高中概率论教学思索

高中概率论教学思考在数学的历史进展过程中消灭了3次重大的飞跃．第一次飞跃是从算数过渡到代数，其次次飞跃是常量数学到变量数学，第三次飞跃就是从确定数学到随机数学．现实世界的随机本质使得各个领域从确定性理论转向随机理论成为自然；而且随机数学的工具、结论与方法为解决确定性数学中的问题开拓了新的途径．因此可以说，随机数学必将成为将来主流数学中的亮点之一．概率论作为随机数学中最基础的部分，已经成为高校中很多专业的同学所必修的一门基础课．但是教学过程中存在的一个主要问题是：同学们往往已经习惯了确定数学的学习思维方式，认为概率中的基本概念抽象难以理解，思维受限难以开放．这些都使得同学对这门课望而却步，因此如何在概率论的教学过程中培育同学学习随机数学的思维方法就显得格外重要．本文拟介绍我们在该课程教学中的改革尝试，当作引玉之砖。1将数学史融入教学课堂在概率论教学过程当中，介绍相关的数学史可以挂念同学更好地生疏到概率论不仅是“阳春白雪”，而且还是一门应用背景很强的学科．比如说概率论中最重要的分布——正态分布，就是在18世纪，为解决天文观测误差而提出的．在17、18世纪，由于不完善的仪器以及观测人员缺乏阅历等缘由，天文观测误差是一个重要的问题，有很多科学家都进行过争辩．1809年，正态分布概念是由德国的数学家和天文学家德莫弗（DeMoivre）于1733年首次提出的，德国数学家高斯（Gauss）领先将正态分布应用于天文学争辩，指出正态分布可以很好地“拟合”误差分布，故正态分布又叫高斯分布．如今，正态分布是最重要的一种概率分布，也是应用最广泛的一种连续型分布．在1844年法国征兵时，有很多符合应征年龄的人称自己的身凹凸于征兵的最低身高要求，因而可以免服兵役，这里面肯定有人为了躲避兵役而说谎．果真，比利时数学家凯特勒(A.Quetlet，1796—1874)就是利用身高听从正态分布的法则，把应征人的身高的分布与一般男子的身高分布相比较，找出了法国2000个为躲避征兵而假称低于最低身高要求的人[1]．在高校阶段，我们不仅期望通过数学史在教学课堂中的呈现来引起同学学习概率论这门课程的爱好，更应侧重让同学通过爱好去深化挖掘数学史，感受随机数学的思想方法[2]．我们知道概率论中的古典概型要求样本空间有限，而几何概型恰好可以消退这一条件，这两种概型同学理解起来都很简洁．但是继而消灭的概率公理化定义，同学们总认为抽象、不易接受．尤其是概率公理化定义里消灭的(T代数。这一概念：设Q为样本空间，若Q的一些子集所组成的集合？满足下列条件：(1)Q6?;(2)若A6?,则A6?;(3)若6nA?,n=1,2,??,则6s=nnAU1？，则我们称初Q的一个0代数.为了使同学更好的理解这一概念，我们可以引入几何概型的一点历史来介绍为什么要建立概率的公理化定义，为什么需要0代数.几何概型是19世纪末新进展起来的一种概率的计算方法，是在古典概型基础上进一步的进展，是等可能大事的概念从有限向无限的延长．1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”[3，]矛头直指几何概率概念本身．这个悖论是：给定一个半径为1的圆，随机取它的一条弦，问：弦长不小于3的概率为多大？对于这个问题，假如我们假定端点在圆周上均匀分布，所求概率等于1/3；若假定弦的中点在直径上均匀分布，所求概率为1/2；又若假定弦的中点在圆内均匀分布，则所求概率又等于1/4．同一个问题竟然会有3种不同的答案，缘由在于取弦时接受了不同的等可能性假定！这3种答案针对的是3种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的．因此在使用“随机”、“等可能”、“均匀分布”等术语时，应明确指明其含义，而这又因试验而异．也就是说我们在假定端点在圆周上均匀分布时，就不能考虑弦的中点在直径上均匀分布或弦的中点在圆内均匀分布所对应的大事．换句话讲，我们在假定端点在圆周上均匀分布时，只把端点在圆周上均匀分布所对应的元素看成为大事.现在再来理解b代数的概念：对同一个样本空间Q,?1={?,磔它的一个（T代数；设A为Q的一子集，则？2={?,A,A,创为Q的一个。代数；设B为Q中不同于A的另一子集，则？3={?,A,B,A,B,AB,AB,BA,AB,也做Q的一个0代数；Q的全部子集所组成的集合同样能构成Q的一个0代数.当我们考虑?2时，就只把元素？2的元素？，A,A,Q当作大事，而B或AB就不在考虑范围之内.由此。代数的定义就较易理解了.2广泛运用案例教学法案例与一般例题不同，它有产生问题的实际背景，并能够为同学所理解．案例教学法是将案例作为一种教学工具，把同学引导到实际问题中去，通过分析和争辩，提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法．我们可以从直观性、趣味性和易于理解的角度把概率论基础学问加以介绍．我们在讲条件概率一节时可以先介绍一个好玩的案例——“玛丽莲问题”：十多年前，美国的“玛利亚幸运抢答”电台公布了这样一道题：在三扇门的背后（比如说1号、2号及3号）藏了两只羊与一辆小汽车，假如你猜对了藏汽车的门，则汽车就是你的．现在先让你选择，比方说你选择了1号门，然后主持人打开了剩余两扇门中的一个，让你看清楚这扇门背后是只羊，接着问你是否应当重新选择，以增大猜对汽车的概率？由于这个问题与当前电视上一些消遣竞猜节目很相像，同学们就很乐观地参与到这个问题的争辩中来．争辩的结果是这个问题的答案与主持人是否知道全部门背后的东西有关，这样就可以很自然的引出条件概率来．在这样吵闹的气氛里学习新的概念，一方面使得同学的乐观性高涨，另一方面让同学意识到所学的概率论学问与我们的日常生活是息息相关的，可以挂念我们解决很多实际的问题．因此在介绍概率论基础学问时，引进有关经典的案例会取得很好的效果．例如分赌本问题、库存与收益问题、隐私问题的调查、概率与密码问题、17世纪中美洲巫术问题、调查敏感问题、血液检验问题、1992年美国佛蒙特州州务卿竞选的概率决策问题，以及当前流行的福利彩票中奖问题，等等。概率论不仅可以为上述问题供应解决方法，还可以对一些随机现象做出理论上的解释，正由于这样，概率论就成为我们生疏客观世界的有效工具．比如说我们知道某个特定的人要成为伟人，可能性是微小的．之所以如此，一个缘由是由于某人的诞生是一系列随机大事的复合：父母、祖父母、外祖父母♦•…的结合、异性的两个生殖细胞的相遇，而这两个细胞又必需含有某些产生天才的因素．另一个缘由是婴儿诞生以后，各种偶然患病在整体上必需有利于他的成功，他所处的时代、他所受的训练、他的各项活动、他所接触的人与事以及物，都须为他供应很好的机会．虽然如此，各时代仍旧伟人辈出．一个人成功的概率虽然微小，但是几十亿人中总有佼佼者，这就是所谓的“必定寓于偶然之中”的一种含义．如何用概率论的学问解释说明这个问题呢？设某试验中大事A消灭的概率为£,0£1不管£如何小，假如把这试验不断独立重复做任意多次，那么A迟早会消灭1次，从而也必定会消灭任意多次．这是由于，第一次试验A不消灭的概率为（1?&”前n次A都不消灭的概率为1?（1?&,）mn趋于无穷大时，此概率趋于1,这表示A迟早消灭1次的概率为1.消灭A以后，把下次试验当作第一次，重复上述推理，可见A必定再消灭，如此连续，可知A必定消灭任意多次.因此，一个人成为伟人的概率当然格外小，但是千百万人中至少有一个伟人就几乎是必定的了[5]．3乐观开展随机试验随机试验是指具有下面3个特点的试验：（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的全部可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会消灭．在讲授随机试验的定义时，我们往往把上面3个特点一一排列以后，再举几个简洁的例子说明一下就结束了，但是在看过一期国外的科普短片以后，我们很受启发．节目内容是想验证一下：当一面涂有黄油，一面什么都没有涂的面包从桌上掉下去的时候，到底会哪一面朝上？令我们没有想到的是，为了让试验结果更具说服力，试验人员特地制作了给面包涂黄油的机器，以及面包投掷机，然后才开头做试验．且不论这个问题的结论是什么，我们观看到的是他们为了保证随机试验是在相同的条件下重复进行的，相当严谨地进行了试验设计．我们把此科普短片引入到课堂教学中，结合实例进行分析，并提出随机试验的3个特点，同学接受起来格外自然，整个教学过程也变得轻松开心．因此，我们在教学中可以利用简洁的工具进行试验操作，尽可能使理论学问直观化．比如全概率公式的应用演示、几何概率的图示、随机变量函数的分布、数学期望的统计意义、二维正态分布、高尔顿钉板试验等，把抽象理论以直观的形式给出，加深同学对理论的理解．但是我们不行能在有限的课堂时间内去实现每一个随机试验，因此为了有效地刺激同学的形象思维，我们接受了多媒体帮助理论课教学的手段，通过计算机图形显示、动画模拟、数值计算及文字说明等，建立一个图文并茂、声像结合、数形结合的生动直观的教学环境，从而拓宽同学的思路，有利于概率论基本理论的把握．与此同时，让同学在接受理论学问的过程中还能够体会到现代化教学的魅力，达到了传统教学无法实现的教学效果[6]．4引导同学主动探究传统的教学方式往往是老师在课堂上满堂灌，方法单一，只重视同学学问的积累．老师是教学的主体，侧重于教的过程，而忽视了教学是教与学互动的过程．相比较而言，现代教学方法更侧重于挖掘同学的学习潜能，以最大限度地发挥及进展同学的聪慧才智为追求目标．例如，在给出条件概率的定义以后，我们知道当P(A)0时，P(B|A)未必等于P(B).但是一旦P(B|A尸P(B)也就说明大事A的发生不影响大事B的发生.同样当P(B)0时，若P(A|B尸P(A),就称大事B的发生不影响大事A的发生．因此若P(A)0，P(B)0，且P(B|A)=P(B)与P(A|B尸P(A湎个等式都成立，就意味着这两个大事的发生与否彼此之间没有影响．我们可以让同学主动思考是否能够如下定义两个大事的独立性：定义1:设A,B是两个随机大事，若P(A)0,P(B)Q我们有P(B|A尸P(B)且P(A|B尸P(A),则称大事A与大事B相互独立.接下来，我们可以连续引导同学认真考察定义1中的条件P(A)0与P(B)0是否为本质要求？事实上，假如P(A)0,P(B)0,我们可以得到：P(B|A尸P(B)?P(AB尸P(A)P(B)?P(A|B)=P(A但是当P(A)=QP(B)=0时会是什么状况呢？由大事间的关系及概率的性质，我们知道AB?A，AB?B,因此P(AB)=0=P(A)P(B)等式仍旧成立.所以我们可以舍去定义1中的条件P(A)QP(B)Q即如下定义大事的独立性：定义2:设A,B为两随机大事，假如等式P(AB尸P(A)P(诚立，则称A，B为相互独立的大事，又称A，B相互独立．很明显，定义2比定义1更加简洁．在这个定义的查找过程中，我们不仅能够鼓舞同学乐观思考，而且可以很好地培育和熬炼同学提出问题、分析问题以及解决问题的力量，从而体会数学思想，感受数学的美．5结束语通过实践我们发觉，将数学史引入课堂既能让同学深化了解随机数学的形成与进展过程，又切实感受到随机数学的思想方法；把案例应用到教学当中以及在课堂上开展随机试验可以将概率论基础学问直观化，增加课程的趣味性