高三数学一轮复习大题专练《数列中的恒成立问题（一）》突破解析_第1页
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一轮复习大题专练31—数列（恒成立问题）1．已知数列中，，．（1）求的通项公式；（2）数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数．解：（1）由，可得，即有，即数列是首项为，公比为3的等比数列，则，则；（2），则，，两式相减可得，所以，由恒成立，可得，则最小的整数为4．2．若数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以，当，时，所以，所以数列为等比数列，首项为，公比为2，所以；（2）解：因为，所以，因恒成立，所以恒成立，当为偶数时，恒成立，所以，设，由于，所以，当时，，所以，当为奇数时，，若，则有，若，则有，令，由于，所以，综上，，即实数的取值范围是，．3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣，且4Sn+1＝3Sn﹣9（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足3bn+（n﹣4）an＝0（n∈N*），记{bn}的前n项和为Tn，若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．解：（Ⅰ）由4Sn+1＝3Sn−9可得4Sn＝3Sn−1−9（n≥2），两式作差，可得：4an+1＝3an，∴，很明显，，所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，其通项公式为：．（Ⅱ）由3bn+（n−4）an＝0，得，，，两式作差可得：＝＝，则．据此可得恒成立，即λ（n−4）+3n≥0恒成立．n＝4时不等式成立；n＜4时，，由于n＝1时，故λ≤1；n＞4时，，而，故：λ≥−3；综上可得，{λ|−3≤λ≤1}．所以．4．已知等差数列满足，，其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．（1）求数列、的通项公式；（2）设的前项和为，求；（3）设，的前项和为，求证：恒成立，求实数的最大值．解：（1）数列的首项为，公差为的等差数列，数列满足，，整理得：，解得，所以．递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．所以，解得或舍去），故，（2）由（1）得：令，所以①，②，①②得：，故．（3）由于，所以，由于恒成立，即恒成立，故，由于函数为增函数，故，所以．5．已知数列满足，且，．（1）求的通项公式；（2）设，求使不等式对一切且均成立的最大整数．解：（1）数列满足，且，，整理得：，，故猜想，证明如下：（1）当时，显然成立；（2）当时，，当时，，即当时，猜想成立，所以．（2）由题意得对，恒成立，记，则．，，即是随的增大而增大，的最小值为，，所以．6．已知数列的前项和满足且．数列满足．（1）当时，求数列的前项和；（2）若对一切都有，求的取值范围．解：（1）数列的前项和满足①，当时，解得．当时，②，①②得：，整理得（常数），故数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，数列满足，当时，，所以①，②，①②，整理得，解得．（2）由，可得，①当时，由，可得，，所以，所

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