【九年级数学代数培优竞赛专题】专题13 巧解二次函数与图形面积综合题【含答案】

专题13巧解二次函数与图形面积综合题知识解读因动点产生的图形面积问题，是抛物线与三角形、四边形相结合的重要形式，解决这类问题常常用到以下技巧：（1）图形的面积割补；（2）利用平行线的性质作等积变形；（3）等量代换，即把面积之比转化为线段之比；（4）“等底，等高，等面积”由二推一，即以其中任意两个为条件，第三个为结论，命题总成立.培优学案典例示范例1如图13-1，已知抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标.【提示】（1）只需将A点，C点坐标代入解析式中即可；（2）思路一：△ACE的面积可由AC×h表示，因为AC固定，若要它的面积最大，则只需h最大，即点E到直线AC的距离最大，如图13-2，若设一条平行于AC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个公共点时，该点就是点E.不妨把这种方法形象的记忆为“平行切线法”。思路二：基于“分割图形”考虑.如图13-3，过点E作x轴的垂线，交AC于点F.设E（x，x2-4x＋3），则S△AEC=S△AEF＋S△CEF=EF，即△ACE的面积取决于EF的长。若把EF的长称为△ACE的“竖直高”，把A，C两点横坐标之差的绝对值称为△ACE的“水平宽”，则△ACE的面积可直接记为“×竖直高×水平宽”。思路三：基于“补全图形”考虑。但要分点E在x轴下方和上方两种情况讨论（为什么要分两种情况？），如图13-4，同时一定要搞清楚线段长度与点坐标的关系，长度是正的，要用大坐标减去小坐标，若不能区分，加上绝对值，请读者自行完成。【跟踪训练】1.如图13-5，抛物线交轴正半轴于点，交轴于点，点是线段方的抛物线上的一点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标。【提示】可用例1中的三种方法求解，即平行切线法；分割图形法；补全图形法.此个题还可连接，,具体的解答略，由读者自己完成。图13-5 2.如图13-6，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点分别是，，，点在上，以为顶点的抛物线过点，且对称轴交轴于点.连接，.点，为动点，设运动时间为秒.（1）填空：点坐标为；抛物线的解析式为.（2）在图13-6①中，若点在线段上从点向点以个单位/秒的速度运动，同时，点在线段上从点向点以个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动.当为何值时，为直角三角形？（3）在图13-6②中，若点在对称轴上从点开始向点以个单位/秒的速度运动，过点作，交于点，过点作于点，交抛物线于点，连接，.当为何值时，的面积最大？最大值是多少？图13-6(1)因为是抛物线的顶点，且抛物线的对称轴为直线，则点横坐标为；又点在矩形的边上，.点的纵坐标与点的纵坐标相等，为，所以点的坐标为；设抛物线的解析式为，将点C的坐标代入上式，即可求得的值；（2）中，不可能是直角，所以应分和两种情况分别计算，可选用锐角三角函数值不变法，也可以利用与两种不同对应方式的相似求解；（3）先求出直线解析式，便于根据点的坐标表示点的横坐标，点的横坐标及纵坐标，进而表示出相关线段的长度，△ACQ的面积可以看做是和的面积之和，采用“×竖直高×水平宽”来计算比较方便.例2如图13-7，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上，过点作轴的平行线交轴于点，交抛物线于另一点，直线交轴于点.（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（2）当时，求点的坐标.【提示】（2）设出坐标，然后求出直线的解析式，确定线段的长，根据抛物线的轴对称性确定点的坐标及长，然后求出两个三角形的面积，根据图形的面积关系列出关于点横坐标的方程求解。

跟踪训练已知直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过点，，点是抛物线与轴的另一个交点.（1）求这条抛物线的解析式及点的坐标；（2）设点是直线上一点，且，求点的坐标。【提示】（1）由直线解析式确定A，D两点坐标，代入抛物线解析式，求出b，c的值，再令y=0，求出点B的坐标；（2）在和中，它们的高都可视作点到直线的距离，所以面积的比可以转化为底边的比，即，显然，所以只需考虑点在线段上和点在线段的延长线上这两种情况，可过点作轴的垂线，通过构建相似三角形来求出点的坐标.例3如图13-8，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为（0，1），（2，0），（0，0），将此三角板绕原点逆时针旋转，得到三角形.（1）一抛物线经过点、、，求该抛物线的解析式；（2）设点是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点，使四边形的面积是面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【提示】1.四边形的面积是面积的倍，可以转化为四边形的面积是面积的倍.2.连接，四边形可以分割为两个三角形。3.如图13-9，过点向轴作垂线，四边形也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形。读者可继续思考：若点是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标，并求出四边形的最大面积.图13-9【跟踪训练】如图13-10，二次函数的图象交轴于、两点，并经过点，已知点坐标是，点的坐标是.（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及点的坐标；（3）该二次函数的对称轴交轴于点.连接，并延长交抛物线于点，连接，，求的面积；（4）抛物线上有一个动点，与，两点构成，是否存在？若存在，请求出点的坐标；若不存在.请说明理由.【提示】（3）由待定系数法可求出所在的直线解析式，与抛物线方程组成方程组求出点的坐标，利用的面积=的面积+的面积，求出的面积；（4）设点到轴的距离为，由求出的值，根据的正，负值求出点的横坐标即可求出点的坐标。

例4如图13-11，已知抛物线（、是常数，且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴的负半轴交于点，点的坐标为.（1），点的横坐标为（上述结果均用含的代数式表示）；（2）连接，过点作直线∥，与抛物线交于点点是轴上一点，坐标为，当，，三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点是轴下方的抛物线上的一动点，连接，.设的面积为.①求的取值范围；②若的面积为正整数，则这样的共有个.图18-11【提示】1.用表示以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现.当，，三点共线时，∽，∽.3.求面积的取值范围，要分两种情况计算，在上方或下方。4.求得了的取值范围，然后罗列从经过运动到的过程中，面积的正整数值，再数一数个数.注意排除点，，三个时刻的值。【跟踪训练】如图13-12，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点的纵坐标为.点是直线下方的抛物线上的一动点（不与点、重合），过点P作x轴的垂线交直线于点，作于点.（1）求，及的值；（2）设点的横坐标为.①用含的代数式表示线段的长，并求出线段长的最大值；②连接，线段把分成两个三角形，是否存在适合的的值，使这两个三角形的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由.【提示】1.第（1）题由于∥轴，把转化为它的同位角。2.第（2）题中，，第（1）题已经做好了铺垫。图13-123.与是同底边的两个三角形，将面积比转化为对应高的比。4.两个三角形的面积比为，要分两种情况讨论.【竞赛链接】例5如图13－13，在平面直角坐标系中，A是抛物线上的一个动点，且点A在第一象限内，AE⊥y轴于点E，点B的坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连接BD，设线段AE的长为m，△BED的面积为S．（1）当m＝时，求S的值；（2）求S关于m（m≠2）的函数解析式；（3）①若S＝时，求的值；②m＞2时，设＝k，猜想k与m的数量关系并证明．【提示】（1）先由m＝可求得点A的坐标及AE，由点B的坐标可求得BE、OE，再由△ABE∽△CBO求出CO，根据轴对称的性质求出DO的长度，从而求得△BED的面积．（2）当0＜m＜2时，点C在x轴正半轴，△BED在y轴左侧；当m＝2时，AB//x轴，此时点C和点D不存在，从而△BED不存在；当m＞2时，点C在x轴负半轴，△BED在y轴右侧，故此问应分两种情况求解．【跟踪训练】如图13－14，二次函数（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x＝，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（O，2），直线AC交抛物线于点B，连接OA，OB，OD，BD．（1）求该二次函数的解析式及点B的坐标；（2）求坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E坐标；（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的？【提示】（2）由相似三角形的性质及旋转的性质就可以得出E的坐标；（3）分情况讨论当点B落在FD的左下方，点B，D重合，点B落在OD的右上方，由三角形的面积公式和菱形的性质的运用就可以求出结论．培优训练【直击中考】1．★如图13－15，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（－1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．2．★★如图13－16，直线AB的解析式为y＝2x＋4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，－4）．（1）求抛物线解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则与是否存在8倍的关系？若存在，写出F点坐标．【挑战竞赛】1．★★如图13－17，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点（1，－1），且对称轴为直线x＝2，点P、Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位于对称轴左侧，PA垂直于对称轴于点A，QB垂直于对称轴于点B，且QB＝PA＋1，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）；（3）请探究PA＋QB＝AB是否成立，并说明理由；（4）抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0）经过Q、B、P三点，若其对称轴把四边形PAQB分成面积比为1：5的两部分，直接写出此时m的值．2．★★★如图13－18，