喀兴林高等量子力学习题EX1.矢量空间

EX1.矢量空间练习1.1 试只用条件（1）（8）证，0（。（完证明：由条件（（）得111只需证明0和根据条件（7）0(00)00现在等式两边加上(0)，得0(0)(00)(0)根据条件（，上式左0(0)根据条件（（2）上式右0(00)000由0，根据条件（4（）得0(11)(1)(1)#练习1.2 证明在内积空间中若1

,

,对任意成立，则必有2

。2（完成人：谷巍 审核人：肖钰斐）证明 由题意可知，在内积空间中若1

,

,对任意成立，则有2,－1

,=0 (1)2于是有1

,0 (2)2由于在内积空间中1

,

,对任意成立，则可取2

,则有21 2

=0 成立 （3）2根据数乘的条件（12）可知，则必有 01 2（4）即1 2故命题成立，即必有1#

.2练习1.3 矢量空间运算的12个条件是不是独立的？有没有一条或两条是其各条的逻辑推论？如有，试证明之。（完成人：赵中亮 审核人：张伟）12#1.4（1）的分角线方向，空间是否仍为内积空间？AB（2）在第二个例子中若将二矢量和B内积的定义改为 sin或AB1A2Bsin1A2B在第三个例子的空间中，若将内积的定义改为ml*m*m*m*m1 1 2 2 3 3 4 4空间是否仍为内积空间？在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为af(x),g(x)bf*(x)g(x)xd或af(x),g(x)bf*(x)g(x)x2dxa空间是否仍为内积空间？（完成人：张伟 审核人：赵中亮）（）在第二个例子中若将加法的规定改变之后，空间不是内积空间。因为将规定改之后对于任意的矢量不一定存在逆元，如一个不为零的矢量设为A，则任意矢量和它相加后，得到的矢量的长度不为零，所以一定不能得到零矢量，即找不到逆元。所以空间不是内积空间。在第二个例子中若将内积的定义改之后，空间不是一个内积空间。证明如下：BCBC一般情况下， ,即有BCBCAABAABA,BC

B

CsinC

sin

ACsinAC

B

C所以内积的定义改变之后不是内积空间。如下：i,l*(m

2m*l3m*l

4m*l)*l*m

2l*m3l*m4l*m

m11ii．

22 33

44 1

2 2 3 3 4 4mnl*

n)*

n)*

n)*

n)1 1

2 2

3 3

4 4 4(l*m

)(l

4l*n)1

1

22 3 3 4

11 2 2 3 3 4 4iii．

l,

l,nl,mal*ma2l*ma3l*ma4l*ma1 1 2 2 3 3 4 4a(l*m

2l*m3l*m4l*m)1 1al,m

2 2 3 3 4 4iv.l,l|l1

|22|l2

|23|l3

|24|l4

|20，对任意l成立若l,l0,则必有ll1 2

ll3

0,即l0综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12间在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为f(x),g(x)bf*(x)g(x)xdx后，空间不是内积空间。a因为f(x),f(x)bf*(x)f(x)xdxba a

f(x)2xdx，积分号内的函数是一个奇函数，它不能保证对于任意的fx积分出来后都大于零，即不符合条件(12)，所以不是内积空间。在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为f(x),g(x)bf*(x)g(x)x2dx后，空间是内积空间。a证明如下: b

b * *i f(x),g(x)f*(x)g(x)x2dxg*(x)f(x)x2dxg(x),f(x)a a iif(x),g(x)hxbf*(x)g(x)x2dxbf*(x)h(x)x2dxf(x),g(x)f(x),hxa af(x),g(x)abf*(x)g(x)ax2dxabf*(x)g(x)x2dxaf(x),g(x)a af(x),f(x)ba

f(x)2x2dx0,对任意成立若f(x),f(x)ba

f(x)2x2dx0，则必有fx0综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12间。#练习1.5若a为复数，证明若a时，Schwartz不等式中的等号成立。（完成人：肖钰斐 审核人：谷巍）证明：当若a时，分别带入Schwartz不等式的左边和右边。左边=,aa2右边=aa2左边=右边，说明当a时，Schwartz不等式中的等号成立。#练习1.6 证明当且仅当|a||a|对一切数a成立时与正交并在三维位形空间讨论这一命题的几何意义。（完成人：赵中亮 审核人：张伟）证明：解：当|a||a|对一切数a成立时，有||2||2即 a,a)a,a)得 ),a))(a,a)),a))(a,a)即 ,a)),)aa,)因为a可以取一切数,所以当aaa得 ,),)由此得(,)只能是实数当aaa(,)(,)只有(,)0时，即与正交时才成立所以当|a||a|对一切数a成立时，与正交。当与正交时，(,)0则 ,),)0取a为任意数则 ,)aa,)0(,a)(a,),a))(,)2(,a)(a,a)(,)2(a,)(a,a)(,)(,a)(a,)(a,a)(,)(,a)(a,)(a,a)(a,a)(a,a)||2||2得 |a||a|即 |a||a|对一切数a成立综上，当且仅当|a||a|对一切数a成立时，与正交。矩形。#练习1.7证明：当且仅当对一切数成立时，与正交。（完成人：班卫华 审核人：何贤文）证明：因为，两边平方222222220则构成以为变量的二次函数，要使对一切成立，判别式恒小于等于零，即()20只需0即(,)(,)0得(,)0所以当对一切数成立时，与正交。练习1.8在四维列矩阵空间中，给定四个不正交也不全归一的矢量：1 1 000

1 2 000

1 3 100

114 111它们构成一个完全集，试用Schmidt方法求出一组基矢。（完成人：肖钰斐 审核人：谷巍解：由Schmidt方法，所求基矢：11111 1 000

1 1 0

02

, 1

1 0 10 0 00 0 0 0

12222003

,1 1

2

,2 3

1 1 0 0 1 11 1 11 0 0 10 0 0 0 0 0

033333 100,4 4 1 1

,2 2

,3 3

1 1 0 0 0 101 1 0 0 1 0044444 011

1 0 0 0 1 0 0 0 #练习1.9在上题中，改变四个的次序，取1 1 000

1 2 111

1 3 000

114 100重新用Schmidt方法求出一组基矢。（完成人：何贤文 审核人：班卫华）解：由空间中不满足正交归一条件的完全集1 2

,,3

}，求这个空间的一组基矢{,1

,,}.2 3 4首先取

为归一化的：1 1111 111 000取

a，选择常数a 使与

正交，即2 2 112 12 2 10(,1得

),2 1

)a120a 1， 12

12 111取为归一化的：2 20 1122222

3111取

a

a和

使与

正交，即3 3 1

223

13 23 3 1 202 3 ,),)13 3 1 1

2 2

31 3归一化的为3

0 1 2 3363 336 取

a

a

aa

使与已选4 4 1

224

334

14 24 34 4定的1 2 3

正交，即0 0 ,)

,

)

,

)14 4 1 1

2 2

3 3

21归一化的为4

2 20 1 0 4424 442 则找到一组基矢为1#

,,}.2 3 4 练习1.10 在三维位形空间中，i，j，k是在互相垂直的三个轴上的单位矢量。取三个归一化的矢量： （高思泽） i (1 i j2 2 1 2 (jk)23在内积就是点乘积的定义下它们并不正交。现在改变正交的定义：定义这三个 矢量1

，互相正交。3种内积规则。r求出这个新的内积规则，即将任意两个矢量r1

ix1

jy1

kz，1 rixjykz

xyzxy

的函数。2 2 2 2

1 1

2 2 2验证所求的内积规则符合条件（）～（1。 用()= 验证所求出的内积规则。i j ij证明：在一个归一化的完全集里面的矢量集合里，任意的两个矢量正交，根据量的正交 性定义，两个矢量ψ和φ的内积为零，即,0。解： 由ijk与1 2

，的关系，可得到如下变换：3 ii 1 j 2 2 1 由上面的关系得：

k 23

22 1 rx(2)y(2 2)z(xyz)(2y 2z) 2z1 11

2 1 1

3 2

1

1 1 1

2 1

1 3 1rx2 1

(22

)y1

(23

22

)z1

(xy1 2

z)2

(2y2

2z2

) 2z3 2由此，

(r,r)((xyz)

(2y

2z) 2z,(x

z)

(2y

) 2z)12 1 1 1 1

2 1

1 3 1

2 2 2

2 2

2 3 2(xy

z)*(xy

z)(,)2(

z)*(

z)(,

)4z*

(,)1 1

2 2 2 1 1

1 1 2 2 2

12 3 3{2(xy

z)*(yz) 2(x

z)*(yz)}(,

){2z(xy

z)* 2z(xy1 1 1 2

2 2

1 1 1

2 1 1 1 1 2{2z(yz)*2z(yz)*}(,)2 1 1 1 2 2 2 3定义，，互相正交，有矢量的正交性，得1 2 3 (,)(,)(,)111 33 33(,)(,)(,)01 2 1 3 2 3由此可得(r,r)(xy

z)*(xy

z)2(

z)*(

z)4z*z12 1 1 1

2 2 2

1 1 2 2 12证明：(r,r)*((x

z)*(xy

z)2(

z)*(y

z)4z*z)*21 2 2 2

1 1 1

2 2 1 1 21(xy

z)*(xy

z)2(

z)*(y

z)4z*z11 1(r,r)

2 2 2

1 1 2 2 1212 (r,ra)(xyz)*(xyz)a2(yz)*(yz)a4z*za(r,r)a12 1 1 1

2 2 2

1 1 2 2

12 12 (rrxyz|22|yz|24|z|20当(rr0x,y,z都同时等 于0才能满足，即r0。综上所述，所求的内积规则符合条件（）～（1。4，见（2）#练习1.11在n维空间中，已知}i=1,2,3. ,n是一组完全集（不一定正交，i现在有n个矢量}，i=1,2,3. ,（也不一定正交，定义i()1 1

(1

) ()n(D= 2

) (2

) ()n () () ()n 1 n 2 n n证明{}线性相关的必要和充分条件维D=0。i（完成人：何贤文 审核人：班卫华）解：对于矢量空间的n个矢量的集合}，有nD0，此式是关于ni i ii1个矢量的集合{}的齐次方程组i(

(,)

(01 2 111 2

1 n n( ,

( , ) (0 2 1

2 2 2 2 n n

（1）(n

1

(n 2 2

(0n n n若}线性相关，则满足nD0至少有一组非零解，则要求：i i ii1(1

) (1

) ()1 n(2,1) (22) (2n)0 () () ()n 1 n 2 n n即D=0若D=0，则方程（1）必有非零解，即满足有一组不为零的复数使得niDi0i1故{i}线性相关。#1.12S1S2S1S2的全部元的那个集合并不是子空间：（1S1S2S2S1的子空间；（2S1S2其中之一只含有零矢量一个元。（完成人：张伟 审核人：赵中亮）（1）设子空间1和S2的维数分别为，n，它们共同的基矢的个数为mlnS1S2S2S1S1S2S1S2矢量的维数可以大到mnl维，而mn