北师大版九年级上相似图形教案

第三章相似图形.成比例线段、目标导航了解两条线段的比的概念;X1.如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的 A比AB:CD=m:n,或与成一B2.若线段a:bc:d,则线段a,b,c,d叫做成比例线段（或比例线段）；a3.a3.一b二、基础过关；adbc在指定条件下可以互相转化，即比例式与等积式可以互相转化..若2x—5y=0，则y：x=.如果b=3,c=3厩,则a、b、c的第四比例项d为xyzxyz若——— 贝U357—」xyz.在一地图上，甲、乙两地的图上距离是 3cm,而两地的实际距离为1500m,那么这地图的三、能力提升TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"..ABAC一 一.若 ,且AB=12,AC=3,AD=5,则AE=ADAEAO：AB：AC=AO：AB：AC=\o"CurrentDocument"3 2.已知7I,那么下列式子成立的是 （xyA.3x=2y.xy=6C.D.-x.把abA.3x=2y.xy=6C.D.-x.把ab=2cd写成比例式，不正确的写法是A.a_d_c2badB.--2cbD.2a

d.已知线段x,y满足（x+y）：（x—y）=3：1,那么x：y等于（A.3：1 B.2：3 C.2：1D.3：2.已知直角三角形的两条直角边长的比为 a：b=1：2,其斜边长为475cm,那么这个三角TOC\o"1-5"\h\z形的面积是（ ）cm2.A.32 B.16 C.8D.4.等腰梯形ABCD的周长是104cm,AD//BC,且AD：AB：BC=2：3：5,则这个梯形的中位线的长是（ ）cm.A.72.8 B.51 C.36.4 D.28.已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例？（1）a=16cm b=8cmc=5cm d=10cm（2）a=8cm b=5cm c=6cm d=10cm四、聚沙成塔在^ABC中，D是BC上一点，若AB=15cm,AC=10cm,且BD：DC=AB:AC,BD-DC=2cm,求BC的长.1线段的比（2）、目标导航“…一.『aca.合比性质：如果ac,那么——bd b

n0),那么TOC\o"1-5"\h\z.等比性质：如果ac m（bdn0),那么bd n、基础过关4ac. . ,ac1•若二二二3（b+d利，贝U丁;二_bd'bbd 2,已知ab2,(b+f丰0),则-a—e3 bfxy4x.已知 一,一TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2x 3y三、能力提升,ac一.， , -一.已知一一，则下列式子中正确的是 （ ）bdA.a：b=c2：d2 B.a：d=c：bC.a：b=(a+c)：(b+d)D.a：b=(a-d)：(b—d)5.若ac=bd(ac0）,则下列各式一定成立的是C.a：b=(a+c)：(b+d)D.a：b=(a-d)：(b—d)5.若ac=bd(ac0）,则下列各式一定成立的是A.adB. dC.D.abcd.已知a20,则a—bc的值为（A.B.-4C.2D..若3a-2b+c=3贝U2a+4b-3c的值是(A.14.42.7,,x8.右一2，设A=一y—xyzxyC=——-x贝UA,B,C的大小顺序为（ ）A>B>CAvBvCC>A>BAvCvBA>B>CAvBvCC>A>BAvCvB9.若点P在线段AB9.若点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，AB=10APBPAQ刍.求线段PQ的长.BQ2abc小〜、abc a2b3c土10.已知：—=—=一.求：⑴ 的值； ⑵ 的值.357 b ac11.已知:一,x2y11.已知:一,x2yx：y：z=2：3：4.求：(1) y⑵——2x3x 3y5z/、X2y3z⑶ 3x2yzbc512.若二——,且2a—b+3c=21.试求12.若4 6四、聚沙成塔bccaabbc13.已知实数a,b,c满足T七三’求丁的值・

.平行线分线段成比例(1)如图，任意画两条直线11、12,再画三条与11、12相交的平行线13、14、15,分别量度13、14、15在11上截得的两条线段AB、BC和在12上截得的两条线段DE、EF的长度，AB：BC与DE：EF相等吗？任意平移风再量度AB、BC、DE、EF的长度，AB:BC与DE:EF相等吗?(2)问题，AB:AC=DE：( ),BC：AC=()：DF.(3)归纳总结：平行线分线段成比例定理三条 越两条直线，所得的 线段的比例1如图，若AB=3cm,BC=5cm,EK=4cm,写出_EK=KF三条 越两条直线，所得的 线段的比ABAC。求FK的长ABAC平行线分线段成比例定理推论思考：1、如果把图中11、12两条直线相交，交点A刚好落到13上，如图(1),所得的对应线段的比会2、如果把图中11、12两条直线相交，交点A刚好落到14上，如图(2),所得的对应线段的比会相等吗3、归纳总结：平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边延长线)，所得的 线段的比.相似多边形

图形的相似例1如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是 ( )例2一桌面的长a=1.25m,宽b=0.75m,那么长与宽的比是多少？(1)如果a=125cm,b=75cm,那么长与宽的比是多少？(2)如果a=1250mm,b=750mm,那么长与宽的比是多少小结：上面分别采用 m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的a的值是所以说,b两条线段的比与所采用的长度单位但求比时两条线段的长度单位必须例3已知：一地图的比例尺是1:32000000,量得到的图上距离大约为 3.5cm,求到的实际距离大约是多少km?图上距离分析：根据比例尺=…，可求出到的实际距离.实际距离【巩固练习】1、如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗2.如图，图形a〜f中，哪些是与图形(1)或(2)相似的？3、下列说确的是( )A.小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似A.小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似B.商店新买来的一副三角板是相似的C.所有的课本都是相似的C.所有的课本都是相似的D.国旗的五角星都是相似的【能力提升】1、如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽,⑴(小)长是m,宽是cm; (大)长是cm,宽是cm;,宽(2)(小)亡上宽

,宽(2)(小)亡(3)你由上述的计算，能得到什么结论吗2、在比例尺是1:8000000的中国政区”地图上，量得与之间的距离是 7.5cm,那么与之间的实际距离是多少？3、AB两地的实际距离为2500m,在一平面图上的距离是 5cm,那么这平面地图的比例尺是多少相似多边形如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形.' i■' i■问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等.【结论】：(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角对应边的比反之，如果两个多边形的对应角对应边的比那么这两个多边形几何语言：在ABC和AiBi(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角对应边的比反之，如果两个多边形的对应角对应边的比那么这两个多边形几何语言：在ABC和AiBiCi中AA；Bi;C Ci.ABAiBiBCBiCiACAiCi则ABC和AiBiCi相似(2)相似比：相似多边形(2)相似比：相似多边形的比称为相似比.问题：相似比为i时，相似的两个图形有什么关系结论：相似比为1时，相似的两个图形例1下列说确的是（ ）A.所有的平行四边形都相似A.所有的平行四边形都相似B.所有的矩形都相似C.所有的菱形都相似C.所有的菱形都相似D.所有的正方形都相似it例2、如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角和的大小和EH的长度x.it214.311门34-cmi【巩固练习】30cm,求两地的实际距离.1.在比例尺为130cm,求两地的实际距离.2.如图所示的两个直角三角形相似吗 ？为什么？3.如图所示的两个五边形相似，求未知边a3.如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的长度.【能力提升】1. 4ABC1. 4ABC与4DEF相似，且相似比是则4DEF与4ABC与的相似比是（）.2A.一2A.一33B.—24D.一9.下列所给的条件中，能确定相似的有（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形.A.3个B.4个C.5个D.6个.已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是 10Gm和4cm,如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm,那么四边形A1BQD1中最长的边长是多少？.如图，AB//EF//CD,CD=4,AB=9,若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长..探索三角形相似的条件.相似三角形TOC\o"1-5"\h\z派1.在相似多边形中，最为简简单的就是相似三角形 ^X2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形 .相似三角形对应边的比叫做相似比 .X3.全等三角形是相似三角的特例，这时相似比等于1.注意:证两个相似三角形，与证两个全等三角形一样，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 ^X4.相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 ^X5.相似三角形周长的比等于相似比 .X6.相似三角形面积的比等于相似比的平方 ..探索三角形相似的条件X1.相似三角形的判定方法：一般三角形 直角三角形基本定理：平行于三角形的一边且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等； ①一个锐角对应相等；②两边对应成比例，且夹角相等； ②两条边对应成比例：③三边对应成比例. a,两直角边对应成比例；b.斜边和一直角边对应成比例.DD相似三角形在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.在4ABC与^ABC中，如果/A=/A； /B=/B',70=70；且-AB--BC--CA-k.ABB00A我们就说^ABC与△A'B'C相似，记作△ABCs^ABC，，k就是它们的相似比.反之如果△ABCs^ABC，,贝相似三角形在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.在4ABC与^ABC中，如果/A=/A； /B=/B',70=70；且-AB--BC--CA-k.ABB00A我们就说^ABC与△A'B'C相似，记作△ABCs^ABC，，k就是它们的相似比.反之如果△ABCs^ABC，,贝U有/A= ,/B= /0= ,且 ABB00ABCCA问题：如果k=1,这两个三角形有怎样的关系【巩固练习】如图，在4AB0中，DE//B0,A0=4,AB=3,E0=1.求AD和BD.【能力提升】1.如图，△AB0s^aed,其中DE//B0,找出对应角并写出对应边的比例式.2.如图，△AB0s^aed,【反思归纳】三角形相似的预备定理其中/ADE=/B,找出对应角并写出对应边的比例式..这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似.相似比是带有顺序性和对应性的：如△AB0s△AB0"的相似比工器检一么△AB'0's^AB0的相似比就是ABABB0B00A1—— 它们的关系是互为倒数.0AkC思考：如图，在4AB0中，DE//B0,DE分别交AB,A0于点D,E。问题：⑴由De//bc”的条件可得到哪些线段的比相等 ？（2）根据以前学习的知识如何把 DE移到BC上去？（作辅助线EF//AB）你能证明AE:AC=DE:BC吗？⑶写出AABC^△ADE的证明过程。归纳总结：判定三角形相似的 （预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。例1如图，在4ABC中，DE//BC,AD=EC,DB=1cm,AE=4cm,BC=5cm,求DE的长.一 .ADAE分析：由DE//BC,可得△ADEs^ABC,再由相似三角形的性质，有 ，又由AD=EC可求出AD的ABACDEAD长，再根据————求出DE的长.BCAB【巩固练习】1.下列各组三角形一定相似的是 （ ）A.两个直角三角形B.两个钝角三角形 C.两个等腰三角形D.两个等边三角形2.如图，DE//BC,EF//AB,则图中相似三角形一共有（ ）A.1对B.2对C.3对D.4对3、如图，AB//EF//CD,图中共有对相似三角形，写出来并说明理由。E4.如图，在OABCD中，EF//AB,DE:EA=2:3,EF=4,求CD【能力提升】1.如图，DE//BC,(1)如果AD=2,DB=3,求DE:BC的值；(2)如果AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,求AE和BC2、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.（设网球是直线运动）相似三角形、选择题1.如图所示，在4ABC中，DE//BC,若AD=1,DB=2,()则DECDDBDBCC.3.如图所示，在^ABC中/BAC=90°,D是BC中点，AE，AD交CB延长线于E点，则下列结论2A.31B.4C.-3D.-22.如图所示,△ABC中DE//BC,若AD:DB=1：2,则下列结论中正确的是（ ）ADE的面积ABC的面积-3正确的是（ ）A.MEA△ACBB.AAEE^△ACD5.若P是Rt^ABC的斜边BC上异于B,C的一点，过点P作直线截△ABC,截得的三角形与原4ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（ ）A,BDBCC.3.如图所示，在^ABC中/BAC=90°,D是BC中点，AE，AD交CB延长线于E点，则下列结论2A.31B.4C.-3D.-22.如图所示,△ABC中DE//BC,若AD:DB=1：2,则下列结论中正确的是（ ）ADE的面积ABC的面积-3正确的是（ ）A.MEA△ACBB.AAEE^△ACD5.若P是Rt^ABC的斜边BC上异于B,C的一点，过点P作直线截△ABC,截得的三角形与原4ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（ ）A,三BCB.12D.13C.ABAEi^△ACED.AAEC^△DAC4.如图所示，在△ABC中D为AC边上一点，若/DBC=/A,BCV6,AC=3,则CD长为（ ）(8.如图所示，4ABC中，ADLBC于D,对于下列中的每一个条件:9.如图9所示，身高1.6m的小华站在距路灯杆5m的C点处，测得她在灯12ADE的周长ABC的周长ADE的周长ABC的周长A.13B.2C.2D.刍2C.3条D.4条6.如图所示，4ABC中若DE//BC,EF//AB,则下列比例式正确的是)c.AI①/B+/DAC=90;②/B=/DAC;③CD：AD=AC:AB;④AB2=A.3个B.2个C.1个D.0个、填空题A.1条B.2条A.ADDBD.五ABDEBC光下的影长CD为2.5m,则路灯的高度AB为BFB.——BCEFADBFFCDEBC10.如图所示，4ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点，且AE1EB6..一 .AF射线CF交AB于E点，则——等于FD11.如图所示，4ABC中，DE//BC,AE：EB=2：3,若^AED的面积是4m2,则四边形DEBC的面积为12.若两个相似多边形的对应边的比是5:4,则这两个多边形的周长比是EAD三、解答题13.已知，如图，4ABC13.已知，如图，4ABC中，AB=2BC=4D为BC边上一点，BD=1.(1)求证：△ABM△CBA;(2)作(2)作DE//AB交AC于点E,请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长.15.如图所示，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个 △ABC,试在这个网格上画一个与4ABC相似，且面积最大的△ABC1(A1,B1,。三点都在格点上)，并求出这个三角形的面积.18.已知：如图,△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点印与B,C18.已知：如图,重合)，/ADE=45.(1)求证：△ABM△DCE;(2)设BD=x,AE=v，求y关于x的函数关系式;

(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长.19.已知：如图，4ABC中，AB=4,D是AB边上的一个动点，DE//BC,连结DC,设^ABC的面积为S,4DCE的面积为S'.(1)当D为AB边的中点时，求S'：S的值；(2)若设ADx,Sy,试求y与x之间的函数关系式及x的取值围.S.相似三角形判定定理的证明.黄金分割4.2黄金分割一、目标导航.黄金分割定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果AC:AB=BC:AC,那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.2.ACAB2.ACAB0.618.、基础过关.若点P是AB的黄金分割点，则线段AP、PB、AB满足关系式.黄金矩形的宽与长的比大约为 精确到0.001)..电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m,试计算主持人应走到离 A点至少m处？如果他向B点再走m,也处在比较得体的位置.(结果精确到0.1m)三、能力提升ac.有以下命题：①如果线段d是线段a,b,