2021年福建省福州市马鼻中学高二数学理期末试卷含解析

2021年福建省福州市马鼻中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为()A．7πB．9πC．11πD．13π参考答案：D如图，由题意可知∠AMN＝60°，设球心为O，连结ON、OM、OB、OC，则ON⊥CD，OM⊥AB，且OB＝4，OC＝4.在圆M中，∵π·MB2＝4π，∴MB＝2.在Rt△OMB中，OB＝4，∴OM＝2.在△MNO中，OM＝2，∠NMO＝90°－60°＝30°，∴ON＝.在Rt△CNO中，ON＝，OC＝4，∴CN＝，∴S＝π·CN2＝13π.

2.圆心为O（﹣1，3），半径为2的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+3）2=2 B．（x+1）2+（y﹣3）2=4 C．（x﹣1）2+（y+3）2=4 D．（x+1）2+（y﹣3）2=2参考答案：B【考点】圆的标准方程．【分析】以（a，b）为圆心，r为半径的圆是：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，结合题意，将圆心坐标，半径值代入即可得答案．【解答】解：∵圆的圆心坐标为（﹣1，3），半径为2，∴圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣3）2=4．故选：B．3.已知，函数在上是单调增函数，则的最大值是（）A．0

B．1

C.2

D．3参考答案：D4.过点平行于极轴的直线的极坐标方程是()A．ρcosθ＝4

B．ρsinθ＝4

C．ρsinθ＝

D．ρcosθ＝参考答案：C略5.曲线与直线围成的封闭图形的面积是A.

B.

C.

D.参考答案：D略6.设F1，F2是椭圆=1的左、右两个焦点，若椭圆上满足PF1⊥PF2的点P有且只有两个，则离心率e的值为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.

已知为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，则A.B.C.D.参考答案：A略8.已知椭圆的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于()A.4

B.5

C.7

D.8参考答案：D9.定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则（

）A.；

B.8；

C.或8；

D.6

参考答案：B略10.如图，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（

）A.36 B.48 C.72 D.108参考答案：C【分析】对面与面同色和不同色进行分类，结合分步乘法计算原理，即可得出答案.【详解】当面与面同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有2种方法，即种当面与面不同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有1种方法，即种即不同的染色方法总数为种故选：C【点睛】本题主要考查了计数原理的应用，属于中档题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线ax+y+2=0的倾斜角为135°，则a=

．参考答案：1【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线的倾斜角，得出斜率的值，从而求出a的值．【解答】解：当直线ax+y+2=0的倾斜角为135°时，直线l的斜率k=tan135°=﹣1；∴﹣a=﹣1解得a=1．故答案为：1【点评】本题考查了利用直线的倾斜角求直线斜率的应用问题，是基础题目．12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若?x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为．参考答案：﹣≤a≤考点： 绝对值不等式的解法．专题： 不等式的解法及应用．分析： 当x≥0时，分类讨论化简函数的解析式，再结合奇函数的性质可得函数的图象．结合条件：?x∈R，f（x﹣1）≤f（x），可得6a2≤1，由此求得a的范围．解答： 解：当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2）．∴当0≤x≤a2时，f（x）==﹣x；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；当x＞2a2时，f（x）=x﹣3a2．由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出f（x）在R上的图象，如图所示：当x＞0时，f（x）的最小值为﹣a2，当x＜0时，f（x）的最大值为a2，由于?x∈R，f（x﹣1）≤f（x），故函数f（x﹣1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，结合（图二）可得1﹣3a2≥3a2，即6a2≤1，求得﹣≤a≤，故答案为：﹣≤a≤．点评： 本题主要考查带有绝对值的函数，奇函数的性质，函数的图象特征，属于中档题．13.在边长为1的正方形ABCD中，若E是CD的中点，则=__________．参考答案：1略14.球O被平面所截得的截面圆的面积为π，且球心到的距离为，则球O的体积为______.参考答案：【分析】先求出截面圆的半径，利用勾股定理可求得球的半径，再利用球的体积公式可得结果.【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，则，∴，∴，∴，球的体积为，故答案为.【点睛】本题主要考查球的性质以及球的体积公式，属于中档题.球的截面问题，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质.15.

如图，已知平面，，则图中直角三角形的个数为________．参考答案：416.已知是复数，且，则的最大值为

参考答案：617.已知直线和圆交于两点，且,

则S△AOB=_____________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的次预赛成绩记录如下：

甲

乙

（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；（3）①求甲、乙两人的成绩的平均数与方差，②若现要从中选派一人参加数学竞赛，根据你的计算结果，你认为选派哪位学生参加合适？参考答案：（1）作出茎叶图如下；

…………2分（2）记甲被抽到的成绩为，乙被抽到成绩为，用数对表示基本事件：基本事件总数

……4分记“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A包含的基本事件：

……5分事件A包含的基本事件数，所以

所以甲的成绩比乙高的概率为………………6分（3）①

，

……10分②，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适。…………12分19.数列{an}满足Sn=2n﹣an（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．参考答案：【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式；F1：归纳推理．【分析】（Ⅰ）通过n=1，2，3，4，直接计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式；（Ⅱ）直接利用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设，证明．【解答】（本小题满分8分）解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=2﹣a1，所以a1=1．当n=2时，a1+a2=s2=2×2﹣a2，所以．同理：，．由此猜想…（Ⅱ）证明：①当n=1时，左边a1=1，右边=1，结论成立．②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即，那么n=k+1时，ak+1=sk+1﹣sk=2（k+1）﹣ak+1﹣2k+ak=2+ak﹣ak+1，所以2ak+1=2+ak，所以，这表明n=k+1时，结论成立．由①②知对一切n∈N*猜想成立．…20.(本题满分12分)求使函数的图像全在轴上方成立的充要条件.参考答案：解：21.（本小题满分12分）某玩具厂计划每天生产A、B、C三种玩具共100个.已知生产一个玩具A需5分钟，生产一个玩具B需7分钟，生产一个玩具C需4分钟，而且总生产时间不超过10个小时.若每生产一个玩具A、B、C可获得的利润分别为5元、6元、3元.（I）用每天生产的玩具A的个数与玩具B的个数表示每天的利润元；（II）请你为玩具厂制定合理的生产任务分配计划，使每天的利润最大，并求最大利润.参考答案：解：（I）依题意，每天生产的玩具C的个数为，

所以每天的利润.…..2分

（II）约束条件为：

，整理得.

…………5分

目标函数为.

如图所示，做出可行域.……8分

初始直线，平移初始直线经过点A时，有最大值.

由得.

最优解为A，此时（元）.

……10分

答：每天生产玩具A50个，玩具B50个，玩具C0个，这样获得的利润最大，最大利润为550元.

………………….12分略22.用数学归纳法证明：对任