机械能守恒2多物体机械能守恒问题

..机械能守恒应用2多物体机械能守恒问题一、轻杆连接系统机械能守恒1、模型构建轻杆两端各固定一个物体,整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动或关联运动,该系统即为机械能守恒中的轻杆模型．2、模型条件<1>．忽略空气阻力和各种摩擦．<2>．平动时两物体线速度相等,转动时两物体角速度相等,关联运动时沿杆方向速度相等。3、模型特点<1>．杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒．<2>．对于杆和球组成的系统,没有外力对系统做功,因此系统的总机械能守恒．例1．[转动]质量分别为m和2m的两个小球P和Q,中间用轻质杆固定连接,杆长为L,在离P球eq\f<L,3>处有一个光滑固定轴O,如图8所示．现在把杆置于水平位置后自由释放,在Q球顺时针摆动到最低位置时,求：图8<1>小球P的速度大小；<2>在此过程中小球P机械能的变化量．答案<1>eq\f<\r<2gL>,3><2>增加eq\f<4,9>mgL解析<1>两球和杆组成的系统机械能守恒,设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v,由于P、Q两球的角速度相等,Q球运动半径是P球运动半径的两倍,故Q球的速度为2v.由机械能守恒定律得2mg·eq\f<2,3>L－mg·eq\f<1,3>L＝eq\f<1,2>mv2＋eq\f<1,2>·2m·<2v>2,解得v＝eq\f<\r<2gL>,3>.<2>小球P机械能增加量ΔE＝mg·eq\f<1,3>L＋eq\f<1,2>mv2＝eq\f<4,9>mgL[跟踪训练].如图5－3－7所示,在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量为m的球,杆可绕无摩擦的轴O转动,使杆从水平位置无初速度释放。求当杆转到竖直位置时,轻杆对A、B两球分别做了多少功？图5－3－7解析：设当杆转到竖直位置时,A球和B球的速度分别为vA和vB。如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象,那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零,故系统机械能守恒。若取B的最低点为重力势能参考平面,可得：2mgL＝eq\f<1,2>mveq\o\al<2,A>＋eq\f<1,2>mveq\o\al<2,B>＋eq\f<1,2>mgL又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同,故vB＝2vA由以上二式得：vA＝eq\r<\f<3gL,5>>,vB＝eq\r<\f<12gL,5>>。根据动能定理,可解出杆对A、B做的功。对A有：WA＋mgeq\f<L,2>＝eq\f<1,2>mveq\o\al<2,A>－0,所以WA＝－0.2mgL。对B有：WB＋mgL＝eq\f<1,2>mveq\o\al<2,B>－0,所以WB＝0.2mgL。答案：－0.2mgL0.2mgL例2、[平动]图5－3－9如图5－3－9所示,倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B,两球之间用一根长为L的轻杆相连,下面的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑,不计球与地面碰撞时的机械能损失,且地面光滑,求：<1>两球在光滑水平面上运动时的速度大小；<2>整个运动过程中杆对A球所做的功．[解析]<1>因为没有摩擦,且不计球与地面碰撞时的机械能损失,两球在光滑地面上运动时的速度大小相等,设为v,根据机械能守恒定律有：2mg<h＋eq\f<L,2>sinθ>＝2×eq\f<1,2>mv2解得：v＝eq\r<2gh＋gLsinθ>.<2>因两球在光滑水平面上运动时的速度v比B单独从h处自由滑下的速度eq\r<2gh>大,增加的机械能就是杆对B做正功的结果．B增加的机械能为ΔEkB＝eq\f<1,2>mv2－mgh＝eq\f<1,2>mgLsinθ因系统的机械能守恒,所以杆对B球做的功与杆对A球做的功的数值应该相等,杆对B球做正功,对A球做负功,所以杆对A球做的功W＝－eq\f<1,2>mgLsinθ.[答案]<1>eq\r<2gh＋gLsinθ><2>－eq\f<1,2>mgLsinθ[跟踪训练].如图8所示,在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上,放有两个质量分别为1kg和2kg的可视为质点的小球A和B,两球之间用一根长L＝0.2m的轻杆相连,小球B距水平面的高度h＝0.1m．两球由静止开始下滑到光滑地面上,不计球与地面碰撞时的机械能损失,g取10m/s2.则下列说法中正确的是<>图8A．整个下滑过程中A球机械能守恒B．整个下滑过程中B球机械能守恒C．整个下滑过程中A球机械能的增加量为eq\f<2,3>JD．整个下滑过程中B球机械能的增加量为eq\f<2,3>J答案D解析在下滑的整个过程中,只有重力对系统做功,系统的机械能守恒,但在B球沿水平面滑行,而A沿斜面滑行时,杆的弹力对A、B球做功,所以A、B球各自机械能不守恒,故A、B错误；根据系统机械能守恒得：mAg<h＋Lsinθ>＋mBgh＝eq\f<1,2><mA＋mB>v2,解得：v＝eq\f<2,3>eq\r<6>m/s,系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为eq\f<1,2>mBv2－mBgh＝eq\f<2,3>J,故D正确；A球的机械能减少量为eq\f<2,3>J,C错误．例3．[联动]<2015·新课标全国Ⅱ·21><多选>如图5,滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动．不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g.则<>图5A．a落地前,轻杆对b一直做正功B．a落地时速度大小为eq\r<2gh>C．a下落过程中,其加速度大小始终不大于gD．a落地前,当a的机械能最小时,b对地面的压力大小为mg答案BD解析滑块b的初速度为零,末速度也为零,所以轻杆对b先做正功,后做负功,选项A错误；以滑块a、b及轻杆为研究对象,系统的机械能守恒,当a刚落地时,b的速度为零,则mgh＝eq\f<1,2>mveq\o\al<2,a>＋0,即va＝eq\r<2gh>,选项B正确；a、b的先后受力分析如图甲、乙所示．由a的受力情况可知,a下落过程中,其加速度大小先小于g后大于g,选项C错误；当a落地前b的加速度为零<即轻杆对b的作用力为零>时,b的机械能最大,a的机械能最小,这时b受重力、支持力,且FNb＝mg,由牛顿第三定律可知,b对地面的压力大小为mg,选项D正确．[跟踪训练].．内壁光滑的环形凹槽半径为R,固定在竖直平面内,一根长度为eq\r<2>R的轻杆,一端固定有质量为m的小球甲,另一端固定有质量为2m的小球乙,将两小球放入凹槽内,小球乙位于凹槽的最低点,如图6所示．由静止释放后<>图6A．下滑过程中甲球减少的机械能总等于乙球增加的机械能B．下滑过程中甲球减少的重力势能总等于乙球增加的重力势能C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点D．杆从右向左滑回时,乙球一定能回到凹槽的最低点答案AD解析根据题设条件可知甲、乙两小球组成的系统满足机械能守恒定律,故A、D对,B错；由于乙球的质量大于甲球的质量,所以甲球不可能沿凹槽下滑到槽的最低点,否则就不满足机械能守恒,C错．二、轻绳连接系统机械能守恒例1.甲、乙两物体用细线相连,跨过两光滑滑轮按如图12所示方式连接,滑轮上方放置一竖直的光滑半圆形轨道,甲物体与地面接触,乙物体紧挨滑轮位置,两滑轮到地面距离与半圆轨道直径相等,且与圆心在同一水平线上。若两滑轮与甲、乙物体均视为质点,且两滑轮之间距离可视为与半圆轨道直径相等,现将乙由静止开始释放,甲物体向上运动到圆弧轨道后,恰好能沿半圆轨道做圆周运动,则甲、乙两物体质量之比为<>图12A.1∶7B.1∶6C.1∶5D.1∶4解析设甲、乙两物体质量分别为m1、m2,轨道半径为R,当乙下落到地面、甲运动到半圆轨道下端时,由题意知,对系统由机械能守恒定律可得2m2gR－2m1gR＝eq\f<1,2><m2＋m1>v2,甲球恰好能做圆周运动,则甲球在圆轨道最高点时必有m1g＝eq\f<m1veq\o\al<2,1>,R>,甲由轨道下端运动到最高点过程中由机械能守恒定律可得：eq\f<1,2>m1v2＝m1gR＋eq\f<1,2>m1veq\o\al<2,1>,联立以上各式可得：m2＝7m1,则A正确。答案A[跟踪训练].．如图12所示,质量分别为2m和m的A、B两物体用不可伸长的轻绳绕过轻质定滑轮相连,开始两物体处于同一高度,绳处于绷紧状态,轻绳足够长,不计一切摩擦．现将两物体由静止释放,在A落地之前的运动中,下列说法中正确的是<>图12A．A物体的加速度为eq\f<g,2>B．A、B组成系统的重力势能增大C．下落t秒时,B所受拉力的瞬时功率为eq\f<1,3>mg2tD．下落t秒时,A的机械能减少了eq\f<2,9>mg2t2答案D解析A与B的加速度大小相等,根据牛顿第二定律得：对A、B整体有：a＝eq\f<2mg－mg,2m＋m>＝eq\f<1,3>g,故A错误；A、B组成系统的机械能不变,动能增大,重力势能减小,故B错误；B受到的拉力：F＝m<g＋a>＝eq\f<4mg,3>,下落t秒时,B的速度：v＝at＝eq\f<1,3>gt,所受拉力的瞬时功率为P＝Fv＝eq\f<4,9>mg2t,C错误；对A有：2mg－FT＝2ma,得细绳的拉力FT＝eq\f<4,3>mg.下落t秒时,A下落的高度为h＝eq\f<1,2>at2＝eq\f<1,6>gt2,则A克服细绳拉力做功为W＝FTh＝eq\f<2,9>mg2t2.根据功能关系得知：A的机械能减少量为ΔEA＝W＝eq\f<2,9>mg2t2,故D正确．多物体机械能守恒问题<1>多物体机械能守恒问题的分析方法：①对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中,系统的机械能是否守恒．②注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．③列机械能守恒方程时,一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式．<2>多物体机械能守恒问题的三点注意：①正确选取研究对象．②合理选取物理过程．③正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解．专题训练：1如图5－3－2所示,质量分别为m和2m的两个小球A和B,中间用轻质杆相连,在杆的中点O处有一固定转动轴,把杆置于水平位置后释放,在B球顺时针摆动到最低位置的过程中<不计一切摩擦><>图5－3－2A．B球的重力势能减少,动能增加,B球和地球组成的系统机械能守恒B．A球的重力势能增加,动能也增加,A球和地球组成的系统机械能不守恒C．A球、B球和地球组成的系统机械能守恒D．A球、B球和地球组成的系统机械能不守恒[解析]A球在上摆过程中,重力势能增加,动能也增加,机械能增加,B项正确；由于A球、B球和地球组成的系统只有重力做功,故系统的机械能守恒,C项正确,D项错误；所以B球和地球组成系统的机械能一定减少,A项错误。[答案]BC2.图5－3－11<多选>轻杆AB长2L,A端连在固定轴上,B端固定一个质量为2m的小球,中点C固定一个质量为m的小球．AB杆可以绕A．AB杆转到竖直位置时,角速度为eq\r<\f<10g,9L>>B．AB杆转到竖直位置的过程中,B端小球的机械能的增量为eq\f<4,9>mgLC．AB杆转动过程中杆CB对B球做正功,对C球做负功,杆AC对C球做正功D．AB杆转动过程中,C球机械能守恒[解析]在AB杆由静止释放到转到竖直位置的过程中,以B球的最低点为零势能点,根据机械能守恒定律有：mg·2L＋2mg<2L>＝mgL＋eq\f<1,2>×2m<ω·2L>2＋eq\f<1,2>m<ωL>2,解得角速度ω＝eq\r<\f<10g,9L>>,A项正确．在此过程中,B端小球机械能的增量为：ΔEB＝E末－E初＝eq\f<1,2>·2m<ω·2L>2－2mg·<2L>＝eq\f<4,9>mgL,B项正确．AB杆转动过程中,杆AC对C球不做功,杆CB对C球做负功,对B球做正功,C项错．C球机械能不守恒,B、C球系统机械能守恒,D项错．[答案]AB3<多选>如图5所示,有一光滑轨道ABC,AB部分为半径为R的eq\f<1,4>圆弧,BC部分水平,质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端,轻杆长为R,不计小球大小。开始时a球处在圆弧上端A点,由静止释放小球和轻杆,使其沿光滑轨道下滑,下列说法正确的是<>图5A．a球下滑过程中机械能保持不变B．a、b两球和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能保持不变C．a、b滑到水平轨道上时速度为eq\r<2gR>D．从释放到a、b滑到水平轨道上,整个过程中轻杆对a球做的功为eq\f<mgR,2>解析：选BD由机械能守恒的条件得,a球机械能不守恒,a、b系统机械能守恒,所以A错误,B正确。对a、b系统由机械能守恒定律得：mgR＋2mgR＝2×eq\f<1,2>mv2,解得v＝eq\r<3gR>,C错误。对a由动能定理得：mgR＋W＝eq\f<1,2>mv2,解得W＝eq\f<mgR,2>,D正确。4.[绳连接的系统机械能守恒]如图7,可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接,跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱,A的质量为B的两倍．当B位于地面时,A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放,B上升的最大高度是<>图7A．2RB.eq\f<5R,3>C.eq\f<4R,3>D.eq\f<2R,3>答案C解析设A球刚落地时两球速度大小为v,根据机械能守恒定律得,2mgR－mgR＝eq\f<1,2><2m＋m>v2,解得v2＝eq\f<2,3>gR,B球继续上升的高度h＝eq\f<v2,2g>＝eq\f<R,3>,B球上升的最大高度为h＋R＝eq\f<4,3>R.5.如图13所示,一轻杆两端分别固定质量均为m的小球A和B,放置于半径为R的光滑半圆轨道中,A球与圆心等高,B球恰在半圆的最低点,然后由静止释放,求在运动过程中两球的最大速度的大小．图13答案eq\r<<\r<2>－1>gR>解析当杆处于水平状态时,A、B两球组成的系统重心最低,两球速度最大,A球下降的高度ΔhA＝R·cos45°,B球上升的高度ΔhB＝R<1－cos45°>由两球角速度相等知：两球速度大小相等,设为v.由机械能守恒得：mgΔhA＝mgΔhB＋eq\f<1,2>·2mv2解得：v＝eq\r<<\r<2>－1>gR>6、如图5所示,一半径为R的光滑半圆柱水平悬空放置,C为圆柱最高点,两小球P、Q用一轻质细线悬挂在半圆柱上,水平挡板AB及两小球开始时位置均与半圆柱的圆心在同一水平线上,水平挡板AB与半圆柱间有一小孔能让小球通过,两小球质量分别为mP＝m,mQ＝4m,水平挡板到水平面EF的距离为h＝2R,现让两小球从图示位置由静止释放,当小球P到达最高点C时剪断细线,小球Q与水平面EF碰撞后等速反向被弹回,重力加速度为g,不计空气阻力,取π≈3。求：图5<1>小球P到达最高点C时的速率vC；<2>小球P落到挡板AB上时的速率v1；<3>小球Q反弹后能上升的最大高度hmax。解析<1>取两小球及细线为系统且圆心所在水平面为零势能面,则在小球P到达最高点C的过程中,系统满足机械能守恒,有－mQg×eq\f<1,4>×2πR＋mPgR＋eq\f<1,2><mP＋mQ>veq\o\al<2,C>＝0,解得vC＝eq\r<2gR>。<2>因vC＞eq\r<gR>,所以剪断细线后小球P做平抛运动,由机械能守恒定律知mPgR＋eq\f<1,2>mPveq\o\al<2,C>＝eq\f<1,2>mPveq\o\al<2,1>,解得v1＝2eq\r<gR>。<3>剪断细线后,小球Q做竖直下抛运动,反弹后做竖直上抛运动到最高点,满足机械能守恒,则有－mQg×eq\f<1,4>×2πR＋eq\f<1,2>mQveq\o\al<2,C>＝－mQg<h－hmax>,解得