高考卷-15全国卷二数学卷

高考卷-15全国卷二数学卷2015全国卷二数学满分:班级：_________

姓名：_________

考号：_________

一、单选题（共12小题）

1．已知集合，，则（

）

A．B．C．D．2．若为实数，且，则（

）

A．-4B．-3C．3D．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（

）

A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．已知，，则（

）

A．-1B．

0C．1D．25．设是等差数列的前项和，若，则（

）

A．5B．7C．9D．116．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（

）

A．B．C．D．7．已知三点，则外接圆的圆心到原点的距离为（

）

A．B．C．D．8．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为14，18，则输出的为（

）

A．0B．2C．4D．149．已知等比数列满足，，则（

）

A．B．C．D．10．已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点。若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（

）

A．B．C．D．11．如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记，将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为（

）

A．B．C．D．12．设函数，则使得成立的的取值范围是（

）

A．B．C．D．二、填空题（共4小题）

13.已知函数

的图像过点，则=________。14.若x，y满足约束条件，则的最大值为_________。15.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为_________。16.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则__________。三、解答题（共8小题）

17.△ABC中D是BC上的点，AD平分BAC，BD=2DC.（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求.18.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了个用户，根据用户对其产品的满意度的评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表。B地区用户满意度评分的频数分布表（Ⅰ）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度，（不要求计算出具体值，给出结论即可）

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度评分分为三个等级：

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大，说明理由。19.如图，长方体中，，，点E，F分别在

上，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；

（Ⅱ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值。20.已知椭圆

的离心率为，点在C上．（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）直线不经过原点O，且不平行于坐标轴，与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线的斜率乘积为定值。21.已知．（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当有最大值，且最大值大于时，求a的取值范围.22.如图O是等腰三角形ABC内一点，圆O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点。（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）若AG等于圆O半径，且

，求四边形EDCF的面积。23.在直角坐标系中，曲线（t为参数，且

），其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线（Ⅰ）求与交点的直角坐标；

（Ⅱ）若与相交于点A，与相交于点B，求最大值．24.设

均为正数，且．证明：

（Ⅰ）若

，则；

（Ⅱ）是的充要条件．答案部分1.考点：集合的运算试题解析：

由题意在数轴上表示出集合与集合，如图

所以，，选A答案：A

2.考点：复数综合运算试题解析：

由，得，所以，选D答案：D

3.考点：变量相关试题解析：

对于选项A：从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；

对于选项B：2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；

对于选项C：从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；

对于选项D：2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，选D答案：D

4.考点：平面向量坐标运算试题解析：，选B答案：B

5.考点：等差数列试题解析：

由题意得：，所以所以，，选A答案：A

6.考点：空间几何体的表面积与体积试题解析：

如图所示截面为，设边长为，则截取部分体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，选D答案：D

7.考点：圆的标准方程与一般方程试题解析：因为外接圆的圆心在直线的垂直平分线上，即直线上，可设圆心，由得，解得，圆心坐标为所以圆心到原点的距离，选B答案：B

8.考点：算法和程序框图试题解析：

输入第一步成立，执行，不成立执行第二步成立，执行，成立执行，第三步成立，执行，成立执行第四步成立，执行，成立执行第四步成立，执行，不成立执行第五步不成立，输出.选B答案：B

9.考点：等比数列试题解析：

设公比为，由题意得，解得：，所以答案：C

10.考点：空间几何体的表面积与体积试题解析：

如图，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时故，则球的表面积为，选C．答案：C

11.考点：函数模型及其应用试题解析：由已知得，当点在边上运动时，即时，；

当点在边上运动时，即时，，当时，；

当点在边上运动时，即时，，从点的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线性，选B答案：B

12.考点：函数综合试题解析：

当时，，所以在单调递增，因为函数为偶函数，所以在单调递减，所以，，即，平方得解得，所求x的取值范围是．选A．答案：A

13.考点：函数及其表示试题解析：

把代入得：

答案：-2

14.考点：线性规划试题解析：

作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．由，解得，即将代入目标函数，得即的最大值为．答案：8

15.考点：双曲线试题解析：

设双曲线方程为，把点代入，可得，所以所以双曲线的标准方程是．故答案为：．答案：

16.考点：导数的概念和几何意义试题解析：

因为，所以在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为，即．由于切线与曲线相切，联立得，又两线相切有一切点，所以有，解得．故答案为：．答案：8

17.考点：三角函数综合试题解析：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：

，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；

（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=．答案：（Ⅰ）（Ⅱ）

18.考点：频率分布表与直方图试题解析：

（Ⅰ）

通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6得P（）=（0.005+0.02）×10=0.25∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析

19.考点：立体几何综合试题解析：

（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；

（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

20.考点：圆锥曲线综合试题解析：

（1）椭圆C：，（）的离心率，点（2，）在C上，可得，解得，，所求椭圆C方程为：

（2）设直线：，，A，B，M，把直线代入可得，故=，=，于是在的斜率为：==，即．∴直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值．答案：（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

21.考点：导数的综合运用试题解析：（Ⅰ）的定义域为，所以，若，则，∴函数在上单调递增，若，则当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当时，在上无最大值；

当时，在取得最大值，最大值为，∵,∴，令，∵在单调递增，，∴当时，，当时，，∴的取值范围为答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（0，1）

22.考点：圆试题解析：

（Ⅰ）如图所示，连接，则即.因为，所以，所以，即.因为，所以.因为是等腰三角形，所以，所以，所以.（Ⅱ）设的半径为，.在中，.，解得.在中，.，，，是等边三角形.连接，，，.在，..在中，.四边形的面积为.答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

23.考点：曲线参数方程试题解析：

（Ⅰ）将曲线化为直角坐标系方程,.联立解得.所以交点坐标为，.（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中

.因此的极坐标为，的极坐标为.所以.当时，取得最大值，最大值为.答案：（Ⅰ），（Ⅱ）4

24.考点：不等式证明试题解析：

（Ⅰ）由题意可得，，而，，即.（Ⅱ）

答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析

以下资料为赠送资料：《滴水之中见精神》主题班会教案活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：

1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”

主持人口述谜语：

“双手抓不起，一刀劈不开，

煮饭和洗衣，都要请它来。”

主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”

主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。

水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”

甲：如果没有水，我们人类就无法生存。

小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。

花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。

主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》

竹板一敲来说话，水的用处真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，

煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。

栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；

鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；

采煤发电要靠它，京城美化更要它。

主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？

甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。

乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。

丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。

2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？

（1）（生）：我要节约用水，保护水源。

（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。

（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。

3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。

（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。

（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。

（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）

（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？

主持人：可以，大家欢迎！请看小品《这又不是我家的》

大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”

旁白：“那又是谁家的呢？”

主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？

甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。

乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。

主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？

齐：主动关好。

小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？

主持人：可以。

小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，