金融数学全套课件

1利息理论2主要内容利息的度量年金计算投资收益债务偿还证券定价：债券、股票、衍生产品（远期、期货、互换、期权）利率风险3利息度量(1)（Measurementsofinterest）4在日常生活中：如何度量速度？距离/时间瞬时速度如何度量死亡率？死亡人数/期初生存人数死亡力如何度量利率？利息/本金利息力（连续复利）51.1利息的基本函数利息（interest）的定义：借用他人资金所需支付的成本，或出让资金所获得的报酬。利息存在的合理性资金的稀缺性时间偏好资本生产力6关于利息的几个基本概念本金（principal）：初始投资的资本金额。累积值（accumulatedvalue）：过一段时期后收到的总金额。利息（interest）——累积值与本金之间的差额。7积累函数(Accumulationfunction)

累积函数是指期初的1元本金在时刻t时的累积值,通常被记为a(t)。性质：a(0)=1；a(t)通常是时间的递增函数；当利息是连续产生时，a(t)是时间的连续函数。当利息是跳跃产生时，a(t)是间断函数。

注：一般假设利息是连续产生的。8例：考察下面常见的积累函数（1）常数：a(t)=1（2）线性：a(t)=1+0.1t（3）指数：a(t)=(1+0.1)t

上述3个函数是否满足积累函数的性质？9对应哪些生活中的实例？1010ta(t)累积函数？对应哪些生活中的实例？11金额函数（Amountfunction）当原始投资不是1个单位的本金，而是k个单位时，则把k个单位本金的原始投资在时刻t的积累值记为A(t),称为金额函数。性质A(0)=k；A(t)=k·a(t),k>0,t≥012利息（interest）的数学定义从投资之日算起，在第n个时期所获得的利息金额记为I(n)

，则利息金额I(n)

在整个时期内产生，但在最后时刻实现（支付、得到）。金额函数A(t)在时间段[t1,t2]内所获得的利息金额为131.2实际利率（effectiverateofinterest）实际利率i

等于某一时期开始时投资1单位本金，在此期间末应获得的利息：实际利率i是某个时期获得的利息金额与期初本金之比：14实际利率经常简称为利率，用百分比来表示，如8%；利息是在期末支付的；本金在整个时期视为常数；通常的计息期为标准时间单位，如年、月、日。若无特别说明，实际利率是指年利率。实际利率可对任何时期来计算。第n个时期的实际利率为附注：15例：

把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年末存款余额为1050元，求第一年和第二年的实际利率分别是多少？16解：

171.3单利(simpleinterest)假设在期初投资1单位，在每个时期末得到完全相同的利息金i

，即只有本金产生利息，而利息不会产生新的利息，这种计息方式称为单利，i称为单利率。单利的积累函数满足下述性质：上述单利的积累函数对t≥0的整数值才有定义。18考虑单利的一个直观性质：从时间t开始到时间t＋s所产生的利息等于从时间0开始到时间s所产生的利息。即相同的时期产生相同的利息。当t为非整数时，单利的累积函数（了解）：0stt+s19假设a(t)可导，由导数的定义有在上式中，用s代替t，并在等式两端从0到t积分，即得20现在只需求出，即可求得单利条件下的累积函数

若令t=1，则由上式有而由前面可知，a(1)=1+i因此a(t)=1+it

上述推导过程没有限制t为正整数，因此对一切大于零的时间t都是成立的。21单利的累积函数

22常数的单利并不意味着实际利率(effectiverate)是常数！问题:为什么在每个时期所获的利息金额相等，而实际利率却越来越小呢？因此，实际利率是n的递减函数。单利与实际利率的关系：23例若每年单利为8％，求投资2000元在4年后的积累值和利息。累积值为：所得利息的金额为24单利的应用:t的确定,t=投资天数/每年的天数（1）精确单利，记为“实际/实际”（actual/actual），即投资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按365天计算。（2）银行家规则

(banker’srule)，记为“实际/360”，即投资天数按两个日期之间的实际天数计算，而每年按360天计算。（3）“30/360”规则，即在计算投资天数时，每月按30天计算,每年按360天计算。两个给定日期之间的天数按下述公式计算：其中支取日为Y2年M2月D2日，存入日为Y1年M1月D1日。25例：若在1999年6月17日存入1000元，到2000年9月10日取款，年单利利率为8％，试分别按下列规则计算利息金额：（1）“实际/实际”规则（2）“30/360”规则（3）“实际/360””规则26（1）从1999年6月17日到2000年9月10日的精确天数为451（应用EXCEL），因此利息金额为（2）根据“30/360”规则，投资天数为因此利息金额为（3）根据“实际/360”规则计算的利息金额为27单利的缺陷：不满足一致性令t=t1+t2

则含义：分两段投资将产生更多利息。问题：分段越来越多，产生的利息是否会越来越多？最多是多少？连续利率计息。281.4复利(compoundinterest)在单利情形下，前面时期所获得的利息并没有在后面的时期获取利息。假设年初存入1000元，每年的利率为5％，则每年末可获利50元，因此在年末有1050元可以用来投资。如果按照1050元来计算，将在明年末获得利息为52.5元，比只按照1000元投资要多获得利息2.5元。复利的基本思想：利息收入被再次计入下一期的本金，即所谓的“利滚利”。29复利的积累函数考虑期初投资1，它在第一年末的积累值为1＋i;余额1＋i可以在第二期初再投资，在第二期末积累值将达到(1+i)+(1+i)i=(1+i)2;在第三期末将达到(1+i)2+(1+i)2i=(1+i)3一直持续下去……，对于整数时期t，积累函数为30对于非整数t，复利的累积函数（了解）设a(t)可导，则由导数的定义得如何求出a(t)的表达式？31因此，将t换成r，并将等式从0到t积分，有注：a(0)=1求出即可！32可见，对于非整数t，同样有若取t=1,则有又因为故因此由可以求得33复利的累积函数

34常数的复利率意味着实际利率也为常数复利与实际利率的关系35单利与复利之间的关系（下图）单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定。当0<t<1时，单利比复利产生更大的积累值。当t>1时，复利比单利产生更大的积累值。当t=1或0时，单利和复利产生相同的累积值。复利单利36

单利累积函数：是一条直线复利累积函数：一阶导数大于0，二阶导数也大于0。下凸曲线。两个交点：0和1。复利单利37383940例按复利和单利分别计算，当年利率为11％时，开始应投资多少元钱才能使第5年的本金和利息总和积累到1000元?411.5贴现（discount）思考：在期初开始时应投资多少，才能使得年末的本金和利息总额恰好为1?这是一个求现值的过程，即贴现过程，与累积过程互逆。时刻t的1个货币单位在时刻0的价值称为贴现函数。用a-1(t)表示。0t1a(t)a-1(t)142贴现函数(discountfunction)单利的贴现函数复利的贴现函数43

单利和复利的现值比较：金额为1

44

单利和复利的现值比较：金额为1

45注：除非特别申明，今后一概用复利计算现值。(1+i)t称为1在t时期末的累积值，而vt=(1+i)-t

称为t时期末支付1元的现值。46(1+i)累积因子：accumulationfactor

t年累积因子：t-yearaccumulationfactor贴现因子：discountfactorvt

t年贴现因子：t-yeardiscountfactor几个术语：47

实际贴现率：d

(effectiverateofdiscountwithcompoundinterest)实际贴现率等于一个时期的利息收入与期末累积值之比：利息——按期初余额计算，在期末支付。贴现——按期末余额计算，在期初支付。例：A向银行借100，为期1年，银行预收6的利息，而仅给A支付94，一年后A还给银行100。贴现率为6％。利率是多少？48第n个时期的实际贴现率等于当单利率为i，单贴现率是n的递减函数。当复利率为i时，复贴现率是常数。49利率i与贴现率d的关系（1）11+i01当期利息：i根据贴现率的定义50利率i与贴现率d的关系（2）1-d101当期利息：d期末的1元在期初的现值为：

此现值用贴现率d表示即为：故有下图：根据利率的定义，有51证明：注：把期末支付的利息i

贴现到期初，即得iv，等于在期初支付的d。换言之，期末的i相当于期初的d。利率i与贴现率d的关系（3）52v=1–d解释：期末的1在期初的现值既可以表示为v，也可以表示为1–d。贴现函数可表示为a–1(t)=

累积函数可表示为a(t)=

011v（1－d）利率i与贴现率d的关系（4）证明：53i–d=id解释：1元本金在期末时可以赚取i元利息，(1–d)元本金在期末时可以赚取d元利息。产生(i–d)元利息差额的原因就在于原始本金存在d元差额。而这d元本金差额在本期可以赚取的利息正好是id。本金（Principal）利息（interest）累积值（Accumulatedvalue）1i1+i1-dd1

本金之差:d→

利息之差

di

利息之差:i–d利率i与贴现率d的关系（5）证明：54

例:

i=5%=1/20,

d=1/21证明：利率i与贴现率d的关系（6）55利率贴现率利率i和贴现率d的关系56贴现率利率贴现率d和利率i的关系57例若现有面额为100元的零息债券在到期前一年的价格为95元，同时，一年期储蓄的利率为5.25％，如何进行投资选择?存款还是购买债券？58解：从贴现的角度看，零息债券的贴现率d＝5%而储蓄的贴现率d＝i/(1+i)=4.988％<5%因此投资债券合算。从利息的角度看，零息债券的利率而储蓄的利率为5.25％<5.26％因此投资债券合算。59贴现方式单贴现（了解）：每个时期的贴现金额都是常数。在t时期末产生积累值1的本金为复贴现：60单贴现与复贴现的关系（了解）单贴现和复贴现对单个时期产生的结果相同。对于较长时期，单贴现比复贴现产生较小的现值，而对较短时期情况则相反。单贴现模式并不对应着单利的贴现模式，而复贴现模式对应复利的贴现模式。单贴现复贴现61计算累积值和现值，既可以用利率，也可以用贴现率。如果用利率计算累积值和现值，则有累积函数：a(t)=(1+i)t

贴现函数：a–1(t)=(1+i)–t如果用贴现率计算累积值和现值，则有累积函数：a(t)=(1－d)-t贴现函数：a–1(t)=(1－d)t小结：62利息的度量：

名义利率、名义贴现率、利息力孟生旺中国人民大学统计学院63上节主要内容回顾实际利率（i）＝利息/期初本金实际贴现率（d）＝利息/期末累积值i与d

之间的关系（下页）：期初本金期末累积值利息＝期末累积值－期初本金640111+ii1-dd1v11-v65累积函数：贴现函数：66本节主要内容：名义利率（nominalrateofinterest）名义贴现率（nominalrateofdiscount）利息力（forceofinterest）实际利率、实际贴现率、名义利率、名义贴现率和利息力的关系。67实际利率：在每个度量时期末结转一次利息（或称为复利一次）的利率，即在每个度量时期末，将当期的利息结转为下期的本金。名义利率：在一个度量时期内分多次结转利息的利率。何谓名义利率？68考虑下述两笔贷款：贷款100万，年利率为12％，每年末支付一次利息，每次支付12万。贷款100万，年利率为12％，每月末支付一次利息，每次支付1万。这两个利率有何不同？你愿意选择哪笔贷款？为什么？答案：第一个12％是年实际利率，第二个是年名义利率,对应的年实际利率为12.68％。69名义利率度量的是资本在一个小区间内（如一个月，一个季度等）的实际利率。例如：假设月实际利率为1%，那么与这个月实际利率相对应的年名义利率被定义为1%×12=12%。如果一个季度的实际利率为3%，那么与这个季实际利率相对应的年名义利率被定义为3%×4=12%。70名义利率的表述季度的实际利率为3%：年名义利率为12%，每年结转4次利息；年名义利率为12%，每年复利4次；年名义利率为12%，每个季度结转一次利息；年名义利率为12%，每个季度复利一次。相关术语利息结转期：interestconversionperiod；每月结转一次：convertiblemonthly；每季支付一次：payablequarterly；每半年复利一次：compoundsemiannually；71年名义利率

i(m)（m≥1，为整数）表示每年结转m次利息，即每1/m年支付一次利息，每次的实际利率为i(m)/m。例：i(4)=8％表示每个季度结转一次利息，且每个季度的实际利率为2％。例：i(12)=6％表示每个月结转一次利息，且每月的实际利率为0.5％。问题：三个月定期存款的年利率为1.8％，含义是什么？答案：表明i(4)＝1.8%，三个月的实际利率为1.8%÷4，存1000元满3个月可得利息1000×1.8%/4=4.5

元。名义利率的定义72名义利率与实际利率的关系：名义利率与等价的实际利率有如下关系：

或者由实际利率i也可以计算名义利率i(m)

，即73例：贷款100万，年利率为12％，每月末支付一次利息，每次支付1万。求等价的年实际利率是多少？解：问题：如果每周支付一次利息，等价的年实际利率会如何变化（增加还是减少）？每天支付一次呢？74

在年名义利率一定的条件下，每年的结转次数（复利次数）越多，年实际利率将越大。年名义利率为10%时，年实际利率随复利次数的变化情况年复利次数年实际利率年初的1000元在年末的累积值10.100001100.0020.102501102.5040.103811103.81120.104711104.7152（每周）0.105071105.07365(每天)0.105161105.1675问题：年名义利率i(m)一定的情况下，如果复利次数m为无穷大，年实际利率会是多少？年复利次数年实际利率年初的1000元在年末的累积值10.100001100.00365(每天)0.105161105.16∞e0.1-1=0.105171105.1776每年的结转次数小于1时的名义利率在n个时期支付一次利息的名义利率（即每年结转1/n次利息）可以表示为i(1/n)

，其中n是大于1的正整数。名义利率i(1/n)

是指每n个时期支付一次利息，且每n个时期的实际利率为i(1/n)

×n例：2年期定期存款的年利率为3.06%，其含义为i(1/2)=3.06%2年期的实际利率为i(1/2)×2=3.06%×2=6.12%问题：等价的1年期的实际利率为多少？77例：假设储蓄业务的年利率如下，如何比较这些利率？存款利率（％）活期定

期3个月6个月1年2年3年5年0.721.802.252.523.063.694.14问题：1万元可以投资一年，请比较投资3个月的定期存款和投资一年期的定期存款，哪个合算？当3个月期的利率为多少时，两种投资没有差异？78

分析：3个月的实际利率为1.80％÷4＝0.45％，1年下来的累积值为1年期存款的实际利率为2.52％,1年下来的累积值为1.0252结论：直接投资1年合算。79如果要求投资3个月期的定期存款等价于投资1年期的定期存款，则应有由此可得80存款利率：名义利率和实际利率的比较活期定

期3个月6个月1年2年3年5年年名义利率0.721.802.252.523.063.694.14实际年利率0.7231.8122.2632.523.0153.5623.834注：小于1年时，实际利率大于名义利率；超过一年时，实际利率小于名义利率。81名义贴现率(nominalannualrateofdiscount)

名义贴现率d

(m)

（m>1）定义：d

(m)

是指每1/m时期的实际贴现率为d

(m)

/m。由等价的定义重新整理得82Example：Findthepresentvalueof$1000tobepaidattheendofsixyearat6%perannumpayableinadvanceandconvertiblesemiannually.（名义贴现率为6％，每半年复利一次，第6年末的值为$1000，求其现值）解：这相当于按3％的年贴现率计算在12年末支付$1000的现值。83名义利率与名义贴现率的关系（1）一般情况（2）m＝p（3）把

i

(m)/m

和d

(m)/m

看作1/m

年内的实际利率和实际贴现率，则84例：确定每季度复利一次的名义利率，使它等价于每月复利一次的6％的名义贴现率。解：，85例：已知i

(12)=5.58%。求i、d、

d(12)解：86问题：一般性规律？87nominalannualrateofdiscountis10%CompoundingtimesperyearEffectiveannualrateofdiscount1(每年)0.100002(每半年)0.097504(每季)0.0963112(每月)0.0955452(每周)0.09525365(每天)0.09517∞1-e-0.1=0.0951688小结：期初的1元在期末的累积值（等价度量工具之间的关系）：i(m)：年初投资1，每年复利m次，每1/m年末获得i(m)/m利息d(m)：年初投资1，每年复利m次，每1/m年初获得d(m)/m利息89思考题某人2006年1月1日在银行存入10000元，期限为1年，年利率为3%。1月末，银行的1年期存款利率上调了100个基点。请分析此人是否有必要对该笔存款转存？假设活期存款利率不变，为0.72%。1年按360天计算，每月按30天计算。假设情景：2007年1月末需要使用这笔存款。注：定期存款若提前支取，按活期计息。一个基点为0.01%。利率调整幅度通常能被9整除。因为一年按360天计息。901年零1月后的累积值：91回顾：年实际利率度量了资金在一年内的增长强度（年平均）。名义利率度量了资金在一个小区间内（如一个月）的增长强度（月平均）。问题：哪一个更能准确度量资金的增值速度？名义利率还是实际利率？如何度量资金在每一个时点上的增长强度？在名义利率中，如果时间区间无穷小，名义利率就度量了资金在一个时点上的增长强度。921.8利息力(forceofinterest)定义：利息力度量了资金在每一时点（也就是在无穷小的时间区间内）增长的强度。在时间区间[t,t+h]的实际利率为年名义利率为（1年包含1/h个小区间）93

为在时刻t的利息增长强度（即利息力）。定义：设积累函数连续可导，则时刻t的利息力为问题：为什么不用a(t)直接度量利息的增长强度？94例：

已知金额函数为求t＝1/2时的利息力。解：95累积函数和贴现函数的另一种表达式：

用r代替t，并将此式两边在0到t积分，得从而有

因为96单利在t时刻的利息力（了解）因为所以时刻t的利息力为单利的利息力是时间的递减函数。97

单贴现的利息力是时间的递增函数。单贴现在t时刻的利息力（了解）98复利在时刻t的利息力因为所以时刻t的利息力为复利的利息力是常数！与时间无关。称为复利的利息力。故累积函数可以表示为99问题：复贴现在时刻t的利息力？因为所以时刻t的利息力为复贴现的利息力是常数！与时间无关。问题：与复利条件下的利息力有何关系？100对利息力的另一个解释：在复利条件下，当m趋于无穷时的名义利率就是利息力：101问题：当p趋于无穷时的名义贴现率d(p)与利息力有何关系？102d与i,d,i(m),d(m)

的关系di（证明略）1031.9贴现力(forceofdiscount)用贴现函数a-1(t)代替积累函数，在t时刻的贴现力为

增加一个负号使得贴现力为正。利息力与贴现力相等：。因为：1041.10利率概念辨析实际利率和名义利率：在经济学文献中，所谓的实际利率是指扣除了通货膨胀因素以后的利率；而名义利率是指没有扣除通货膨胀因素的利率。如果用i表示名义利率，用r表示实际利率，用

表示通货膨胀率，则有

(1+i)=(1+r)(1+)i=r+

+r

可近似表示为

i

r+

或r

i－

即实际利率近似等于名义利率减去通货膨胀率。105利率和贴现率：在需要计算现值的场合，利率常常被误被称为贴现率。计算现值既可以应用利率，也可以应用贴现率，还可以应用利息力：106小结度量工具时刻t的积累值时刻0的现值i(1+i)

tvt=(1+i)

-ti(m)dedte-dtd(p)d(1–d)-t(1–d)t107Excel应用由每年复利m次的年名义利率j计算年实际利率，可以使用EXCEL命令“EFFECT（j，m）”；由年实际利率i计算每年复利m次的年名义利率，可以使用EXCEL的命令“NOMINAL（i,m）”。108例：在2000年1月1日,A在银行账户存入X，按单利10%计息；在同一天，B在另一个银行账户也存入X，按利息力计息。从第四年末到第八年末，两个账户赚取的利息相等，请计算k。109解：令2000年1月1日为零时刻，对A的账户有：从第四年末到第八年末，该账户赚取的利息为110对B的账户有：从第四年末到第八年末，该账户赚取的利息为111由题意可知，这两个利息金额相等，即故有k=120。112例：基金A以利息力函数累积；

基金B以利息力函数累积。

分别用和表示它们的累积函数。

令，计算使达到最大的时刻T。

113解：由题设条件有因此根据h(t)的定义得h(t)=t–2t2，h'(t)=1–4t，因此当t＝1/4时，h(t)达到最大。114等额年金(I)

（LevelAnnuity）孟生旺中国人民大学统计学院115年金（annuity）最初的涵义：一年付款一次，每次支付相等金额的一系列款项。现在的含义：一系列的付款（或收款）。116年金的类型按照年金的支付时间和支付金额是否确定，分为确定年金(Annuity-certain)和风险年金(contingentannuity)。按照年金的支付期限长短，分为定期年金（period-certainannuity)和永续年金（Perpetuity）。按照年金在每期的支付时点不同，分为期初付年金（annuity-due）和期末付年金（Annuity-immediate）。按照年金开始支付的时间不同，分为即期年金和延期年金（deferredannuity）。按照每次付款的金额是否相等，分为等额年金(levelannuity)和变额年金(varyingannuity)。117本节主要内容（等额年金）期末付年金（Annuity-immediate）

期初付年金（Annuity-due）

期初付与期末付年金的关系延期年金（deferredannuity）永续年金（Perpetuity）1181、期末付年金（Annuity-immediate）期末付年金的含义：在n个时期中，每个时期末付款1。101123n-1n111119

的表达式n期期末付年金的现值记为，a表示annuity，i表示每期的实际利率（可省略）。在第1个时期末付款1的现值为，在第二个时期末付款1的现值为，这样继续下期，直到第n个时期末付款1的现值为，故期末付年金的现值120

期末付定期年金的现值

121 的表达式n期期末付年金在n时的积累值之和记为，i表示每期的实际利率（可省略）。在第1个时期末付款1的积累值是，在第二个时期末付款1的积累值为，……，第n个时期末付款1的积累值为1。期末付年金的累积值（终值）122期末付定期年金的终值

123一些等价关系式：（1）含义：初始投资1，历时n个时期。在每个时期，此投资1将产生在期末支付的利息i，这些利息的现值为。在第n个时期末，收回本金1，其现值为。（2）

含义：积累值等于现值乘以积累因子。1iii……10124（3）证明：(参见下页图示）1250n1……iiiii+11126例：有一笔1000万元的贷款，为期10年，若年实际利率为9％，试对下面三种还款方式比较其利息总量。本金和利息在第10年末一次还清；每年产生利息在当年末支付，而本金在第10年末归还。在10年期内，每年末偿还相同的金额。问题：请先推测大小？127解：（1）贷款在10年末的累积值为利息总额为2367.36-1000＝1367.36（2）每年的利息为90万元，利息总额为

10×90＝900128（3）设每年的偿还额为R，则解得

故利息总额为155.82×10－1000＝558.2

结论：偿还越迟，利息总量越高。1292、期初付年金（annuity-due）

期初付年金的含义：在n个时期中，每个时期期初付款1。

1111……1

0123……n-1n

130期初付定期年金的现值

131期初付定期年金的终值132记号——表示期初付年金的现值，i可省略记号——表示期初付年金的积累值，i可省略133和的关系（1）（2）（显然）（证明见下页）134证明：（参见下图解释）1350n1……dddd11d1363、期初付年金和期末付年金的比较期末付年金期初付年金137期末付年金与期初付年金的关系（1）（2）

138（3）（下页图示）说明:的n次付款可以分解为第1次付款再加上后面的(n–1)次付款。第1次付款的现值为1元，而后(n–1)次付款的现值为。1391Presentvalue＝+140（4）11……11n期11414、延期年金（deferredannuity）延期年金的含义：推迟若干时期后才开始付款的年金。推迟m个时期，且随后有n个时期的期末付年金可看作一个m＋n期期末付年金扣除一个m期的年金。延期年金现值为142例：

某年金共有7次付款1，分别在第3期末到第9期末依次支付。求此年金的现值和在第12期末的积累值。143年金的现值等于也等于144此年金在第12期的积累值等于也等于1455、永续年金（Perpetuity）永续年金：可以持续支付下去的年金，没有结束日期。记号表示期末付永续年金的现值。永续年金可看作将本金按利率i投资，每期支付利息，本金持续进行投资。146记号——表示期初付永续年金的现值。147n年的期末付年金可看作下述两个永续年金之差：第一个是每年末付款1，现值为；第二个是推迟n年，从n+1年开始每年支付1，现值为，因此n年的期末付年金的现值等于（参见下图）148现金流时间图149年金公式比较年金定期年金永续年金现值积累值期末付期初付150例：

某人留下遗产10万元。第一个10年将每年的利息付给受益人A，第二个10年将每年的利息付给受益人B，二十年后将每年的利息付给慈善机构C。若此项财产的年实际收益率为7％，确定三个受益者的相对受益比例。151解：10万元每年产生的利息是7000元。A所占的份额是B所占的份额是C所占的份额是

152从现值的角度看，A、B、C受益比例近似为49％，25％和26％。注：C的受益也可以看作在20年末一次性得到10万元，其现值等于1536、可变利率年金问题：如果用ik表示第k个时期的利率，即从时刻k-1到时刻k这段时间的利率，分别表示第1，2，…，t期的利率。如何计算年金的现值和累积值？012n-1ni1i2in154例：第一年初的1元，计算它在第二年末的终值时，它在第2年的利率按什么计算？以它投资时的利率i1计算以第二年的利率i2计算012i1i21?155期末付年金的现值解决途径：

1、每笔款项以经历时期的利率计算012n-1ni1i2in1111156期初付年金的现值012n-1ni1i2in1111157期末付年金的累积值012n-1ni1i2in1111158期初付年金的累积值（请大家写出）012n-1ni1i2in11111592、每笔款项都以其支付时的利率ik计算（了解）期末付年金的现值期末付年金的累积值012n-1ni1i2in1111160期初付年金的现值期初付年金的累积值012n-1ni1i2in1111161注：1、在可变利率条件下，下式仍然成立（请验证）：

2、在实践中，利率常常是几个时期才改变一次。此时，可以利用基本年金的公式。162年金基本年金永续年金的现值现值累积值期末付期初付小结163Excel应用1643某人每年年初存进银行1000元，前4年的年实际利率为6%，后6年由于通货膨胀率，年实际利率升到10%，计算第10年年末时存款的累积值。0410100010006%10%1000accumulatedvalue1000165孟生旺中国人民大学统计学院等额年金（II）：

每年支付m次的年金和连续支付的年金166回顾年金基本年金永续年金的现值现值累积值期末付期初付167上述年金的特点每年复利1次（给出年实际利率），每年支付1次问题：如何计算下述年金？每年复利k次（给出年名义利率），每年支付1次每年复利1次，每年支付m次解决途径之一：计算每次付款对应的实际利率，再应用基本公式。解决途径之二：建立新公式（只讨论每年支付m次的年金）168例：投资者在前2年的每年初向一基金存入1000元，在后3年的每年初存入2000元。如果该基金每月复利一次，月实际利率为0.5%，试计算该项投资在第5年末的价值。（应用基本公式）解：这是每年支付1次、每年复利12次的年金。相应的年实际利率为169因此该笔年金在第5年末的价值为原年金10001000200020002000第一项10001000100010001000第二项100010001000170例：一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果每年复利两次的年名义利率为6%，试计算每月末的付款金额。（应用基本公式）171解：假设月实际利率为j，每月偿还金额为X，则每年复利两次的年名义利率为6%，所以半年度的实际利率为3%，月实际利率为j=(1+3%)1/6–1=0.49386%所以172

每年支付m次的年金：建立新公式n表示年数。m表示每年的付款次数。nm表示年金的支付总次数。i

表示年实际利率。173

期末付年金（annuity-immediatepayablemthly）：每年支付m次,每次的付款为1/m元，每年的付款是1元。每年支付m次的期末付年金174证明：（级数求和）（分子分母同乘(1+i)1/m)支付n年，每年支付m次，每次支付1/m元，每年总共支付1元。其现值为：175176要求每次的付款额为1/m

，每年的付款总额为1元。是以每年的付款为单位1计算的。需要已知年实际利率和名义利率。应用上述现值公式的注意事项：例：10年内每月末支付400的现值？例：5年内每4个月末支付200的现值？177

的关系：证明：178上述年金的累积值可表示为

的关系：

例：10年内每季度末支付400的累积值？例：5年内每4个月末支付200的累积值？179注：

如果每年付款一次，即m=1，则有，所以期末付年金的现值成为期末付年金的终值成为180例：某投资者向一基金存入10000元，基金的年实际利率为5%，如果该投资者希望在今后的5年内每个季度末领取一笔等额收入，试计算该投资者每次可以领取多大金额。181解：假设在每个季度末可以领取x元，则每年的领取额是4x元，因此所有领取额的现值为，故：课后练习：请用excel，先求出季实际利率，再求解x，并比较计算的简便性。182练习（课外）：某投资者在每月末向一基金存入100元，如果基金的年实际利率为5%，试计算该投资者在第5年末可以积累到多少？解：这是一项每年支付12次的期末付年金，每年的支付额为1200元。因此有

183期初付年金（annuity-duepayablemthly）每年支付m次的期初付年金

184请比较每年支付m次的期初付年金的现值为：185

注：如果年付款一次，即m

=1，则有，所以期初付年金的现值成为186期初付年金的累积值可表示为

（请练习）187如果每年付款一次，即m=1，则有，所以期初付年金的终值成为对于每年支付m次的年金，由于期初付的每一次付款比期末付的每一次付款早1/m个时期，故有下述关系（请练习）：

188例：证明下列等式：（1）（2）证明：因为故证明上式等价于证明等价189（注：实际利率－实际贴现率＝实际利率×实际贴现率）因为得证两边乘以190永续年金：每年支付m次的永续年金的现值如下（两个年金相差1/m个时期）191例：投资者现在投资20000元，希望在今后的每月末领取100元，并无限期地领下去，年实际利率应该为多少？解：m=12，每年领取的金额为1200元。假设年实际利率为i，则：

192连续支付的年金

（continuouslypayableannuity）含义：假设连续不断地进行付款（），但每年的付款总量仍然为1元。记号：表示连续支付年金的现值表示连续支付年金的累积值193连续支付年金是年支付次数m趋于无穷大时的年金，故或连续支付年金与基本年金的关系：

194如果将连续支付年金的现值完全用利息力表示，则有

连续支付的永续年金：连续支付，每年的支付总量为1，支付期限为无穷。其现值为：195连续支付年金的累积值可以通过极限方式求得：连续支付年金的累积值也可以通过现值求得：196连续支付年金与基本年金的关系：如果将连续支付年金的累积值完全用利息力表示，则有197例：当利息力为多少时，解：将等式两边变形，可得198

而意味着利息力为0。故

因此使得上述等式成立的利息力为199等额年金公式小结

年金基本年金永续年金的现值现值累积值期末付期初付200年金每年支付m次的年金永续年金的现值现值累积值期末付期初付201连续支付的年金连续支付的永续年金的现值现值累积值202价值方程（equationofvalue）：

未知利率和未知时间的求解203例：如果现在投资1000元，3年后投资2000元，在10年后的全部收入为5000元，计算半年复利一次的年名义利率。解：令，价值方程为用excel求解此方程得（请练习）204例：假设某投资人的原始投入为500，他想每年末得到100的回报，年利率为3％，请问年金的付款次数是多少？若年金为5年期，则年金的现值为457.97，小于500。若年金为6年期，则年金的现值为541，大于500。205解决方案：1.

分五次付款，前4次每次付款100元，最后一次付款额为X，价值方程为

X=148.722.

分六次付款，前5次每次付款100元，最后一次付款为X，价值方程为

X=50.18

206例：投资者在每季初向基金存入1000元，当每年复利4次的年名义利率为多少时，在第5年末可以累积到30000元？解：假设每个季度的实际利率为j，那么每年复利4次的年名义利率为i(4)=4j，故应用Excel求解即得j=0.037189i(4)=4j=0.1488207孟生旺中国人民大学统计学院变额年金

（VaryingAnnuities）208主要内容递增年金（离散支付，离散递增）递减年金（离散支付，离散递减）复递增年金：按几何级数递增的年金每年支付m次的递增年金（略去递减年金）连续支付的变额年金：连续支付，离散递增（或递减）连续支付连续递增（或递减）的年金一般的连续支付连续变额现金流209回顾：等额年金公式年金基本年金永续年金的现值现值累积值期末付期初付210年金每年支付m次的年金永续年金的现值现值累积值期末付期初付211连续支付的年金（连续年金）连续支付的永续年金的现值现值累积值2121、递增年金（increasingannuity）期末付递增年金：第一期末支付1元，第二期末支2元，…，第n期末支付n元。按算术级数递增。如果用表示其现值，则有上式两边同时乘以(1+i)则有213

用第二式减去第一式则有

所以递增年金的现值为214递增年金分解表时期

0123…n–1

n递增年金123…n–1n等额年金111…1111…111…11………111递增年金=n年定期年金

+延期1年的(n–1)年定期年金

+延期2年的(n–2)年定期年金

+…+延期(n–1)年的1年定期年金215将上述各项年金的现值相加即得递增年金的现值为

216根据现值求得其累积值为期初付递增年金的现值期初付递增年金的累积值建议：只记忆期末付年金的现值公式。217当时，还可以得到递增永续年金的现值为在计算上述极限时，218例：某人希望购买一项年金，该项年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%，这项年金的现值应该是多少？解：年金分解如下：10001100180019009009009009001002009001000219例：写出下述年金的现值公式设A表示此年金的现值，则220例：证明下列关系式成立：

（1）（2）221（2）由于，因此（1）222时期

0123…n–1

n递减年金nn–1n–2…

21等额年金111…11111…1111…………

111111期末付递减年金：第一期末支付n元，第二期末支付n–1元，…，第n期末支付1元。按算术级数递减。2、递减年金（decreasingannuity）223因此递减年金的现值也可以表示为上述等额年金的现值之和，即：224递减年金的其他公式：225例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n年。从第n+1年开始，每年递减1元，直至最后一年付款1元。试计算该项年金的现值是多少？12nn-11226

2273、复递增年金（compoundincreasingannuity）

含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。期末付复递增年金：在第1年末支付1元，此后每年的支付金额按的复利r增长，直到第n年末支付(1+r)n-1。228上述年金的现值：变形可得：若ri,

令，则现值为：

若r=i,

则现值为

n/(1+i)

其中229例：某10年期的年金在第一年末付1000元，此后的给付金额按5％递增，假设年实际利率为11.3%，请计算这项年金在时刻零的现值。解：本例年金的现金流如下图所示：230

现值：其中因此该项年金的现值为：231期初付复递增年金：假设一项年金在第1年初给付1元，此后给付金额按复利增长，直到第n年初给付金额为元。232此项年金的现值表达式：若r

i，则可令，上式变形为：

其中

若r=i,则现值为n233问题：对于等额年金，期初付年金的现值是期末付年金的(1+i)倍，对于复递增年金而言，期初付与期末付存在什么关系？

若r=i,

期末付的现值为

n/(1+r)=n/(1+i)，期初付的现值为n.

若r≠i,期末付的现值为：期初付的现值为：结论：期初付的现值是期末付的(1+i)倍（参见下页图示）。234期末付：期初付：235例：一份20年期的年金，在第1年初给付200元，以后给付金额按10％的递增，假设年实际利率为5%，请计算此项年金在时刻零的现值。解：本例年金的现金流如下图所示：236此项年金的现值为：其中因此，此项年金的现值为：23710年期期末付年金的现值a与利率i的关系2384、每年支付m次的递增年金如果每年支付m次，付款又是递增的，将会出现下述两种情况：同一年的每次付款相同同一年的每次付款也是递增的239每年支付m次的递增年金：同一年的每次付款相同现值：注：见下页说明240第一年内所有付款的现值为第二年内所有付款的现值为……第n年内所有付款的现值为因此该项年金的现值为：241每年支付m次的递增年金：同一年的每次付款递增两种方法计算现值：（1）看做nm次付款的递增年金，应用递增年金的公式。（2）建立新公式（了解）242（1）应用递增年金公式计算现值：243令在式两边同时乘以，则有（2）建立新公式（了解）244上式两边同时乘以m，则有所以245比较：请写出累积值的公式。问题：如何应用上述公式？（每年付款m次，第一年的每次付款为1/m，第一年的付款总额为1）（每年付款m次，第一次付款为1/m2）246例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：100100100100200200200200012247100200300400500600700800012例：写出下述年金的现值计算公式（年利率i=10%)：248每年支付m次的递减年金（了解，课外练习）

2495、连续支付的变额年金

(continuouslypayablevaryingannuity)含义：支付次数趋于无穷，即支付是连续进行的，但支付金额随时间呈离散变化。连续支付的递增年金连续支付的递减年金假设在第一年连续支付1元，第二年连续支付2元，…，第n年连续支付n元，如下图所示：250连续支付的递增年金的现值为：251例：一个现金流在第1年连续支付30元，第2年连续支付40元，第3年连续支付50元，直到第10年连续支付120元，假设年实际利率为5%，求这项年金的现值。解：可以把这项年金分解为两项年金:252本例年金的现值为：可以计算出

253连续支付的递增年金的终值：连续支付的递增永续年金的现值：第1年连续支付1元，第2年连续支付2元，第3年连续支付3元，并以此方式无限地延续下去。其现值为254连续支付的递减年金：支付是连续进行的，但支付金额随时间离散递减。第1年连续支付n元，第2年连续支付n-1元，直到第n年连续支付1元。该年金的现金流如下图所示。255上述年金的现值：256例：一项年金在第1年连续支付100元，第2年连续支付90元，第3年连续支付80元，直到第10年连续支付10元，假设年实际利率为6％，求其现值。解：其现值的表达式为：因此本例年金的现值为：257变额年金公式小结年金递增年金永续年金的现值现值累积值每年支付1次每年支付m次连续支付258年金递减年金现值累积值每年支付1次每年支付m次连续支付2596、连续支付连续递增的年金（简称：连续递增年金）

（continuouslyincreasingannuity）

假设在时刻t的付款率（paymentrate）为t，常数利息力为d，则连续支付连续递增年金的现值为：注:I和

a

上都有横线。在时刻t

的付款率为t，表示按此付款，1年的付款总量将为t.260上式右边可用分部积分法展开：261连续支付连续递增年金的终值为262例：一项10年期的连续支付连续递增年金，在时刻t的付款率为9t+6，利息力为9％，计算此项年金在时刻零的现值。解：分解成两部分：连续支付连续递增的年金连续支付的等额年金其中：263例：一项年金的付款期是从第2年末至第7年末，并且在时刻t的付款率为3t-4，假设固定利息力为6％，试求此项年金在第7年末的终值。解：假设此年金的付款期是从时刻0到第7年末，则其终值可表示为：从时刻0到第2年末的付款累积到第7年末的价值为：因此，本例年金的终值为：264通过计算可得：

故本例年金的终值为：265连续支付连续递增的永续年金：在连续支付连续递增年金的现值公式中，令n趋于无穷大，则可以得到连续支付连续递增永续年金的现值公式：266例：一项连续支付的永续年金在时刻t的付款比率为3t，付款从0时刻起并一直延续下去，年实际利率为5％，则其现值为：2677、连续支付连续递减的年金（简称：连续递减年金）

(continuouslydecreasingannuity)含义：年金的支付期为n年，在时刻t的付款率为n-t，固定利息力为d。其现值用符号表示。连续支付连续递减年金的现值公式：

268例：一项10年期的年金，在时刻t的付款率为10-t，假设利息力为5％，试计算此项年金在时刻零的现值和在第10年末的终值。解：

现值：终值（累积值）：2698、一般的连续支付连续变额现金流现值：假设付款时间是从时刻a到时刻b，在时刻t的付款率为rt，利息力为dt。时刻

t支付的1在时刻a的现值为（下页图示）从时刻a到时刻b

内，所有付款在时刻a的现值是将所有付款的现值加总，在连续情况下就是对它们进行积分：270abc0t1在0点的现值累积到a点在a点的现值271例：一个连续支付的现金流支付期从时刻0开始到时刻0.5结束在时刻t的支付率为利息力为试计算此现金流在时刻零的现值。解：272令则其现值为：

273非立即支付现金流的现值：一个现金流的起始时刻为a>0，结束时刻为b，计算在0点的现值：方法一：计算此现金流在时刻a的现值，再将此现值从时刻a贴现到时刻零。方法二：改变前式对利息力积分的下积分限来得到在时刻零的现值：274例：一个连续支付现金流的支付率为rt

=3元，支付期限从时刻2到时刻6，并且具有固定的利息力dt=0.05，试计算此现金流在时刻零的现值。解：改变对利息力积分的积分限，有：

275

另一种方法：先计算现金流在时刻2的现值：从时刻2到时刻零的贴现因子为：

因此上述现金流在时刻零的现值为：

276终值：在时刻t支付1元，将其累积到时刻b的终值为（下页图示）为了计算从时刻a到时刻b内所有付款的终值，需要将该期间内所有付款的终值加总，在连续情况下就是对它们进行积分：277abc0t1在0点的现值累积到b点在b点的累积值278为了将一个连续支付的现金流累积到支付期间以后的某一时点c，有两种方法：方法一：计算在时刻b的终值，再累积到时刻c。方法二：改变积分上限得到在时刻c的终值：

279例：一个连续支付的现金流，其支付比率为，支付期间从时刻1到时刻6，并有固定利息力，试计算此现金流在时刻9的终值。解：现金流在时刻9的终值为：

280另一种解法：首先计算此现金流在时刻6的终值：