广东省梅州市陂西中学高三数学理月考试题含解析

广东省梅州市陂西中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=2n﹣1．n∈Z}，则A∩B=（）A．{1，3} B．{0，2} C．{1} D．{﹣1，1，3}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=2n﹣1．n∈Z}，∴A∩B={﹣1，1，3}，故选：D2.函数f(x)＝x与函数g(x)＝在区间(－∞，0)上的单调性为()A．都是增函数B．都是减函数C．f(x)是增函数，g(x)是减函数D．f(x)是减函数，g(x)是增函数参考答案：D略3.对于平面α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是（）A．如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥nB．如果m?α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α参考答案：A【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；2K：命题的真假判断与应用．【分析】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，如果m?α，n∥α，则m∥n或m与n异面，又由m、n共面，那么m∥n；如果m?α，n与α相交，那么m、n相交或m、n是异面直线；如果m?α，n?α，当m、n是异面直线时，则n与α可能平行，也可能相交；如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α或n?α．分析后即可得到正确的答案．【解答】解：A答案中：如果m?α，n∥α，则m∥n或m与n异面，又由m、n共面，那么m∥n，故A正确；B答案中：如果m?α，n与α相交，那么m、n相交或m、n是异面直线，故B答案错误；C答案中：如果m?α，n?α，当m、n是异面直线时，则n与α可能平行，也可能相交，故C答案错误；D答案中：如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α或n?α故D答案错误；故选A【点评】要判断空间中直线与平面的位置关系，有良好的空间想像能力，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能利用教室、三棱锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件．4.设满足约束条件，则目标函数的最大值为11，则的最小值为（

）A．2

B．4

C．6

D．8

参考答案：B试题分析：满足约束条件的区域是一个四边形，如图4个顶点是，由图易得目标函数在取最大值，即∴，∴，在时是等号成立，∴的最小值为．考点：简单线性规划．【思路点睛】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数的最大值为，求出的关系式，再利用基本不等式求出的最小值．5.若，，则是（

）A．第一象限角

B．第二象限角

C．第三象限角

D．第四象限角参考答案：B6.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有，则()A．f(3)＜f(－2)＜f(1)

B．f(1)＜f(－2)＜f(3)C．f(－2)＜f(1)＜f(3)

D．f(3)＜f(1)＜f(－2)参考答案：A7.学校高中部共有学生2000名，高中部各年级男、女生人数如下表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.18，现用分层抽样的方法在高中部抽取50名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为（）

高一级高二级高三级女生373yx男生327z340A．14B．15C．16D．17参考答案：B

考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先利用抽到高三年级学生的概率求出x，y，z．然后利用分层抽样的定义确定高二年级应抽取的学生人数．解答：解：因为高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.18，所以，解得x=360．所以高一人数为373+327=700，高三人数为360+340=700，所以高二人数为2000﹣700﹣700=600．所以高一，高二，高三的人数比为700：600：700=7：6：7，所以利用分层抽样从高中部抽取50人，则应在高二抽取的人数为人．故选B．点评：本题的考点是分层抽样的应用，比较基础．8.设集合A={}，则满足AB={0，1，2}的集合B的个数是

(A)1

(B)3

(C)4

(D)6参考答案：D略9.已知向量的最小值为A.12 B. C.15 D.参考答案：B【分析】根据向量平行求出的关系式，结合均值定理可求最小值.【详解】因，所以，，当且仅当时，取到最小值.【点睛】本题主要考查平面向量平行的应用及均值定理求最小值，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.10.阅读如图所示的程序框图，则输出的S＝()A．45

B．35C．21

D．15参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于

．参考答案：设的三边分别为，

由余弦定理可得，可得，

可得该三角形的外接圆半径为故答案为

12.某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是

．参考答案：福州三宝的全排列共有种排法，角梳与纸伞相邻的排法，有种排法，∴根据古典概型概率公式可得，角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是，故答案为.

13.若，则实数的取值范围是__________.参考答案：略14.平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条直线，则任取其中的三个点，构成三角形的概率是．参考答案：【考点】C7：等可能事件的概率．【分析】通过讨论先判断出11个点中有一个4点共线，一个3点共线，然后利用组合的方法求出从11个点中任取三个点的方法及任取三个点能构成三角形的方法，利用古典概型的概率公式求出答案．【解答】解：若任意三点不共线，则任两点一条直线，共有直线C112=55，因为共得48条直线，少了7条，所以存在多点共线的情况，若3点共线的话则减少C32﹣1=2条，若4点共线减少C42﹣1=5条，若5点以上共线减少超过7条，所以11个点中有一个4点共线，一个3点共线，从11个点中任取三个点共有C113=165种，共线有C43+C33=5种由古典概型的概率公式得构成三角形概率是．故答案为：．【点评】本题考查古典概型的概率的求法，关键是求出事件包含的基本事件的个数，常用的方法有：排列组合的方法、列举法、列表法、树状图的方法等．15.的展开式中的系数是

参考答案：16.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为_________．参考答案：略17.已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）的奇函数，它们的定义域为[﹣π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式的解集为．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；函数的图象．【分析】由不等式可知f（x），g（x）的函数值同号，观察图象选择函数值同号的部分，再由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，得到f（x）g（x）是奇函数，从而求得对称区间上的部分，最后两部分取并集．【解答】解：x∈[0，π]，由不等式，可知f（x），g（x）的函数值同号，即f（x）g（x）＞0．根据图象可知，当x＞0时，其解集为：（0，），∵y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，∴f（x）g（x）是奇函数，∴当x＜0时，f（x）g（x）＜0，∴其解集为：（﹣π，﹣），综上：不等式的解集是，故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知向量（1）求；（2）求的最值．参考答案：(1)

……

(6分）(2)∴最大值是5，此时最小值是1，此时…………（12分）19.（本小题满分14分）设a＜1，集合，，。（1）求集合D（用区间表示）；（2）求函数在D内的极值点．参考答案：本题是一个综合性问题，考查集合与导数的相关知识，考查了学生综合解决问题的能力，难度较大.

20.某市高二年级学生进行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛，规定成绩在110分及110分以上的学生进入决赛，110分以下的学生则被淘汰，现随机抽取500名学生的初赛成绩按[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]做成频率副本直方图，如图所示：（假设成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）（1）求这500名学生中进入决赛的人数，及进入决赛学生的平均分（结果保留一位小数）；（2）用频率估计概率，在全市进入决赛的学生中选取三人，其中成绩在[130，150]的学生数为X，试写出X的分布列，并求出X的数学期望及方差．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意和频率分布直方图列出方程，求出a，由此能求出这500名学生中进入决赛的人数，及进入决赛学生的平均分．（2）成绩在130分以上的学生数X是一个随机变量，其可能取值为0，1，2，3，X～B（3，），由此能求出X的分布列、数学期望及方差．【解答】解：（1）由题意和频率分布直方图，得：4+0.0128+0.0112+0.0056+0.0040+a，解得a=0.0020，∴这500名学生中进入决赛的人数为：（0.0040+0.0020）×500×20=60，进入决赛学生的平均分为：40×0.0056×20+60×0.0128×20+80×0.0144×20+100×0.0112×20+120×0.0040×20+140×0.0020×20=80.48≈80.5，∴这500名学生中有60人进入决赛，进入决赛学生的平均分为80.5分．（2）∵进入决赛的60名学生中，成绩在130分以上的学生有20人，用频率估计概率，则学生成绩在[110，130）之间的概率为，在[130，150]之间的概率为，成绩在130分以上的学生数X是一个随机变量，其可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）=，∴X的分布列为：X0123P∵X～B（3，），∴E（X）=3×=1，D（X）=3×=．21.(本题满分12分）一水渠的横截面如下图所示，它的横截面曲线是抛物线形，AB宽2m，渠OC深为1.5m，水面EF距AB为0.5m.（1）求截面图中水面宽度；（2）如把此水渠改造成横截面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面梯形的下边长为多大时，才能使所挖的土最少？参考答案：【知识点】抛物线的应用．

H7【答案解析】（1）m；（2）截面梯形的下边长为m时，才能使所挖的土最少.

解析：（1）建立如图所示坐标系，则抛物线方程为x2=(y+)，当y=-0.5时，x=±，∴水面宽EF=m.（2）如上图，设抛物线一点M(t,t2-)（t>0），因改造水渠中需挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点M与抛物线相切的切线挖土.由y=x2-,求导得y′=3x，∴过点M的切线斜率为3t，切线方程为y-(t2-)=3t(x-t).令y=0，则x1=,令y=-,则x2=,故截面梯形面积为S=(2x1+2x2)·=(+t)≥,当且仅当t=时所挖土最少，此时下底宽m.【思路点拨】（1）先建立直角坐标系，从而可得到A，B，C的坐标，然后设出抛物线的标准形式，将A的坐标代入即可得到抛物线的方程，再结合点E的纵坐标可求得其横坐标，从而可求得EF的宽度．（2）先设出点M的坐标，根据沿过点M与抛物线相切的切线挖土时挖出的土最少，然后对抛物线方程进行求导，求得点M的切线的斜率，表示出切线方程，然后令y=0、﹣，求得对应的x的值，从而表示出截面面