人教大衍求一术课件

大衍求一术

人教大衍求一术课件1什么是大衍求一术？★所谓“大衍求一术”,是一种解一次同余式或联立一次同余式组的方法：简单说，就是对Bx≡1(modA)求整数x,其中A、B是给定的互质自然数,在《数学九章》里A称为定母,B称为衍数,x称为乘率。如果A<B,则先以A除B,得余数B1(古算书中称为奇余),然後求整数

x

使其满足B1x≡1(modA)★最早出现在《孙子算经》（公元400年左右）中的“物不知其数”是经典的一次同余式题，以后在许多古算书中有不少类似的实用题出现；南宋数学家秦九韶在《数学九章》（又称《数书九章》，公元1247年）里总结前人关于天文历法推算上元积年的研究成果，系统提出了这类问题的通解方法，称为“大衍求一术”。什么是大衍求一术？2秦九韶对“大衍求一术”的具体运算方法表述为：大衍求一数云︰置奇右上，定居右下，立天元一于左上；先以右上除右下，所得商数与左上一相生，入左下。然后乃以右行上下，以少除多，递互除之，所得商数随即递互累乘，归左行上下；须使右上末后奇一而止，乃验左上所得，以为乘率。……sb=1衍数B(或奇余B1)sa=0定母A上面这段文字看不懂不要紧，后面实例说明秦九韶对“大衍求一术”的具体运算方法表述为：大衍求一数云︰置3例1定母a=15奇余b=7701572115÷7，商数2×1+0，记入左下

余数1，记入右下7÷1，商数6×2+1=13记入左上

余1，记入右上（b≠0）右上“奇一而止”左上13

即为乘率

7×13=15×6+1左图MathStudio计算单sb=13即乘率注意：右上不能为0，最后必须止于1121例1定母a=15奇余b=77715÷7，4例2定母a=256奇余b=8181025681313331337911791256÷81=33×1+0=3记入左下余13记入右下81÷13=66×3+1=19记入左上余3记入右上13÷3=44×19+3=79记入左下余1记入右下3÷1=22×79+19=177记入左上余1记入右上81×177=256×56+1注意：右上不能为0，最后必须止于1例2定母a=256奇余b=81815例3定母a=337奇余b=25612560337256181131814132531253337÷256=11×1+0=1记入左下余81记入右下256÷81=33×1+1=4记入左上余13记入右上81÷13=66×4+1=25记入左下余3记入右下13÷3=44×25+4=104记入左上余1记入右上256×104=337×79+1例3定母a=337奇余b=25616例4定母a=256衍数b=337大衍求一术计算时，要求a>b如果a<b，则b1=mod(b,a)以b1替代bmod(337,256)=81原题化为

定母a=256奇余b1=81与例2相同（下略）例4定母a=256衍数b=3377通过例1～例4的演算，对前面引出的那段古文的含意会有所了解并悟出大衍求一术的计算诀窍了吧？初始状态：

要求a>bb≠0右列上下两数辗转相除当右下>右上时，所得商数与左上相乘加

左下，记入左下当右上>右下时，所得商数与左下相乘加

左上，记入左上当右上>1,右下=1时，

为了mod(右上，右下）≠0

取商数=（右上-1）/1当

右上为1，计算结束，左上即为所求乘率衍数b(或奇余b1)0定母a置奇右上，定居右下，立天元一于左上先以右上除右下，所得商数与左上一相生，入左下然后乃以右行上下，以少除多，递互除之，所得商数随即递互累乘，归左行上下须使右上末后奇一而止，乃验左上所得，以为乘率通过例1～例4的演算，对前面引出的那段古文的含意会有所了解并8大衍求一术有什么神奇之处？我们通过一个比较复杂的同余式题略窥一斑秦九韶《数学九章》的“古历会积”里，涉及计算9253x≡1（mod225600）如果不用大衍求一术，怎么求解呢？首先能想到的是用简单易行的“笨办法”-穷举法在联想扬天R4900d台式机上主频3.3GHz内存4GB

CPUIntelCorei5-4590，Matlab5计算过程耗时976.662秒（超过16分钟）在同一台式机上Matlab5按大衍求一术编程计算计算过程耗时0.032秒穷举法计算本题至少约需12亿次以上，大衍求一术仅需12次辗转相除和相应计算大衍求一术简化了运算过程，大大提升了求解速度这在古代使用筹算的年代尤为重要大衍求一术有什么神奇之处？9穷举法计算9253*x=225600*m+1联想扬天R4900d台式机CPUIntelCorei5-4590，Matlab5耗时976.662秒台式机大衍求一术计算耗时0.032秒，相差3万多倍穷举法计算9253*x=225600*m+110iPad2MathStudio（穷举法未能通过）按大衍求一术手工计算12次辗转相除运算过程的数据如左图每次辗转相除所得商数、余数按规定的计算规则记入后页框图这样的计算在没有电脑和计算器的古代也是很费时费力的iPad2MathStudio119253

02256009253243528219724352821977313318667313318661954654011954654015126417512641710679134106791345288311727171528831以上是运用大衍求一术手工计算9253*x=225600*m+1全过程的数据框图，与MathStudio的编程计算结果完全符合9253912iPad2用大衍求一术编程解：9253*x=225600*m+1答案：x=172717m=7084耗时：2ms循环计算次数t=12

在iPad上穷举法计算未能通过，可能是内存不堪重负吧iPad2用大衍求一术编程解：9253*x=22560013大衍求一术算出的乘率究竟是个什么数？s=1bstrt=10ast-1rt-1

左图是起始状态右图是终止状态右列上下两数每次辗转相除，得商数q,余数r,经t次计算后

以此逆推到起始状态，即得证st=qt×st-1+st-2如果得到b×st

≡1(moda)网络上可以查到许多有关用现代通用数学语言符号全面深入探讨大衍求一术的资料，给出了大衍求一术的证明，例如《秦九韶大衍术与高斯<算术探讨>》（沈康身）论[大衍求一术]（未知作者）《大衍求一术与二元一次不定方程》（文耀光）等有兴趣请查阅，在此不赘述。大衍求一术算出的乘率究竟是个什么数？14★秦九韶（1202～1261）的算法非常严密，但他没有对这一算法给出证明。到18、19世纪欧拉（1707～1783）和高斯（1777～1855）分别对一次同余式组进行了详细研究，殊途同归地获得了与秦九韶“大衍术”相同的定理。★1852年英国传教士伟烈亚力发表《中国科学摘记》，介绍了《孙子算经》物不知数题和秦九韶的解法，引起欧洲学者的重视；1876年德国人马蒂生首先指出秦九韶（1247）的算法与高斯（1801）的算法是一致的，在时间上秦九韶领先了五百多年；因此关于这一算法被称作“中国剩余定理”★今天我们漫步在中国古算的花园里，优哉游哉，兴趣盎然；同时我们不得不对先哲们的超凡睿智满怀敬仰，又为大师们锲而不舍、孜孜以求的坚韧毅力而叹服。★关于应用MathStudio按大衍求一术求解“物不知数”等题，以后继续探讨。人教大衍求一术课件15谢谢聆听！谢谢聆听！161.秋季。在北半球，台风多出现在夏、秋季节；此时亚洲高压已经出现，故此时应为秋季。2.天气晴朗。此时我国京津地区位于冷锋锋前，受单一暖气团控制且等压线稀疏。3.秋冬季节，亚欧大陆北部降温快，降温幅度大，气温下降引起气流收缩下沉，形成冷高压。4.此处为河谷地带，来自印度洋的暖湿气流沿河谷深入，导致此地气温较东西两侧高。5.该日此地为阴雨天气，夜间大气逆辐射强，气温较高，未出现霜冻。6.冷锋。冷锋符号画线在雨带南侧，由北向南移动，画图略。7.土地利用以绿地为主，绿地面积呈增加趋势；建筑面积增加最多，水域、其他用地、滩涂持续减少。8.布局在郊区，地价便宜；远离市区，能有效减小对市区的污染；临海分布，便于运进原料和输出产品。9.结合上题，主要从政策扶持，发展有机农业；提高农业技术，科学施肥；因主要从我国人多地少，农业生产压力大以及耕地资源的特点等方面分析加强农产品质量监管等方面分析.1.秋季。在北半球，台风多出现在夏、秋季节；此时亚洲高压已经17大衍求一术

人教大衍求一术课件18什么是大衍求一术？★所谓“大衍求一术”,是一种解一次同余式或联立一次同余式组的方法：简单说，就是对Bx≡1(modA)求整数x,其中A、B是给定的互质自然数,在《数学九章》里A称为定母,B称为衍数,x称为乘率。如果A<B,则先以A除B,得余数B1(古算书中称为奇余),然後求整数

x

使其满足B1x≡1(modA)★最早出现在《孙子算经》（公元400年左右）中的“物不知其数”是经典的一次同余式题，以后在许多古算书中有不少类似的实用题出现；南宋数学家秦九韶在《数学九章》（又称《数书九章》，公元1247年）里总结前人关于天文历法推算上元积年的研究成果，系统提出了这类问题的通解方法，称为“大衍求一术”。什么是大衍求一术？19秦九韶对“大衍求一术”的具体运算方法表述为：大衍求一数云︰置奇右上，定居右下，立天元一于左上；先以右上除右下，所得商数与左上一相生，入左下。然后乃以右行上下，以少除多，递互除之，所得商数随即递互累乘，归左行上下；须使右上末后奇一而止，乃验左上所得，以为乘率。……sb=1衍数B(或奇余B1)sa=0定母A上面这段文字看不懂不要紧，后面实例说明秦九韶对“大衍求一术”的具体运算方法表述为：大衍求一数云︰置20例1定母a=15奇余b=7701572115÷7，商数2×1+0，记入左下

余数1，记入右下7÷1，商数6×2+1=13记入左上

余1，记入右上（b≠0）右上“奇一而止”左上13

即为乘率

7×13=15×6+1左图MathStudio计算单sb=13即乘率注意：右上不能为0，最后必须止于1121例1定母a=15奇余b=77715÷7，21例2定母a=256奇余b=8181025681313331337911791256÷81=33×1+0=3记入左下余13记入右下81÷13=66×3+1=19记入左上余3记入右上13÷3=44×19+3=79记入左下余1记入右下3÷1=22×79+19=177记入左上余1记入右上81×177=256×56+1注意：右上不能为0，最后必须止于1例2定母a=256奇余b=818122例3定母a=337奇余b=25612560337256181131814132531253337÷256=11×1+0=1记入左下余81记入右下256÷81=33×1+1=4记入左上余13记入右上81÷13=66×4+1=25记入左下余3记入右下13÷3=44×25+4=104记入左上余1记入右上256×104=337×79+1例3定母a=337奇余b=256123例4定母a=256衍数b=337大衍求一术计算时，要求a>b如果a<b，则b1=mod(b,a)以b1替代bmod(337,256)=81原题化为

定母a=256奇余b1=81与例2相同（下略）例4定母a=256衍数b=33724通过例1～例4的演算，对前面引出的那段古文的含意会有所了解并悟出大衍求一术的计算诀窍了吧？初始状态：

要求a>bb≠0右列上下两数辗转相除当右下>右上时，所得商数与左上相乘加

左下，记入左下当右上>右下时，所得商数与左下相乘加

左上，记入左上当右上>1,右下=1时，

为了mod(右上，右下）≠0

取商数=（右上-1）/1当

右上为1，计算结束，左上即为所求乘率衍数b(或奇余b1)0定母a置奇右上，定居右下，立天元一于左上先以右上除右下，所得商数与左上一相生，入左下然后乃以右行上下，以少除多，递互除之，所得商数随即递互累乘，归左行上下须使右上末后奇一而止，乃验左上所得，以为乘率通过例1～例4的演算，对前面引出的那段古文的含意会有所了解并25大衍求一术有什么神奇之处？我们通过一个比较复杂的同余式题略窥一斑秦九韶《数学九章》的“古历会积”里，涉及计算9253x≡1（mod225600）如果不用大衍求一术，怎么求解呢？首先能想到的是用简单易行的“笨办法”-穷举法在联想扬天R4900d台式机上主频3.3GHz内存4GB

CPUIntelCorei5-4590，Matlab5计算过程耗时976.662秒（超过16分钟）在同一台式机上Matlab5按大衍求一术编程计算计算过程耗时0.032秒穷举法计算本题至少约需12亿次以上，大衍求一术仅需12次辗转相除和相应计算大衍求一术简化了运算过程，大大提升了求解速度这在古代使用筹算的年代尤为重要大衍求一术有什么神奇之处？26穷举法计算9253*x=225600*m+1联想扬天R4900d台式机CPUIntelCorei5-4590，Matlab5耗时976.662秒台式机大衍求一术计算耗时0.032秒，相差3万多倍穷举法计算9253*x=225600*m+127iPad2MathStudio（穷举法未能通过）按大衍求一术手工计算12次辗转相除运算过程的数据如左图每次辗转相除所得商数、余数按规定的计算规则记入后页框图这样的计算在没有电脑和计算器的古代也是很费时费力的iPad2MathStudio289253

02256009253243528219724352821977313318667313318661954654011954654015126417512641710679134106791345288311727171528831以上是运用大衍求一术手工计算9253*x=225600*m+1全过程的数据框图，与MathStudio的编程计算结果完全符合9253929iPad2用大衍求一术编程解：9253*x=225600*m+1答案：x=172717m=7084耗时：2ms循环计算次数t=12

在iPad上穷举法计算未能通过，可能是内存不堪重负吧iPad2用大衍求一术编程解：9253*x=22560030大衍求一术算出的乘率究竟是个什么数？s=1bstrt=10ast-1rt-1

左图是起始状态右图是终止状态右列上下两数每次辗转相除，得商数q,余数r,经t次计算后

以此逆推到起始状态，即得证st=qt×st-1+st-2如果得到b×st

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