1<0恒不为0，则SKIPIF1<0为无穷数列，由递推关系式有SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时数列SKIPIF1<0不是单调数列；（2）当数列SKIPIF1<0为有穷数列时，存在正整数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，此时数列SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0单调，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0全为正或全为负，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0全为正，而SKIPIF1<0，这与SKIPIF1<0单调递增矛盾，所以当数列SKIPIF1<0为有穷数列时，数列不可能单调，所以当数列SKIPIF1<0单调时，数列SKIPIF1<0一定有无穷多项．故选：B.2．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理））习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列SKIPIF1<0（单位万元，SKIPIF1<0），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金SKIPIF1<0的SKIPIF1<0倍，已知SKIPIF1<0．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（）A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元【答案】C【解析】本题可设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，然后根据题意得出五年累计总投入资金为SKIPIF1<0，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由题意可知，五年累计总投入资金为：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.3．（2021·四川遂宁市·高三其他模拟（理））定义函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.记集合SKIPIF1<0中元素的个数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】先根据条件分析出当SKIPIF1<0时，集合SKIPIF1<0中的元素个数为SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，再结合裂项相消法进行求和可得结果.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在各个区间中的元素个数分别为：SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0中元素个数为：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D.4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为其前n项和，则SKIPIF1<0的最小值为___________.【答案】8【解析】利用SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的值，然后利用等差数列求和公式求得SKIPIF1<0，利用函数图象得SKIPIF1<0的最小值可能为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，分别求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出最小值.【详解】由于SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,作函数SKIPIF1<0的图象，故SKIPIF1<0的最小值可能为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：8.5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列SKIPIF1<0…，其中在第SKIPIF1<0个1与第SKIPIF1<0个1之间插入SKIPIF1<0个SKIPIF1<0若该数列的前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0___________.【答案】3【解析】当SKIPIF1<0时，若有n个1，由题知，数列共有SKIPIF1<0项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，所以前SKIPIF1<0项中含63个1，其余均为x，从而根据前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0求得x.【详解】当SKIPIF1<0时，若有n个1，由题知，数列共有SKIPIF1<0项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则在第63个1后面跟第2个x就是第2018项，所以前SKIPIF1<0项中含63个1，其余均为x，故该数列的前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：36．（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）已知正项等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，两式相减可得SKIPIF1<0，从而可求出SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，进而可出数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，从而可求出SKIPIF1<0【详解】解：（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0相减得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0舍去)由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，进而求得数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）由（1）得到SKIPIF1<0，利用累加法，求得SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0，利用裂项法求和，即可求解.【详解】（1）由题意，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，符合上式，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足上式，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.8．（2021·全国高三其他模拟（理））已知各项均为正数的数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）证明：数列SKIPIF1<0是等差数列；（2）数列SKIPIF1<0的前项SKIPIF1<0和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）将已知递推关系移项配方整理可得SKIPIF1<0，进而利用等差中项法证明数列SKIPIF1<0是等差数列；（2）利用裂项求和法求和化简后即得证.【详解】解：（1）由SKIPIF1<0结合数列各项均为正数得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是等差数列；（2）SKIPIF1<0，则公差SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.9．（2021·山东泰安市·高三其他模拟）设各项均为正的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的值，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系推导出数列SKIPIF1<0为等差数列，确定该数列的首项与公差，可求得SKIPIF1<0的通项公式；（2）计算出SKIPIF1<0，然后利用等差数列的求和公式可求得SKIPIF1<0.【详解】（1）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由数列SKIPIF1<0的各项为正，可得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列．即数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.10．（2019·浙江高三期末）在数列、中，设是数列的前项和，已知，，，.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若时，恒成立，求整数的最小值.【答案】（1），（2）整数的最小值是11.【解析】（Ⅰ）因为，即，所以是等差数列，又，所以，从而.（Ⅱ）因为，所以，当时，①②①-②可得，，即，而也满足，故.令，则，即，因为，，依据指数增长性质，整数的最小值是11.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1.（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列SKIPIF1<0就是二阶等差数列，数列SKIPIF1<0SKIPIF1<0的前3项和是________．【答案】SKIPIF1<