2023年全国二卷数学试卷(理科)(全国新课标ⅱ)

第50页〔共50页〕2023年重庆市高考数学试卷〔理科〕〔全国新课标Ⅱ〕一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1．〔5分〕=〔〕A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．〔5分〕设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．假设A∩B={1}，那么B=〔〕A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}3．〔5分〕我国古代数学名著?算法统宗?中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？〞意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，那么塔的顶层共有灯〔〕A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏4．〔5分〕如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一局部后所得，那么该几何体的体积为〔〕A．90π B．63π C．42π D．36π5．〔5分〕设x，y满足约束条件，那么z=2x+y的最小值是〔〕A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．96．〔5分〕安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式共有〔〕A．12种 B．18种 C．24种 D．36种7．〔5分〕甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，那么〔〕A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩8．〔5分〕执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，那么输出的S=〔〕A．2 B．3 C．4 D．59．〔5分〕假设双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线被圆〔x﹣2〕2+y2=4所截得的弦长为2，那么C的离心率为〔〕A．2 B． C． D．10．〔5分〕直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，那么异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为〔〕A． B． C． D．11．〔5分〕假设x=﹣2是函数f〔x〕=〔x2+ax﹣1〕ex﹣1的极值点，那么f〔x〕的极小值为〔〕A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．112．〔5分〕△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，那么•〔+〕的最小值是〔〕A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。13．〔5分〕一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，那么DX=．14．〔5分〕函数f〔x〕=sin2x+cosx﹣〔x∈[0，]〕的最大值是．15．〔5分〕等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，那么=．16．〔5分〕F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．假设M为FN的中点，那么|FN|=．三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．〔一〕必考题：共60分。17．〔12分〕△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin〔A+C〕=8sin2．〔1〕求cosB；〔2〕假设a+c=6，△ABC的面积为2，求b．18．〔12分〕海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量比照，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量〔单位：kg〕，其频率分布直方图如图：〔1〕设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg〞，估计A的概率；〔2〕填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法〔3〕根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值〔精确到0.01〕．附：P〔K2≥k〕0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2=．19．〔12分〕如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．〔1〕证明：直线CE∥平面PAB；〔2〕点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．20．〔12分〕设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．〔1〕求点P的轨迹方程；〔2〕设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．21．〔12分〕函数f〔x〕=ax2﹣ax﹣xlnx，且f〔x〕≥0．〔1〕求a；〔2〕证明：f〔x〕存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f〔x0〕＜2﹣2．〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]〔10分〕22．〔10分〕在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．〔1〕M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；〔2〕设点A的极坐标为〔2，〕，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]〔10分〕23．a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：〔1〕〔a+b〕〔a5+b5〕≥4；〔2〕a+b≤2．2023年重庆市高考数学试卷〔理科〕〔全国新课标Ⅱ〕参考答案与试题解析一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1．〔5分〕=〔〕A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．【解答】解：===2﹣i，应选D．【点评】此题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．2．〔5分〕设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．假设A∩B={1}，那么B=〔〕A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．假设A∩B={1}，那么1∈A且1∈B，可得1﹣4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．应选：C．【点评】此题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于根底题．3．〔5分〕我国古代数学名著?算法统宗?中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？〞意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，那么塔的顶层共有灯〔〕A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，那么这个塔顶层有3盏灯，应选B．【点评】此题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于根底题．4．〔5分〕如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一局部后所得，那么该几何体的体积为〔〕A．90π B．63π C．42π D．36π【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，应选：B．【点评】此题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．〔5分〕设x，y满足约束条件，那么z=2x+y的最小值是〔〕A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A〔﹣6，﹣3〕，那么z=2x+y的最小值是：﹣15．应选：A．【点评】此题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．6．〔5分〕安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，那么不同的安排方式共有〔〕A．12种 B．18种 C．24种 D．36种【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可．【解答】解：4项工作分成3组，可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6×=36种．应选：D．【点评】此题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力．7．〔5分〕甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，那么〔〕A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，〔假设为两优，甲会知道自己的成绩；假设是两良，甲也会知道自己的成绩〕→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，那么甲是良，假定乙丙都是良，那么甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，那么乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，那么甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，那么丁是良，丁肯定知道自已的成绩了应选：D．【点评】此题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．8．〔5分〕执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，那么输出的S=〔〕A．2 B．3 C．4 D．5【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K值，当K=7时，程序终止即可得到结论．【解答】解：执行程序框图，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循环，第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2；满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3；满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4；满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5；满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6；满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7；K≤6不成立，退出循环输出S的值为3．应选：B．【点评】此题主要考查了程序框图和算法，属于根本知识的考查，比拟根底．9．〔5分〕假设双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线被圆〔x﹣2〕2+y2=4所截得的弦长为2，那么C的离心率为〔〕A．2 B． C． D．【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆〔x﹣2〕2+y2=4的圆心〔2，0〕，半径为：2，双曲线C：﹣=1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线被圆〔x﹣2〕2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：=，解得：，可得e2=4，即e=2．应选：A．【点评】此题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．10．〔5分〕直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，那么异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为〔〕A． B． C． D．【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解法二】通过补形的方法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．【解答】解：【解法一】如下图，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，那么AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角〔因异面直线所成角为〔0，]〕，可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，那么△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×〔﹣〕=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是〔0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如下图，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．【点评】此题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．11．〔5分〕假设x=﹣2是函数f〔x〕=〔x2+ax﹣1〕ex﹣1的极值点，那么f〔x〕的极小值为〔〕A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．【解答】解：函数f〔x〕=〔x2+ax﹣1〕ex﹣1，可得f′〔x〕=〔2x+a〕ex﹣1+〔x2+ax﹣1〕ex﹣1，x=﹣2是函数f〔x〕=〔x2+ax﹣1〕ex﹣1的极值点，可得：﹣4+a+〔3﹣2a〕=0．解得a=﹣1．可得f′〔x〕=〔2x﹣1〕ex﹣1+〔x2﹣x﹣1〕ex﹣1，=〔x2+x﹣2〕ex﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，当x＜﹣2或x＞1时，f′〔x〕＞0函数是增函数，x∈〔﹣2，1〕时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值：f〔1〕=〔12﹣1﹣1〕e1﹣1=﹣1．应选：A．【点评】此题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．12．〔5分〕△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，那么•〔+〕的最小值是〔〕A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【解答】解：建立如下图的坐标系，以BC中点为坐标原点，那么A〔0，〕，B〔﹣1，0〕，C〔1，0〕，设P〔x，y〕，那么=〔﹣x，﹣y〕，=〔﹣1﹣x，﹣y〕，=〔1﹣x，﹣y〕，那么•〔+〕=2x2﹣2y+2y2=2[x2+〔y﹣〕2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×〔﹣〕=﹣，应选：B【点评】此题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决此题的关键．二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。13．〔5分〕一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，那么DX=1.96．【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，那么DX=npq=np〔1﹣p〕=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．【点评】此题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键．14．〔5分〕函数f〔x〕=sin2x+cosx﹣〔x∈[0，]〕的最大值是1．【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．【解答】解：f〔x〕=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，那么y=﹣t2+t+=﹣〔t﹣〕2+1，当t=时，f〔t〕max=1，即f〔x〕的最大值为1，故答案为：1【点评】此题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于根底题15．〔5分〕等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，那么=．【分析】利用条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，S4=2〔a2+a3〕=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，Sn=，=，那么=2[1﹣++…+]=2〔1﹣〕=．故答案为：．【点评】此题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．16．〔5分〕F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．假设M为FN的中点，那么|FN|=6．【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F〔2，0〕，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．假设M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，那么M的纵坐标为：，|FN|=2|FM|=2=6．故答案为：6．【点评】此题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．〔一〕必考题：共60分。17．〔12分〕△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin〔A+C〕=8sin2．〔1〕求cosB；〔2〕假设a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【分析】〔1〕利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin〔A+C〕，利用降幂公式化简8sin2，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，〔2〕由〔1〕可知sinB=，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．【解答】解：〔1〕sin〔A+C〕=8sin2，∴sinB=4〔1﹣cosB〕，∵sin2B+cos2B=1，∴16〔1﹣cosB〕2+cos2B=1，∴〔17cosB﹣15〕〔cosB﹣1〕=0，∴cosB=；〔2〕由〔1〕可知sinB=，∵S△ABC=ac•sinB=2，∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=〔a+c〕2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．【点评】此题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题18．〔12分〕海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量比照，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量〔单位：kg〕，其频率分布直方图如图：〔1〕设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg〞，估计A的概率；〔2〕填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法〔3〕根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值〔精确到0.01〕．附：P〔K2≥k〕0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2=．【分析】〔1〕由题意可知：P〔A〕=P〔BC〕=P〔B〕P〔C〕，分布求得发生的频率，即可求得其概率；〔2〕完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比拟，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：〔3〕根据频率分布直方图即可求得其中位数．【解答】解：〔1〕记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg〞，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg〞，由P〔A〕=P〔BC〕=P〔B〕P〔C〕，那么旧养殖法的箱产量低于50kg：〔0.012+0.014+0.024+0.034+0.040〕×5=0.62，故P〔B〕的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：〔0.068+0.046+0.010+0.008〕×5=0.66，故P〔C〕的估计值为，那么事件A的概率估计值为P〔A〕=P〔B〕P〔C〕=0.62×0.66=0.4092；∴A发生的概率为0.4092；〔2〕2×2列联表：箱产量＜50kg箱产量≥50kg总计旧养殖法6238100新养殖法3466100总计96104200那么K2=≈15.705，由15.705＞6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；〔3〕由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：〔0.004+0.020+0.044〕×5=0.34，箱产量低于55kg的直方图面积为：〔0.004+0.020+0.044+0.068〕×5=0.68＞0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+≈52.35〔kg〕，新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35〔kg〕．【点评】此题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题．19．〔12分〕如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．〔1〕证明：直线CE∥平面PAB；〔2〕点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．【分析】〔1〕取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．〔2〕利用条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可．【解答】〔1〕证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EFAD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；〔2〕解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，那么AB=BC=1，OP=，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ==，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：=．【点评】此题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．〔12分〕设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足=．〔1〕求点P的轨迹方程；〔2〕设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【分析】〔1〕设M〔x0，y0〕，由题意可得N〔x0，0〕，设P〔x，y〕，运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；〔2〕设Q〔﹣3，m〕，P〔cosα，sinα〕，〔0≤α＜2π〕，运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证．【解答】解：〔1〕设M〔x0，y0〕，由题意可得N〔x0，0〕，设P〔x，y〕，由点P满足=．可得〔x﹣x0，y〕=〔0，y0〕，可得x﹣x0=0，y=y0，即有x0=x，y0=，代入椭圆方程+y2=1，可得+=1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；〔2〕证明：设Q〔﹣3，m〕，P〔cosα，sinα〕，〔0≤α＜2π〕，•=1，可得〔cosα，sinα〕•〔﹣3﹣cosα，m﹣sinα〕=1，即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，当α=0时，上式不成立，那么0＜α＜2π，解得m=，即有Q〔﹣3，〕，椭圆+y2=1的左焦点F〔﹣1，0〕，由•=〔﹣1﹣cosα，﹣sinα〕•〔﹣3，〕=3+3cosα﹣3〔1+cosα〕=0．可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【点评】此题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．〔12分〕函数f〔x〕=ax2﹣ax﹣xlnx，且f〔x〕≥0．〔1〕求a；〔2〕证明：f〔x〕存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f〔x0〕＜2﹣2．【分析】〔1〕通过分析可知f〔x〕≥0等价于h〔x〕=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′〔x〕=a﹣可得h〔x〕min=h〔〕，从而可得结论；〔2〕通过〔1〕可知f〔x〕=x2﹣x﹣xlnx，记t〔x〕=f′〔x〕=2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t〔x〕min=t〔〕=ln2﹣1＜0，从而可知f′〔x〕=0存在两根x0，x2，利用f〔x〕必存在唯一极大值点x0及x0＜可知f〔x0〕＜，另一方面可知f〔x0〕＞f〔〕=．【解答】〔1〕解：因为f〔x〕=ax2﹣ax﹣xlnx=x〔ax﹣a﹣lnx〕〔x＞0〕，那么f〔x〕≥0等价于h〔x〕=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′〔x〕=a﹣．那么当a≤0时h′〔x〕＜0，即y=h〔x〕在〔0，+∞〕上单调递减，所以当x0＞1时，h〔x0〕＜h〔1〕=0，矛盾，故a＞0．因为当0＜x＜时h′〔x〕＜0、当x＞时h′〔x〕＞0，所以h〔x〕min=h〔〕，又因为h〔1〕=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；〔2〕证明：由〔1〕可知f〔x〕=x2﹣x﹣xlnx，f′〔x〕=2x﹣2﹣lnx，令f′〔x〕=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t〔x〕=2x﹣2﹣lnx，那么t′〔x〕=2﹣，令t′〔x〕=0，解得：x=，所以t〔x〕在区间〔0，〕上单调递减，在〔，+∞〕上单调递增，所以t〔x〕min=t〔〕=ln2﹣1＜0，从而t〔x〕=0有解，即f′〔x〕=0存在两根x0，x2，且不妨设f′〔x〕在〔0，x0〕上为正、在〔x0，x2〕上为负、在〔x2，+∞〕上为正，所以f〔x〕必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，所以f〔x0〕=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，由x0＜可知f〔x0〕＜〔x0﹣〕max=﹣+=；由f′〔〕＜0可知x0＜＜，所以f〔x〕在〔0，x0〕上单调递增，在〔x0，〕上单调递减，所以f〔x0〕＞f〔〕=；综上所述，f〔x〕存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f〔x0〕＜2﹣2．【点评】此题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]〔10分〕22．〔10分〕在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．〔1〕M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；〔2〕设点A的极坐标为〔2，〕，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．【分析】〔1〕设P〔x，y〕，利用相似得出M点坐标，根据|OM|•|OP|=16列方程化简即可；〔2〕求出曲线C2的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．【解答】解：〔1〕曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P〔x，y〕，M〔4，y0〕，那么，∴y0=，∵|OM||OP|=16，∴=16，即〔x2+y2〕〔1+〕=16，∴x4+2x2y2+y4=16x2，即〔x2+y2〕2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：〔x﹣2〕2+y2=4〔x≠0〕，∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：〔x﹣2〕2+y2=4〔x≠0〕．〔2〕点A的直角坐标为A〔1，〕，显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心〔2，0〕到弦OA的距离d==，∴△AOB的最大面积S=|OA|•〔2+〕=2+．【点评】此题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]〔10分〕23．a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：〔1〕〔a+b〕〔a5+b5〕≥4；〔2〕a+b≤2．【分析】〔1〕由柯西不等式即可证明，〔2〕由a3+b3=2转化为=ab，再由均值不等式可得：=ab≤〔〕2，即可得到〔a+b〕3≤2，问题得以证明．【解答】证明：〔1〕由柯西不等式得：〔a+b〕〔a5+b5〕≥〔+〕2=〔a3+b3〕2≥4，当且仅当=，即a=b=1时取等号，〔2〕∵a3+b3=2，∴〔a+b〕〔a2﹣ab+b2〕=2，∴〔a+b〕[〔a+b〕2﹣3ab]=2，∴〔a+b〕3﹣3ab〔a+b〕=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤〔〕2，∴〔a+b〕3﹣2≤，∴〔a+b〕3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．【点评】此题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题考点卡片1．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B=B∩A．②A∩∅=∅．③A∩A=A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B=A⇔A⊆B．⑥A∩B=∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩〔∁UA〕=∅．⑧∁U〔A∩B〕=〔∁UA〕∪〔∁UB〕．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且〞与“所有〞的理解．不能把“或〞与“且〞混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．2．利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：〔1〕极大值：一般地，设函数f〔x〕在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f〔x〕＜f〔x0〕，就说f〔x0〕是函数f〔x〕的一个极大值，记作y极大值=f〔x0〕，x0是极大值点；〔2〕极小值：一般地，设函数f〔x〕在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f〔x〕＞f〔x0〕，就说f〔x0〕是函数f〔x〕的一个极小值，记作y极小值=f〔x0〕，x0是极小值点．2、极值的性质：〔1〕极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比拟是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；〔2〕函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；〔3〕极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；〔4〕函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f〔x0〕是极大、极小值的方法：假设x0满足f′〔x0〕=0，且在x0的两侧f〔x〕的导数异号，那么x0是f〔x〕的极值点，f〔x0〕是极值，并且如果f′〔x〕在x0两侧满足“左正右负〞，那么x0是f〔x〕的极大值点，f〔x0〕是极大值；如果f′〔x〕在x0两侧满足“左负右正〞，那么x0是f〔x〕的极小值点，f〔x0〕是极小值．4、求函数f〔x〕的极值的步骤：〔1〕确定函数的定义区间，求导数f′〔x〕；〔2〕求方程f′〔x〕=0的根；〔3〕用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间，并列成表格，检查f′〔x〕在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f〔x〕在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f〔x〕在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f〔x〕在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：〔1〕按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b〔因为在端点不可导〕．〔2〕极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．〔3〕假设f〔x〕在〔a，b〕内有极值，那么f〔x〕在〔a，b〕内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．〔4〕假设函数f〔x〕在[a，b]上有极值且连续，那么它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f〔x〕在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f〔x〕在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，〔5〕可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．3．简单线性规划【概念】线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．【例题解析】例：假设目标函数z=x+y中变量x，y满足约束条件．〔1〕试确定可行域的面积；〔2〕求出该线性规划问题中所有的最优解．解：〔1〕作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，其中B〔4，3〕，A〔2，3〕，C〔4，2〕，那么可行域的面积S==．〔2〕由z=x+y，得y=﹣x+z，那么平移直线y=﹣x+z，那么由图象可知当直线经过点A〔2，3〕时，直线y=﹣x+z得截距最小，此时z最小为z=2+3=5，当直线经过点B〔4，3〕时，直线y=﹣x+z得截距最大，此时z最大为z=4+3=7，故该线性规划问题中所有的最优解为〔4，3〕，〔2，3〕这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．【考点预测】线性规划在实际中应用广泛，因此具有很高的实用价值，所以也成为了高考的一个热点．大家在备考的时候，需要学会准确的画出可行域，然后会平移目标曲线．4．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn=na1+n〔n﹣1〕d或者Sn=【例题解析】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，假设公差d=1，S5=15，那么S10=解：∵d=1，S5=15，∴5a1+d=5a1+10=15，即a1=1，那么S10=10a1+d=10+45=55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{an}的前n项和Sn=4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．解：∵等差数列{an}的前n项和Sn=4n2﹣25n．∴an=Sn﹣Sn﹣1=〔4n2﹣25n〕﹣[4〔n﹣1〕2﹣25〔n﹣1〕]=8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3=﹣39．∴n≤3时，Tn=﹣Sn=25n﹣4n2，n≥4，Tn=Sn﹣2S3=4n2﹣25n+78，∴．点评：此题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【考点点评】等差数列比拟常见，单独考察等差数列的题也比拟简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．5．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示〔q≠0〕．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，那么它的通项an=a1•qn﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2=a•b〔ab≠0〕4．等比数列的常用性质〔1〕通项公式的推广：an=am•qn﹣m，〔n，m∈N*〕．〔2〕假设{an}为等比数列，且k+l=m+n，〔k，l，m，n∈N*〕，那么ak•al=am•an〔3〕假设{an}，{bn}〔项数相同〕是等比数列，那么{λan}〔λ≠0〕，{a}，{an•bn}，仍是等比数列．〔4〕单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q=1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．6．等比数列的前n项和【知识点的知识】1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q〔q≠0〕，其前n项和为Sn，当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn==．2．等比数列前n项和的性质公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，那么Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．7．数列的求和【知识点的知识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：〔1〕公式法：①等差数列前n项和公式：Sn=na1+n〔n﹣1〕d或Sn=②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：〔2〕错位相减法：适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．〔3〕裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即=〔〕．〔4〕倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n个〔a1+an〕．〔5〕分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【典型例题分析】典例1：等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．〔Ⅰ〕求an及Sn；〔Ⅱ〕令bn=〔n∈N*〕，求数列{bn}的前n项和Tn．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：．解：〔Ⅰ〕设等差数列{an}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2，∴an=3+2〔n﹣1〕=2n+1；Sn==n2+2n．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知an=2n+1，∴bn====，∴Tn===，即数列{bn}的前n项和Tn=．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【解题方法点拨】数列求和根本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最根本的方法，即便是放缩也要往这里面考．8．平面向量数量积的运算【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为①〔±〕2=2±2•+2．②〔﹣〕〔+〕=2﹣2．③•〔•〕≠〔•〕•，从这里可以看出它的运算法那么和数的运算法那么有些是相同的，有些不一样．【例题解析】例：由代数式的乘法法那么类比推导向量的数量积的运算法那么：①“mn=nm〞类比得到“〞②“〔m+n〕t=mt+nt〞类比得到“〔〕•=〞；③“t≠0，mt=nt⇒m=n〞类比得到“⇒〞；④“|m•n|=|m|•|n|〞类比得到“||=||•||〞；⑤“〔m•n〕t=m〔n•t〕〞类比得到“〔〕•=〞；⑥“〞类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②．解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn=nm〞类比得到“〞，即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“〔m+n〕t=mt+nt〞类比得到“〔〕•=〞，即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt=nt⇒m=n〞不能类比得到“⇒〞，即③错误；∵||≠||•||，∴“|m•n|=|m|•|n|〞不能类比得到“||=||•||〞；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“〔m•n〕t=m〔n•t〕〞不能类比得到“〔〕•=〞，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴〞不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn=nm〞类比得到“〞；向量的数量积满足分配律，故“〔m+n〕t=mt+nt〞类比得到“〔〕•=〞；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt=nt⇒m=n〞不能类比得到“⇒〞；||≠||•||，故“|m•n|=|m|•|n|〞不能类比得到“||=||•||〞；向量的数量积不满足结合律，故“〔m•n〕t=m〔n•t〕〞不能类比得到“〔〕•=〞；向量的数量积不满足消元律，故〞不能类比得到．【考点分析】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比拟多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．9．复数代数形式的乘除运算【知识点的知识】1、复数的加、减、乘、除运算法那么2、复数加法、乘法的运算律10．频率分布直方图【知识点的认识】1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．2．频率分布直方图的特征①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．3．频率分布直方图求数据①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等局部的平行于y轴的直线横坐标．【解题方法点拨】绘制频率分布直方图的步骤：11．用样本的数字特征估计总体的数字特征【知识点的知识】1．样本的数字特征：众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．〔1〕众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；〔2〕中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据〔或最中间两个数据的平均数〕叫做这组数据的中位数；〔3〕平均数：一组数据的算术平均数，即．2、三种数字特征的优缺点：：〔1〕样本众数通常用来表示分类变量的中心值，比拟容易计算，但是它只能表示样本数据中的很少一局部信息．〔2〕中位数不受少数几个极端值的影响，容易计算，它仅利用了数据排在中间的数据的信息．〔3〕样本平均数与每个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．这是中位数，众数都不具有的性质，也正因为这个原因，与众数，中位数比拟起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．〔4〕如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．〔5〕使用者根据自己的利益去选择使用中位数或平均数来描述数据的中心，从而产生一些误导作用．3、如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字．〔最高矩形的中点〕估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等．估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．4、样本平均数、标准差对总体平均数、标准差的估计现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道〔或不可求〕的．如何求得总体的平均数与标准差呢？通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差．这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的．如要考查一批灯泡的质量，我们可从中随机抽取一局部作为样本，要分析一批钢筋的强度，可以随机抽取一定数目的钢筋作为样本，只要样本的代表性强就可以用来对总体作出客观的判断．但需要注意的是，同一个总体，抽取的样本可以是不同的．如一个总体包含6个个体，现在要从中抽取3个作为样本，所有可能的样本会有20种不同的结果，假设总体与样本容量较大，可能性就更多，而只要其中的个体是不完全相同的，这些相应的样本频率分布与平均数、标准差都会有差异．这就会影响到我们对总体情况的估计．12．独立性检验【知识点的知识】1、分类变量：如果某种变量的不同“值〞表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．2、原理：假设性检验〔类似反证法原理〕．一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为〔1﹣P〕，也就是“X和Y有关系〞．〔表中的k就是K2的观测值，即k=K2〕．其中n=a+b+c+d〔考试给出〕3、2×2列联表：4、范围：K2∈〔0，+∞〕；性质：K2越大，说明变量间越有关系．5、解题步骤：〔1〕认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；〔2〕根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；〔3〕通过观测值k与临界值k0比拟，得出事件有关的可能性大小．13．离散型随机变量的期望与方差【知识点的知识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，假设离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…xn…Pp1p2…pn…那么称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1=p2=…=pn，那么有p1=p2=…=pn=，Eξ=〔x1+x2+…+xn〕×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．期望的一个性质：假设η=aξ+b，那么E〔aξ+b〕=aEξ+b．2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．方差的意义：〔1〕随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；〔2〕随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；〔3〕标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．14．排列、组合及简单计数问题【知识点的知识】1、排列组合问题的一些解题技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团〞排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难那么反、等价转化．对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原那么：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2、排列、组合问题几大解题方法：〔1〕直接法；〔2〕排除法；〔3〕捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部〞的排列．它主要用于解决“元素相邻问题〞；〔4〕插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题〞；〔5〕占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般〞的解题原那么；〔6〕调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；〔7〕平均法：假设把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；〔8〕隔板法：常用于解正整数解组数的问题；〔9〕定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置那么有；〔10〕指定元素排列组合问题：①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列〔或组合〕，规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列〔或组合〕，规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列〔或组合〕，规定每个排列〔或组合〕都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．15．程序框图【知识点的知识】1．程序框图〔1〕程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；〔2〕构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的．输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置．处理框赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是〞或“Y〞；不成立时在出口处标明那么标明“否〞或“N〞．流程线算法进行的前进方向以及先后顺序连结点连接另一页或另一局部的框图注释框帮助编者或阅读者理解框图〔3〕程序框图的构成．一个程序框图包括以下几局部：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．16．进行简单的合情推理【知识点的知识】1．推理根据一个或几个的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理．推理一般分为合情推理与演绎推理两类．2．合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的局部对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由局部到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步骤〔1〕通过观察个别情况发现某些相同性质；〔2〕从的相同性质中推出一个明确的一般性命题〔猜测〕〔1〕找出两类事物之间相似性或一致性；〔2〕用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题〔猜测〕3．演绎推理〔1〕定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；〔2〕特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；〔3〕模式：三段论．“三段论〞是演绎推理的一般模式，包括：“三段论〞的结构①大前提﹣﹣的一般原理；②小前提﹣﹣所研究的特殊情况；③结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论〞的表示①大前提﹣﹣M是P．②小前提﹣﹣S是M．③结论﹣﹣S是P．17．二倍角的正弦【二倍角的正弦】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α=β的一种特例，其公式为：sin2α=2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α=〔sinα+cosα〕2．【例题解析】例：y=sin2x+2sinxcosx的周期是π．解：∵y=sin2x+2sinxcosx=+sin2x=sin2x﹣cos2x+=sin〔2x+φ〕+，〔tanφ=﹣〕∴其周期T==π．故答案为：π．这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．【考点点评】本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比拟多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．18．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容=2R〔R是△ABC外接圆半径〕a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC变形形式①a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；②sinA=，sinB=，sinC=；③a：b：c=sinA：sinB：sinC；④asinB=bsinA，bsinC=csinB，asinC=csinAcosA=，cosB=，cosC=解决三角形的问题①两角和任一边，求另一角和其他两条边；②两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①三边，求各角；②两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S=a•ha〔ha表示边a上的高〕；2．S=absinC=acsinB=bcsinA．3．S=r〔a+b+c〕〔r为内切圆半径〕．19．三角函数的最值【三角函数的最值】三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原那么通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．【例题解析】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x=+cos〔2x+〕．解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x=﹣+2•=+〔cos2x﹣sin2x〕=+cos〔2x+〕．故答案为：+cos〔2x+〕．这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．例2：函数y=sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx=t，可得y=t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函数y=t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t=∴当t=时函数有最小值，而函数的最大值为t=﹣1时或t=1时函数值中的较大的那个∵t=﹣1时，y=〔﹣1〕2﹣〔﹣1〕+3=5，当t=1时，y=12﹣1+3=3∴函数的最大值为t=﹣1时y的值即sinx=﹣1时，函数的最大值为5．这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．【考点点评】求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些根本的方法融会贯穿，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．20．轨迹方程【知识点的认识】1．曲线的方程和方程的曲线在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对〔x，y〕表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标〔x，y〕中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C〔看做适合某种条件的点的集合或轨迹〕上的点与一个二元方程f〔x，y〕=0的实数解建立了如下的关系：〔1〕曲线上点的坐标都是这个方程的解；〔2〕以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．2．求曲线方程的一般步骤〔直接法〕〔1〕建系设点：建立适当的直角坐标系，用〔x，y〕表示曲线上任一点M的坐标；〔2〕列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p〔M〕}；〔3〕代入：用坐标表示出条件p〔M〕，列出方程f〔x，y〕=0；〔4〕化简：化方程f〔x，y〕=0为最简形式；〔5〕证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点【常用解法】〔1〕直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式〔如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等〕进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．〔2〕定义法：假设动点轨迹的条件符合某一根本轨迹的定义〔如椭圆、双曲线、抛物线、圆等〕，可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一根本轨迹的定义条件．〔3〕相关点法：用所求动点P的坐标〔x，y〕表示动点M的坐标〔x0，y0〕，即得到x0=f〔x，y〕，y0=g〔x，y〕，再将x0，y0代入M满足的条件F〔x0，y0〕=0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．〔4〕待定系数法〔5〕参数法〔6〕交轨法．21．抛物线的简单性质【知识点的知识】抛物线的简单性质：22．双曲线的简单性质【知识点的知识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程〔a＞0，b＞0〕〔a＞0，b＞0〕图形性质焦点F1〔﹣c，0〕，F2〔c，0〕F1〔0，﹣c〕，F2〔0，c〕焦距|F1F2|=2ca2+b2=c2范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点〔﹣a，0〕．〔a，0〕〔0，﹣a〕〔0，a〕轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=〔e＞1〕准线x=±y=±渐近线±=0±=023．圆与圆锥曲线的综合【知识点的知识】1、抛物线的简单性质：2、双曲线的标准方程及几何性质标准方程〔a＞0，b＞0〕〔a＞0，b＞0〕图形性质焦点F1〔﹣c，0〕，F2〔c，0〕F1〔0，﹣c〕，F2〔0，c〕焦距|F1F2|=2ca2+b2=c2范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点〔﹣a，0〕．〔a，0〕〔0，﹣a〕〔0，a〕轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=〔e＞1〕准线x=±y=±渐近线±=1±=124．直线与椭圆的位置关系v．25．由三视图求面积、体积【知识点的认识】1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：〔1〕主视图：物体前前方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；〔2〕左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；〔3〕俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．2．三视图的画图规那么：〔1〕高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；〔2〕长对正：主视图和俯视图的长相对应；〔3〕宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．3．常见空间几何体外表积、体积公式〔1〕外表积公式：〔2〕体积公式：【解题思路点拨】1．解题步骤：〔1〕由三视图定对应几何体形状〔柱、锥、球〕〔2〕选对应公式〔3〕定公式中的根本量〔一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高〕〔4〕代公式计算2．求面积、体积常用思想方法：〔1〕截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；〔2〕割补法：求不规那么图形的面积或几何体的体积时常用割补法；〔3〕等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；〔4〕还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．【命题方向】三视图