模块质量检测(A)

欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！感谢阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！感谢阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！感谢阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！模块质量检测（A）(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)(考试时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若a＞－1，则a＞－2”A．0 B．1C．2 D．4解析：原命题为真命题，故逆否命题为真命题；逆命题为“若a＞－2，则a＞－1”答案：C2．命题“任意的x∈R,2x4－x2＋1<0”A．不存在x∈R,2x4－x2＋1<0 B．存在x∈R,2x4－x2＋1<0C．存在x∈R,2x4－x2＋1≥0 D．对任意的x∈R,2x4－x2＋1≥0解析：全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定是：存在x∈R,2x4－x2＋1≥0.答案：C3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．2 D．4解析：由x2＋my2＝1，得x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，又∵椭圆的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，∴eq\f(1,m)＝4，即m＝eq\f(1,4).答案：A4．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|＋|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么()A．甲是乙成立的充分不必要条件 B．甲是乙成立的必要不充分条件C．甲是乙成立的充要条件 D．甲是乙成立的非充分非必要条件解析：∵甲⇒/乙，乙⇒甲∴甲是乙的必要不充分条件，故选B.答案：B5．下列结论正确的个数是()①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；②命题“∀x∈R，x2＋2＜0”③若p：∃x∈R，x2＋4x＋4≤0，则q：∀x∈R，x2＋4x＋4≤0是全称命题．A．0 B．1C．2 D．3解析：只有命题①正确．答案：B6．设θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，则关于x，y的方程eq\f(x2,sinθ)－eq\f(y2,cosθ)＝1所表示的曲线为()A．实轴在y轴上的双曲线 B．实轴在x轴上的双曲线C．长轴在y轴上的椭圆 D．长轴在x轴上的椭圆解析：∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，∴cosθ<0，且|cosθ|>sinθ>0，∴原方程可化为eq\f(x2,sinθ)＋eq\f(y2,－cosθ)＝1，即eq\f(x2,sinθ)＋eq\f(y2,|cosθ|)＝1，它表示长轴在y轴上的椭圆．答案：C7．已知直线l过点P(1,0，－1)，平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是()A．(1，－4,2) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－1，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，1，－\f(1,2))) D．(0，－1,1)解析：eq\o(PM,\s\up6(→))＝(0,2,4)，直线l的方向向量为a＝(2,1,1)，设平面α的法向量n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PM,\s\up6(→))＝0,n·a＝0，))经检验，A，B，C都是平面α的法向量．故选D.答案：D8．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－4x B．x2＝4yC．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y解析：采用排除法，选C.答案：C9．正四面体ABCD中，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，给出向量的数量积如下：①eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))；②eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))；③eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))；④eq\o(EG,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)).其中等于0的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③④均为0.答案：D10．过双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,18)＝1的焦点作弦MN，若|MN|＝48，则此弦的倾斜角为()A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°解析：用弦长公式eq\r(1＋k2)|x1－x2|求解，显然直线MN的斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x－3eq\r(3))，与双曲线方程联立，得(2－k2)x2＋6eq\r(3)k2x－27k2－18＝0，所以|MN|＝eq\r(1＋k2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6\r(3)k2,2－k2)))2＋4\f(27k2＋18,2－k2))＝48，解得k2＝3.即k＝±eq\r(3)，故选D.答案：D11.如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D中，M是AB的中点，则sin〈DB′，eq\o(CM,\s\up6(→))〉的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(210),15)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(11),15)解析：以D为原点，DA，DC，DD′为x，y，z轴建系，设正方体的棱长为1，则eq\o(DB′,\s\up6(→))＝(1,1,1)，C(0,1,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，0))，故cos〈eq\o(DB′,\s\up6(→))，eq\o(CM,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(15),15)，则sin〈eq\o(DB′,\s\up6(→))，eq\o(CM,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(210),15).答案：B12．已知a＞0，b＞0，且双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1与椭圆C2：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝2有共同的焦点，则双曲线C1的离心率为()A.eq\r(2) B．2C.eq\f(2\r(3),3) D.eq\f(4\r(3),3)解析：由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝c2，,2a2－2b2＝c2，))所以4a2＝3c2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(3),3)，故选C.解析：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．设命题p：|4x－3|≤1，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数a解析：綈p:x>1或x<eq\f(1,2)；綈q：x>a＋1或x<a，若綈p⇐綈q，綈p⇒/綈q，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1≥1，))所以0≤a≤eq\f(1,2).答案：0≤a≤eq\f(1,2)14．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在eq\o(AC,\s\up6(→))1上且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，N为B1B的中点，则|eq\o(MN,\s\up6(→))|为________．解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a，\f(a,2))).设M(x，y，z)∵点M在eq\o(AC,\s\up6(→))1上且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))1，∴(x－a，y，z)＝eq\f(1,2)(－x，a－y，a－z)∴x＝eq\f(2,3)a，y＝eq\f(a,3)，z＝eq\f(a,3)得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3)))，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,3)))2)＝eq\f(\r(21),6)a.答案：eq\f(\r(21),6)a15.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点．若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))，则x＝________，y＝________.解析：eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→)).∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(3,2).答案：eq\f(1,2)－eq\f(3,2)16．若方程eq\f(x2,4－t)＋eq\f(y2,t－1)＝1所表示的曲线为C，给出下列四个命题：①若C为椭圆，则1<t<4，且t≠eq\f(5,2)；②若C为双曲线，则t>4或t<1；③曲线C不可能是圆；④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1<t<eq\f(3,2).其中正确的命题是________．(把所有正确命题的序号都填在横线上)解析：若为椭圆eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－t>0，,t－1>0，,4－t≠t－1，))即1<t<4，且t≠eq\f(5,2)，若为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，即4<t或t<1；当t＝eq\f(5,2)时，表示圆，若C表示长轴在x轴上的椭圆，则1<t<eq\f(5,2)，故①②正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)．17．(本小题满分12分)已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．解析：若方程x2＋mx＋1＝0有两不等的负根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m2－4＞0，,m＞0，))解得m＞2，即p：m＞2.若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3.因p或q为真，所以p，q至少有一为真，又p且q为假，所以p、q至少有一为假，因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞2，,m≤1或m≥3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤2，,1＜m＜3，))解得m≥3或1＜m≤2.18．(本小题满分12分)已知拋物线的顶点在原点，它的准线过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，拋物线与双曲线交于点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))，求拋物线方程和双曲线方程．解析：依题意，设拋物线方程为y2＝2px(p＞0)，∵点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))在拋物线上，∴6＝2p·eq\f(3,2)，∴p＝2，∴所求拋物线方程为y2＝4x.∵双曲线左焦点在拋物线的准线x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1，又点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))在双曲线上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2,a2)－\f(\r(6)2,b2)＝1,a2＋b2＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(1,4),b2＝\f(3,4)))，∴所求双曲线方程为eq\f(x2,\f(1,4))－eq\f(y2,\f(3,4))＝1.19．(本小题满分12分)已知p：2x2－9x＋a<0，q：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3<0，,x2－6x＋8<0，))且綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围．解析：由q：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3<0，,x2－6x＋8<0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<3，,2<x<4，))即2<x<3，∴q：2<x<3.设A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2<x<3}，∵綈p⇒綈q，∴q⇒p，∴B⊆A，∴2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0，令f(x)＝2x2－9x＋a，要使2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2≤0，,f3≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－18＋a≤0，,18－27＋a≤0，))∴a≤9，故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}．20.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝eq\f(1,2)AB＝1，M是PB的中点．(1)证明：面PAD⊥面PCD.(2)求AC与PB所成角的余弦值．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为A(0,0,0)、B(0,2,0)、C(1,1,0)、D(1,0,0)、P(0,0,1)、Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2))).(1)证明：∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝0.∴AP⊥DC，∵AD⊥DC，∴DC⊥面PAD.又DC在平面PCD上，故面PAD⊥面PCD.(2)∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(0,2，－1)，故|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝2，∴cos〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(PB,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))||\o(PB,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(10),5).21．(本小题满分12分)已知椭圆G：eq\f(x2,4)＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．解析：(1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(3).所以椭圆G的焦点坐标为(－eq\r(3)，0)，(eq\r(3)，0)．离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).(2)由题意知，|m|≥1.当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(3),2))).此时|AB|＝eq\r(3).当m＝－1时，同理可得|AB|＝eq\r(3).当|m|>1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－m，,\f(x2,4)＋y2＝1))得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(8k2m,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4k2m2－4,1＋4k2).又由l与圆x2＋y2＝1相切，得eq\f(|km|,\r(k2＋1))＝1，即m2k2＝k2＋1.所以|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋k2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(64k4m2,1＋4k22)－\f(44k2m2－4,1＋4k2))))＝eq\f(4\r(3)|m|,m2＋3).由于当m＝±1时，|AB|＝eq\r(3)，所以|AB|＝eq\f(4\r(3)|m|,m2＋3)，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB|＝eq