信号与系统教案名师优质课赛课一等奖市公开课获奖课件

第三章离散系统时域分析3.1LTI离散系统响应

一、差分与差分方程二、差分方程经典解三、零输入响应和零状态响应3.2单位序列响应和阶跃响应

一、单位序列响应二、阶跃响应3.3卷积和

一、序列分解与卷积和二、卷积图解三、不进位乘法四、卷积和性质点击目录，进入相关章节第1页第三章离散系统时域分析连续离散描述线性微分方程线性差分方程经典法求解齐次解+特解齐次解+特解系统分析运算卷积积分卷积和基本信号基本响应h(t)g(t)h(k)g(k)第2页第三章离散系统时域分析3.1LTI离散系统响应一、差分与差分方程

设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等称为f(k)移位序列。仿照连续信号微分运算，定义离散信号差分运算。1.差分运算离散信号改变率有两种表示形式：第3页3.1LTI离散系统响应（1）一阶前向差分定义：f(k)=f(k+1)–f(k)（2）一阶后向差分定义：f(k)=f(k)–f(k–1)式中，和称为差分算子，无标准区分。本书主要用后向差分，简称为差分。（3）差分线性性质：

[af1(k)+bf2(k)]=af1(k)+bf2(k)（4）二阶差分定义：

2f(k)=[f(k)]=[f(k)–f(k-1)]=f(k)–f(k-1)=f(k)–f(k-1)–[f(k-1)–f(k-2)]=f(k)–2f(k-1)+f(k-2)（5）m阶差分:

mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+…+bmf(k-m)所以，可定义：第4页3.1LTI离散系统响应2.差分方程

包含未知序列y(k)及其各阶差分方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得普通形式

y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)

差分方程本质上是递推代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。例：若描述某系统差分方程为

y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k),求y(k)。解：y(k)=–3y(k–1)–2y(k–2)+f(k)y(2)=–3y(1)–2y(0)+f(2)=–2y(3)=–3y(2)–2y(1)+f(3)=10……普通不易得到解析形式(闭合)解。

第5页3.1LTI离散系统响应二、差分方程经典解y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)与微分方程经典解类似，上述差分方程解由齐次解和特解两部分组成。齐次解用yh(k)表示，特解用yp(k)表示，即y(k)=yh(k)+yp(k)1.齐次解yh(k)

齐次解是齐次差分方程

y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0解。yh(k)函数形式由上述差分方程特征根确定。第6页齐次方程

y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0其特征方程为1+an-1λ–1+…+a0λ–n=0

，即λn+an-1λn–1+…+a0=0其根λi(i=1，2，…，n)称为差分方程特征根。第7页3.1LTI离散系统响应2.特解yp(k):第8页例：若描述某系统差分方程为

y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=–1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程全解。解：特征方程为λ2+4λ+4=0可解得特征根λ1=λ2=–2，其齐次解

yh(k)=(C1k+C2)(–2)k特解为yp(k)=P(2)k,k≥0代入差分方程得P(2)k+4P(2)k–1+4P(2)k–2=f(k)=2k

，解得P=1/4所以得特解：yp(k)=2k–2,k≥0故全解为y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(–2)k+2k–2,k≥0代入初始条件解得C1=1,C2=–1/43.1LTI离散系统响应第9页3.1LTI离散系统响应三、零输入响应和零状态响应第10页对于零输入响应，因为激励为零，故有:第11页第12页3.1LTI离散系统响应例：若描述某离散系统差分方程为

y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知激励f(k)=2k,k≥0，初始状态y(–1)=0,y(–2)=1/2,求系统零输入响应、零状态响应和全响应。解：（1）yx(k)满足方程yx(k)+3yx(k–1)+2yx(k–2)=0其初始状态yx(–1)=y(–1)=0,yx(–2)=y(–2)=1/2首先递推求出初始值yx(0),yx(1),yx(k)=–3yx(k–1)–2yx(k–2)yx(0)=–3yx(–1)–2yx(–2)=–1,yx(1)=–3yx(0)–2yx(–1)=3方程特征根为λ1=–1，λ2=–2，其解为yx(k)=Cx1(–1)k+Cx2(–2)k

将初始值代入并解得Cx1=1,Cx2=–2

所以yx(k)=(–1)k–2(–2)k,k≥0第13页3.1LTI离散系统响应yf(k)+3yf(k–1)+2yf(k–2)=f(k)初始状态yf(–1)=yf(–2)=0递推求初始值

yf(0),yf(1)，

yf(k)=–3yf(k–1)–2yf(k–2)+2k,k≥0yf(0)=–3yf(–1)–2yf(–2)+1=1yf(1)=–3yf(0)–2yf(–1)+2=–1分别求出齐次解和特解，得

yf(k)=Cf1(–1)k+Cf2(–2)k+yp(k)=Cf1(–1)k+Cf2(–2)k+(1/3)2k代入初始值求得Cf1=–1/3,Cf2=1所以yf(k)=–(–1)k/3+(–2)k+(1/3)2k,k≥0（2）零状态响应yf(k)

满足第14页3.2单位序列响应和阶跃响应3.2单位序列响应和阶跃响应一、单位序列和单位阶跃序列第15页第16页第17页第18页第19页第20页第21页第22页第23页第24页3.2单位序列响应和阶跃响应二、单位序列响应和单位阶跃响应第25页3.2单位序列响应和阶跃响应

例1已知某系统差分方程为y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)求单位序列响应h(k)。解依据h(k)定义有

h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=δ(k)（1）

h(–1)=h(–2)=0（1）递推求初始值h(0)和h(1)。h(k)=h(k–1)+2h(k–2)+δ(k)h(0)=h(–1)+2h(–2)+δ(0)=1h(1)=h(0)+2h(–1)+δ(1)=1方程（1）移项写为第26页3.2单位序列响应和阶跃响应(2)求h(k)。对于k>0，h(k)满足齐次方程

h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=0

其特征方程为(λ+1)(λ–2)=0

所以h(k)=C1(–1)k+C2(2)k

，k>0h(0)=C1+C2=1,h(1)=–C1+2C2=1解得C1=1/3,C2=2/3h(k)=(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k,k≥0或写为h(k)=[(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k]ε(k)第27页3.2单位序列响应和阶跃响应

例2：若方程为：

y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)–f(k–2)

求单位序列响应h(k)解h(k)满足

h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=δ(k)–δ(k–2)令只有δ(k)作用时，系统单位序列响应h1(k),它满足

h1(k)–h1(k–1)–2h1(k–2)=δ(k)依据线性、时不变性，

h(k)=h1(k)–h1(k–2)=[(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k]ε(k)–[(1/3)(–1)k–2+(2/3)(2)k–2]ε(k–2)第28页3.2单位序列响应和阶跃响应第29页3.2单位序列响应和阶跃响应第30页3.2单位序列响应和阶跃响应第31页3.2单位序列响应和阶跃响应第32页3.2单位序列响应和阶跃响应第33页3.2单位序列响应和阶跃响应第34页3.2单位序列响应和阶跃响应第35页3.2单位序列响应和阶跃响应(k2≥k1)两个惯用求和公式：第36页3.3卷积和3.3卷积和一、卷积和1.序列时域分解任意离散序列f(k)可表示为

f(k)=…+f(-1)δ(k+1)+f(0)δ(k)+f(1)δ(k-1)+f(2)δ(k-2)+…+f(i)δ(k–i)+…第37页3.3卷积和2.任意序列作用下零状态响应yf(k)f(k)依据h(k)定义：δ(k)

h(k)由时不变性：δ(k

-i)h(k-i)f(i)δ(k-i)由齐次性：f(i)h(k-i)由叠加性：‖f(k)‖yf(k)卷积和第38页3.3卷积和3.卷积和定义已知定义在区间（–∞，∞）上两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和为f1(k)与f2(k)卷积和，简称卷积；记为

f(k)=f1(k)*f2(k)注意：求和是在虚设变量i下进行，i为求和变量，k为参变量。结果仍为k函数。第39页第40页3.3卷积和例：f(k)=akε(k),h(k)=bkε(k)，求yf(k)。解：yf(k)=f(k)*h(k)当i<0,ε(i)=0；当i>k时，ε(k-i)=0ε(k)*ε(k)=(k+1)ε(k)第41页第42页3.3卷积和二、卷积图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元：k换为i→得f1(i)，f2(i)（2）反转平移：由f2(i)反转→f2(–i)平移k→f2(k–i)（3）乘积：f1(i)f2(k–i)（4）求和：i从–∞到∞对乘积项求和。注意：k为参变量。下面举例说明。第43页3.3卷积和例：f1(k)、f2(k)如图所表示，已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求f(2)=？解：（1）换元（2）f2(i)反转得f2(–i)（3）f2(–i)右移2得f2(2–i)（4）f1(i)乘f2(2–i)（5）求和，得f(2)=4.5f2(–i)f2(2–i)第44页3.3卷积和三、不进位乘法求卷积f(k)=全部两序列序号之和为k那些样本乘积之和。如k=2时f(2)=…+f1(-1)f2(3)+f1(0)f2(2)+f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)+…例

f1(k)={0，f1(1)，f1(2)，f1(3)，0}f2(k)={0，f2(0)，f2(1)，0}=…+f1(-1)f2(k+1)+f1(0)f2(k)+f1(1)f2(k-1)+f1(2)f2(k-2)+…+f1(i)f2(k–i)+…第45页3.3卷积和f1(1)，f1(2)，f1(3)f2(0)，f2(1)×——————————————————f1(1)f2(0)，f1(2)f2(0)，f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)，f1(2)f2(1)，f1(3)f2(1)+—————————————————————f1(3)f2(1)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(1)f2(0)f(k)={0，f1(1)f2(0)，f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)，f1(3)f2(1)，0}排成乘法第46页3.3卷积和例

f1(k)={0，2，1，5，0}↑k=1f2(k)={0，3，4，0，6，0}↑k=03，4，0，62，1，5解×————————15，20，0，303，4，0，66，8，0，12+————————————6，11，19，32，6，30求f(k)=f1(k)*f2(k)