数值分析课件：向量和矩阵范数

§1向量和矩阵范数/*NormsofVectorsandMatrices*/——为了误差的度量向量范数/*vectornorms*/定义

Rn空间的向量范数

||·||对任意满足下列条件：（正定性

/*positivedefinite*/)对任意(齐次性

/*homogeneous*/)（三角不等式

/*triangleinequality*/)常用向量范数：==niixx11||||||v==niixx122||||||vpnipipxx/11||||||==v||max||||1inixx=v注：§1NormsofVectorsandMatrices–VectorNorms定义向量序列收敛于向量是指对每一个1in都有。可以理解为定义若存在常数C>0

使得对任意有,则称范数||·||A

比范数||·||B强。定义若范数||·||A比||·||B

强，同时||·||B

也比||·||A

强，即存在常数C1、C2

>0使得，则称||·||A和||·||B等价。定理Rn

上一切范数都等价。可以理解为对任何向量范数都成立。§1NormsofVectorsandMatrices–MatrixNorms矩阵范数/*matrixnorms*/定义

Rmn空间的矩阵范数

||·||对任意满足：（正定性

/*positivedefinite*/)对任意(齐次性

/*homogeneous*/)（三角不等式

/*triangleinequality*/)(4)*||AB||||A||·||B||

（相容

/*consistent*/

当

m=n

时)Ingeneral,ifwehave||AB||

||A||·||B||,thenthe3normsaresaidtobeconsistent.Ohhaven’tIhadenoughofnewconcepts?WhatdoIneedtheconsistencyfor?Whenyouhavetoanalyzetheerrorboundof

AB–imagineyoudoingitwithoutaconsistentmatrixnorm…§1NormsofVectorsandMatrices–MatrixNorms常用矩阵范数：Frobenius范数—

向量||·||2的直接推广

对方阵以及有利用Cauchy不等式可证。算子范数/*operatornorm*/

由向量范数||·||p导出关于矩阵A

Rnn

的p范数:则特别有：（行和范数）（列和范数）（谱范数/*spectralnorm*/

）矩阵ATA的最大特征根/*eigenvalue*/HW:p.106#18,#20,#21§1NormsofVectorsandMatrices–MatrixNorms注：

Frobenius范数不是算子范数。

我们只关心有相容性的范数，算子范数总是相容的。

即使A中元素全为实数，其特征根和相应特征向量/*eigenvector*/

仍可能是复数。将上述定义中绝对值换成复数模均成立。若不然，则必存在某个向量范数||·||v

使得对任意A

成立。Counterexample?谱半径/*spectralradius*/定义矩阵A的谱半径记为(A)=，其中i

为

A

的特征根。ReIm(A)§1NormsofVectorsandMatrices–SpectralRadius定理对任意算子范数||·||有证明：由算子范数的相容性，得到将任意一个特征根所对应的特征向量代入定理若A对称，则有证明：A对称若是A

的一个特征根，则2

必是A2

的特征根。又：对称矩阵的特征根为实数，即2(A)为非负实数，故得证。对某个

A

的特征根成立所以2-范数亦称为谱范数。§1NormsofVectorsa