(新高考)高考数学一轮复习考点练习04《不等式及性质》（解析版）

考点04不等式及性质【命题解读】不等式的性质是新高考常考查的知识点，主要常见于单选题或者多选题中出现。考查不等式的比较大小，常用的方法一是运用不等式的性质进行判断，二是运用特殊化进行排除。【基础知识回顾】1、两个实数比较大小的依据(1)a－b＞0⇔a＞b.(2)a－b＝0⇔a＝b.(3)a－b＜0⇔a＜b.2、不等式的性质(1)对称性：a>b⇔b<a；(2)传递性：a>b，b>c⇒aeq\a\vs4\al(>)c；(3)可加性：a>b⇔a＋ceq\a\vs4\al(>)b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc;a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；c<0时应变号．(5)可乘方性：a>b>0⇒aneq\a\vs4\al(>)bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方性：a>b>0⇒eq\r(n,a)eq\a\vs4\al(>)eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．3、常见的结论(1)a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).4、两个重要不等式若a>b>0，m>0，则(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．1、下列四个命题中，为真命题的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>b，c>d，则a－c>b－dC．若a>|b|，则a2>b2D．若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)【答案】C【解析】当c＝0时，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝－1时，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，故选C．2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）（多选题）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列不等式中恒成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【解析】当SKIPIF1<0，满足条件．但SKIPIF1<0不成立，故A错误，

当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故B错误，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故C正确，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故D正确.

故选：CD．3、（2020江苏盐城中学月考）（多选题）下列命题为真命题的是（）.A．若，则B．若，，则C．若，且，则D．若，且，则【答案】BCD【解析】选项A：当取，时，，∴本命题是假命题.选项B：已知，，所以，∴，故，∴本命题是真命题.选项C：，∵，∴，∴本命题是真命题.选项D：，∵，∴，∴，∴本命题是真命题.故选：BCD4、若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，则a____b(填“＞”或“＜”)．【答案】＜【解析】：易知a，b都是正数，eq\f(b,a)＝eq\f(2ln3,3ln2)＝log89＞1，所以b＞a.5、已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．【答案】：(－4,2)(1,18)【解析】∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.考向一不等式的性质例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知SKIPIF1<0均为实数，则下列命题正确的是（）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0则SKIPIF1<0【答案】BC【解析】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A错；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，故B对；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故C对；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故D错；故选：BC．变式1、若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，给出下列不等式：①eq\f(1,a＋b)＜eq\f(1,ab)；②|a|＋b＞0；③a－eq\f(1,a)＞b－eq\f(1,b)；④lna2＞lnb2.其中正确的不等式是()A.①④ B.②③ C.①③ D.②④【答案】C【解析】方法一因为eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.方法二由eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以eq\f(1,a＋b)＜0，eq\f(1,ab)＞0.故有eq\f(1,a＋b)＜eq\f(1,ab)，即①正确；②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，又eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，则－eq\f(1,a)＞－eq\f(1,b)＞0，所以a－eq\f(1,a)＞b－eq\f(1,b)，故③正确；④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2＞lna2，故④错误.由以上分析，知①③正确.变式2、已知x，y∈R，且x>y>0，则()A．eq\f(1,x)－eq\f(1,y)>0B．sinx－siny>0C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y<0D．lnx＋lny>0【答案】C【解析】函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y<0，故C正确；函数y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上为减函数，∴由x>y>0⇒eq\f(1,x)<eq\f(1,y)⇒eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0，故A错误；函数y＝sinx在(0，＋∞)上不单调，当x>y>0时，不能比较sinx与siny的大小，故B错误；x>y>0xy>1ln(xy)>0lnx＋lny>0，故D错误．变式3、（2020·邵东创新实验学校高三月考）下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，则a2＞b2 B．若ab＝4，则a＋b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b＞0，m＞0，则【答案】AD【解析】对于A，若，根据不等式的性质则，故A正确；对于B，当，时，，显然B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，，因为，，所以，，所以所以，即成立，故D正确．故选AD．方法总结：判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.考向二不等式的比较大小例2、设a>b>0，试比较eq\f(a2－b2,a2＋b2)与eq\f(a－b,a＋b)的大小．解法一(作差法)：eq\f(a2－b2,a2＋b2)－eq\f(a－b,a＋b)＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，2ab>0．所以SKIPIF1<0>0，所以eq\f(a2－b2,a2＋b2)>eq\f(a－b,a＋b)．解法二(作商法)：因为a>b>0，所以eq\f(a2－b2,a2＋b2)>0，eq\f(a－b,a＋b)>0．所以eq\f(\f(a2－b2,a2＋b2),\f(a－b,a＋b))＝SKIPIF1<0＝eq\f(a2＋b2＋2ab,a2＋b2)＝1＋eq\f(2ab,a2＋b2)>1．所以eq\f(a2－b2,a2＋b2)>eq\f(a－b,a＋b)．变式1、若a<0，b<0，则p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为()A．p<q B．p≤qC．p>q D．p≥q【答案】：B【解析】(作差法)p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝eq\f(b2－a2b－a,ab)＝eq\f(b－a2b＋a,ab)，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B.变式2、已知a>b>0，比较aabb与abba的大小．【解析】∵eq\f(aabb,abba)＝eq\f(aa－b,ba－b)＝SKIPIF1<0，又a>b>0，故eq\f(a,b)>1，a－b>0，∴SKIPIF1<0>1，即eq\f(aabb,abba)>1，又abba>0，∴aabb>abba，∴aabb与abba的大小关系为aabb>abba.变式3、设0<x<1，a>0且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小解法一：当a>1时，由0<x<1知，loga(1－x)<0，loga(1＋x)>0，∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)，∵0<1－x2<1，∴loga(1－x2)<0，从而－loga(1－x2)>0，故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|．当0<a<1时，同样可得|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|．解法二(平方作差)：|loga(1－x)|2－|loga(1＋x)|2＝[loga(1－x)]2－[loga(1＋x)]2＝loga(1－x2)·logaeq\f(1－x,1＋x)＝loga(1－x2)·logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2x,1＋x)))>0．∴|loga(1－x)|2>|loga(1＋x)|2，故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|．方法总结：比较大小的方法(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小考向三运用不等式求代数式的取值范围例3、设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.【答案】[5，10]【解析】方法一设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.变式1、设SKIPIF1<0那么SKIPIF1<0的取值范围是____________．【答案】SKIPIF1<0【解析】：由题设得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0变式2、(2020·天津模拟)若α，β满足－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则2α－β的取值范围是()A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<πC．－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2) D．0<2α－β<π【答案】C【解析】：∵－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，∴－π<2α<π.∵－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(3π,2).又α－β<0，α<eq\f(π,2)，∴2α－β<eq\f(π,2).故－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2).方法总结：求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围1、（2019年高考全国II卷理数）若a>b，则A．ln(a−b)>0 B．3a<3bC．a3−b3>0 D．│a│>│b│【答案】C【解析】取SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知A错，排除A；因为SKIPIF1<0，知B错，排除B；取SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知D错，排除D，因为幂函数SKIPIF1<0是增函数，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选C．2、（2016•新课标Ⅰ，理8）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0错误，∵函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故SKIPIF1<0错误；∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0错误；SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确；故选SKIPIF1<0．3、（2014山东）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则一定有（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由不等式性质知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选D．4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）若SKIPIF1<0，则下列不等式中正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】对A，由指数函数的单调性可知，当SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，故A正确；对B，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不成立，故B错误；对C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不成立，故C错误；对D，SKIPIF1<0成立，从而有SKIPIF1<0成立，故D正确；故选：AD.5、已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是【答案】SKIPIF1<0