(完整版)数列求和方法归纳

数列求和解：12+12解：12+12+102102102+129222+928232+8212102+12一、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前n项和：1+2+3++n=n(n+1),1+3+5+……+(2n-l)=n2212+22+32+……+n2=nn+l)(2n+1),13+23+33+……+n3」n(n+1)12等.6L2」例1求-12+22-32+42-52+62992+1002・解：原式=(22-12)+(42-32)+(62-52)+•••+(1002-992)=3+7+11+•••+199・由等差数列求和公式，得原式二50X(3+199)二5050・2变式练习：已知logx--1，求X+X2+x3++xn+的前n项和.3log321解：1—2n二、倒序相加法此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.例2求」^+-^+-^++的和.12+10222+9232+82102+122232102++■■■+22+9232+82102+12两式相加，得2S-1+1+・・・+1-10,.・.S-5・三、裂项相消法常见的拆项公式有：一1—-丄(丄-丄),1~=-丄&为匚！-环,n(n+k)knn+kJn+k+Qnk1-1(11)等—(—),等.(2n-1)(2n+1)22n-12n+1

例3已知12+2244n2=-n(n例3已知12+2244n2=-n(n+1)(2n+1),672n+1求-+5++…+(ngN*)的和.1212+2212+22+3212+2++n22n+12n+16==一12+22+•••+〃1n(n+1)(2n+1)n(n+1)6111++■■■+1x22x3n(n+1)(1、(11、11"1一一++...+12丿,2_3丿nn+1=66(1)=61-——In+1丿=lnn+1小结：如果数列｛a｝的通项公式很容易表示成另一个数列｛b｝的相邻两项的差，即nna=b一b，则有S=b一b.这种方法就称为裂项相消求和法.nn+1nn411变式练习：求数列右12^413^5岛，…的前n项和S.11nn42n(n+2)11nn42)=2(1一2一n+1一岛)=4一2n+22n+4四、错位相减法源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如｛ab｝的数列，其中｛a｝为等差数列，｛b｝nnnn为等比数列，均可用此法.例4求x+3x2+5x34卜(2n一1)xn的和.解：当x丰1时，S=亠+2x2(1一xn一1)(2n一1)xn+1n1一x(1-x)2小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列｛b｝的公比；②将两个等式相n减；③利用等比数列的前n项和公式求和.变式练习：求数列a,2a2,3a3,4a4,…,nan,・・・(a为常数)的前n项和。解：(1)若a=0,则S=0(2)若a=1,则S=1+2+3+・・・+n=n(n+】)nn2(3)若a#0且a#1/.aS=a2+2a3+3a4+・・・+nan+ina-/.aS=a2+2a3+3a4+・・・+nan+ina-an+1一nan+11-a当a=0时…此式也成立。(1-a)Sn=a+a2+a3+・・・+an-nan+1=a—an+1nan+1…Sn=—(a丰1)n(1—a)21—an(n+1)(_^(a二1)a—an+1nan+1—(a主1)TOC\o"1-5"\h\z(1—a)21—a五、分组求和法若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.例5求数列21,1,丄,…,n+丄，…的前n项和S・48162n+in(111S=(2+4+6+■■•+2n)+—+—+—+…■+1222324变式练习：求数列中9,3占哈…的前n项和数列求和基础训练1•等比数列｛an｝的前n1•等比数列｛an｝的前n项和Sn=2.1'则a12+a2+a2234n-1+a2=-n32•设S=—1+3—5+7-•••+(—1)n(2n—1)，贝USnn111n(—l)n-n・3-匕+J?1，+(3n-2)x(3n+1^3n+广4.丄+丄+丄+...+1=12•43•54•6(n+1)(n+3)115.数列1,(1+2),(1+2+22),・.・,(1+2+22+•••+2n—1),…的通项公式a=2n—1,前n项和S=nn2‘22‘232‘22‘23'◎，…;的前n项和为S=3-2n+3n2n2n数列求和提高训练1•数列｛an｝满足:a1=1,且对任意的m,n^N*都有：a111+++…+a1•数列｛an｝满足:a1=1,且对任意的m,n^N*都有：a111+++…+a1(A)A．aa234016a20082009解：7am+n=am+an+mn，B．•.a.利用叠加法得到:20082009^^3n＋1nn(n+1)111・•・一+—++…+—

aaaa1232008C20071004D20072008a+e+n=an+1+n，1_an(n+1)n21二2(--

nn+1)'L二2(1-1+1-1+…+1223—)二2(1-200820094016)=20092009TOC\o"1-5"\h\z2.数列｛an｝、｛bn｝都是公差为1的等差数列，若其首项满足a1+b1=5,a1>b1，且a1，b占N*，则数列｛a｝前10项的和等于（B）1bnA．100B．85C．70D．55解：°.°a=a+n——1，b=b、+n——1n1n1ab=a]+b”一1=a]+(b1解：°.°a=a+n——1，b=b、+n——1n1n1bn11111+n——+n——2=n+3则数列｛a｝也是等差数列，并且前10项和等于:bn上口x10=85答案：B.23.设m=1X2+2X3+3X4+…+(n-1)・n，贝Um等于(A)A.n(n2—DB.1n(n+4)C.1n(n+5)D.1n(n+7)32223.解：因为an=n2-n.,则依据分组集合即得.答案;A.4.若S”=1-2+3-4+…+（-1）n-1・n,则S17+S33+s50等于（A）A.1B.-1C.0D.2=^（n为奇）解：对前n项和要分奇偶分别解决，即：S“=｛2答案：A（n为偶）J2

5•设｛an｝为等比数列,｛bn｝为等差数列，且b]=O,cn=an+bn,若数列｛c“｝是1丄2,…,则｛c“｝的前10项和为(A)A.978B.557C.467D.979fq+d=1解由题意可得a1=1,设公比为q,公差为d,则f[q2+2d=2q2-2q=0,*.*q工0,q=2,an=2n-i,bn=(n-1)(-1)=1-n,c”=2n-i+1-n,Sn=978.答案：A6.若数列｛an｝的通项公式是an=(-1)n(3n-2)，则a1+a2+-+a10=(A)A．15B.12C．－12D.－15解析A设bn=3n-2,则数列｛bn｝是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1+a2+…+a9+a10二(-bj+b2+…+(-b9)+b10二(b2-bj+(b4-b3)+…+(b10-b9)=5X3=15.7.一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为解：设此数列｛an｝,其中间项为a1001,则S奇则S奇=°1+勺+%+"*2001=1001•ai001'S『a2+a4+a6+"・+a2OOoiOOOaiOO1.答案:10011000解：原式=(n一解：原式=(n一1)n•(2n一1)62n3—3n2+n6答案：,c=8.若12+22+“・+(n-1)2=an3+bn2+cn，贝Ua=,b=,c=9.已知等差数列｛an｝的首项a1=1，公差d>0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列｛bn｝的第二、三、四项.(1)求数列｛an｝与｛bn｝的通项公式；二a成立.n+1(2)设数列｛c｝对任意自然数n均有二二a成立.n+1123求c]+c2+c3c2014的值.解得d=2,.°.a=2n-1，可得b=3n-inn解：(1)由题意得(a解得d=2,.°.a=2n-1，可得b=3n-innc⑵当n=1时，c,=3；当n±2时，由才=a—a，得c=2・3n-i，1bn+1nnn|3(n=1),故cn=[2•3n_1(n>2).故ci+c2+c3+••十2014=3+2X3+2X3+・.+2X32002=32015・nn10.设数列｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7=7,S15=75,Tn为数列jSn"勺前n项和，求Tn.解析设等差数列｛an｝的首项为a1，公差为d,则S”二na1+2n(n-1)d.vS7二7,S15二75,7a1+21d二7,15a1+105d二75,Ia+3d二1,即］1q+7d二5,Ja1二-2,、d二1.(n1-+一一d-2+2(n-1)．计数列汩是首项为-2,公差为2的等差数列•丄9七二4n2-4n11.已知数列｛an｝的首项a12=3'2aa=■—"+1a+1n(1)证明：数列n是等比数列；(2)求数列2a1a+11,1解析(1)van+1=a_+r，・a_1=la-nn+1n2+2a…n1/+1n项和S.na】=3，••寸-••寸-1=2工0，・十-1工01n丄—1•1…丄an・•・数列|土-”是以2为首项，2为公比的等比数n(2)由(1)知+—1=gn即丄