上海大学2019-2020概率论自学报告

.上海大学2019～2020学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称：?概率论与随机过程?课程编号：07275061题目:中心极限定理在大气激光通信同步帧中的应用学生姓名:XXX学号:1712XXXX评语:成绩:任课教师:冯国瑞评阅日期:.中心极限定理在大气激光通信同步帧中的应用摘要：本报告主要是对随机变量的特征函数、大数定理与中心极限定理、随机序列及其统计特性、随机序列的功率谱密度、随机序列通过离散线性系统共计五项内容的知识点进行总结，并以中心极限定理为专题例如，介绍中心极限定理在大气激光通信同步帧中的应用，从大气激光通信的信道特点入手，建立了大气激光通信信道模型。一、自学内容小结与分析：1、随机变量的特征函数在对随机变量的分析过程中，单单由数字特征无法确定其分布函数，所以引入特征函数。随机变量X的特征函数定义CC(ju)是概率密度函数的傅里叶变换，我认为它与通常意义上的傅里叶正变换在指数因子上差一个符号，因此也可以看成是傅里叶变换的一个复共轭，那么关于特征函数的一些运算就可以采用傅里叶变换的方式，从而可以简化运算的过程和减少运算量。由傅里叶反变换的公式可以从特征函数求出密度函数，即p特征函数的性质性质1：两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积，即假设Y=K=1NXK，式中X1C性质2：求矩公式E性质3：级数展开式。将特征函数在原点用台劳级数展开，可得：C举例：求N(0,σ解：CE方差D=[2、大数定理与中心极限定理大数定律是表达随机变量序列的前一些项的算术平均值在某种条件下收敛到这些项的均值的算术平均值；中心极限定理那么是确定在什么情况下，大量随机变量之和的分布逼近于正态分布。大数定理弱大数定理〔辛钦大数定理〕：设X1，X2，…是相互独立的，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望EXlim伯努利大数定理：设fA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次实验中发生的概率，那么对于任意正数εlim或lim中心极限定理设随机变量X1，X2，…，XN，相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：Elim=对于属于正态分布的指标数据，可以很快捷地对它进行下一步假设检验，并推算出对应的置信区间；而对于那些不属于正态分布的数据，根据中心极限定理，在样本容量很大时，总体参数的抽样分布是趋向于正态分布的，最终都可以依据正态分布的检验公式对它进行下一步分析。举例：某炮兵阵地对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击中炮弹的命中数是一个随机变量，其期望为2，方差为，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。解：设Xk表示第k次射击中的炮弹数，那么X100，应用中心极限定理，S100-100u100σ近似服从N(0，1)，由题意n=100，P=2∅所以在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率为87.64%.3、随机序列及其统计特性随机序列是对随机信号采样得到的结果，按信号的时间和状态可以分为连续型随机序列〔时间离散、幅度连续〕和离散型随机序列〔时间和幅度都离散〕。将连续随机过程X(t)以tsX定义均值向量为：M自相关矩阵：R假设将矩阵元素改换成协方差，即c那么得到协方差矩阵C自相关阵的性质性质1：对称性R性质2：半正定型F协方差矩阵的每一个元素反映的是随机向量X的不同分量之间的协方差，而不是不同样本之间的协方差。举例：求在[0，1]区间均匀分布的独立随机序列的均值向量，自方差阵与协方差阵，设N=3.解：p那么均值为m自相关函数r假设i=j，那么rij=1于是均值向量和自相关矩阵为：M协方差矩阵为：C任何独立随机序列的协方差阵均为对角阵，且对角元素为该随机序列的方差。4、随机序列的功率谱密度设取样间隔为Ts，那么R等式两边取傅里叶变换那么有：G在随机过程中我学习到功率谱密度是随机过程X〔t〕在单位频带内在1Ω电阻上消耗的平均功率，在平稳随机过程下，时间平均自相关函数与功率谱密度为傅里叶变换对。比照随机序列的功率谱密度也可以表示为自相关函数的傅里叶变换，但要注意的是随机序列是在时间上离散取值，从而其自相关函数也是时间离散点上定义的，随机序列的功率谱密度也同样具有非负性以及是实偶函数等性质。5、随机序列通过离散线性系统随机序列通过一阶FIR滤波器对于在区间[0,1]上均匀分布的独立随即序列，通过q阶FIR滤波器有：Y其自相关函数满足以下方程：R随机序列通过一阶递归滤波器对于一般情况的p阶滤波器，即Y其自相关函数如下：R例题：设Xn是纯随机序列，且在-1与+1间均匀分布，试利用下面的滤波方程求出WW解：Xn在[-1，1]上均匀分布，那么σWn=XR此处q=1，利用RWG二、专题应用范例中心极限定理在大气激光通信同步帧中的应用在大气激光通信中，数据是以帧的格式进行发送和接收的。帧同步的功能就是指接收器识别接收发送器发送的数据序列，从接收比特流中提取帧头和帧尾信息，判断帧数据的起始与结束，从而确定接收数据具体的帧结构的过程。大气激光通信中的数据是按照一定的帧格式进行传输的，每一帧包括帧头局部和数据局部，长度分别为L与N-L。在发射端用S=(S1,大气激光通信系统主要受到大气衰减和大气湍流的影响。大气衰减效应使得激光在传输主轴方向上的辐射强度受到很大衰减；强湍流引起的光强起伏会造成较大的误码率和短时间通信中断，严重影响光通信的稳定性和可靠性。对于每一帧数据，经过大气信道后用光电探测器得到的输出电平用r=(rs,1,r=其中,I0为无湍流情况下接收到的光功率,n是光电转换过程以及接收机电路等系统引入的加性噪声，近似服从均值为0，方差为σ2的高斯分布；η为接收机光电转换效率；α=I/Iρ在强湍流条件下服从K分布，此时α的概率密度函数为ρ其中，Г(.)为gamma函数，Kl-1(.)是t-1阶第二类贝塞尔函数。Tt=2/(σ距离；Cn假设发送端数据帧长为100，帧同步码序列为13位巴克码[1,1,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1]即图中虚线框中所示局部；数据局部长度为87，即图中实线框中所示局部。从图中可以很明显看出，帧同步码序列具有固定性，而数据局部具有随机性。对于帧同步码来说，数据矩阵中相同的列对应的元素相同，为0或1；对于数据局部来说，数据矩阵中相同的列对应的0和1元素均匀分布。对于帧同步码中1元素所在列其输出电平均值最高，帧同步码中0元素所在列其输出电平均值最低，而随机数列所在列其输出电平均值应位于两者之间。将中心极限定理应用在帧同步中那么有：对于均值为μ，方差为σ2>0的独立同分布随机变量X1,X2Y当n充分大时，有Yk~N(0,1)，或者Xn~N(μ,σ2/n)。那么，在数据矩阵中，对于帧同步码的每一个“0〞元素其对应的输出电平X1,X2,…,X20来讲服从分布Xk=n，即EXk=0,DX参考文献[1] 王永德，王军随机信号分析根底，北京，电子工业出版社，2013：11-110[2] 沈恒范，概率论与数理统计教程，高等教育出版社，2010：111-115[3] HerzetC，WymeerschH，SimoensF，etal.MAP-basedcode-aidedhypothesistesting[J].Wireless Communica⁃tionsIEEETransactions，2008，7〔8〕:2856-2860.[4] 寇冰煜,张燕,马凤丽.中心极限定理的应用[J].高师理科学刊,2019,39(05):53-56.[5] TanXili,LiuWei.