23 线性边值问题和等价变分问题

2.3线性边值问题和等价变分问题2.3.1变分和变分方程泛函是函数空间到数值空间的映射，取不同的形式的函数对应有不同的泛函值。在[气%]上，取简单泛函：JU(X)}=jx2FL,U(x)k它的定义域是在[X1，x2]上有定义的可取函数集肱，记为UGM1.变分若给定U(x)一个很小的变化其中：印(x)表示函数形式的微小变化，称为函数的变分，£«1是任意给定的正常数，门(x)GM是可取函数，8为变分号。8U导致泛函的变化[xi,x2]△J=JU+5U}-JU}=jx2FL,U+5U^dx-jx2FL,U^dxx] x]xi=fx2xi=jx2F[x,U+5U]-F[x,U]jxi=fx2xidx竺8U+1a2F8U2+•.dU 2!dU2dx=jx2[竺8U]dx+高次项积分x1EuJ将式中的一次项，即泛函增量的线性主部定义为泛函的一阶变分— af八8J{U（x）}=jx2（—8U）dxxaU同理可定义二阶变分82JU(x)}=jx2(a2F8U2)dxxiau2应注意以上诸式中，是函数形式的变化引起泛函的变化，而自变量x没变。2.变分的计算规则变分的计算规则与微分的规则完全相似:8(U]+U2)=8U]+8U2

5(UU2)=U15U2+U25U1-LU25-LU25U1-U15U2)2kU2)5(Un)=nUn-15Ua作为不同的运算，算子5和ar可以互相交换运算次序:I8x)=5U=U-u=竺-空=—(U-u)=—(5U)

xxxI8x)同理：算符5和』办也可以交换运算顺序。3.变分问题反映在图形上，泛函是一族标注泛函值的曲线，这一族曲线对应的就是可取函数集反映在图形上，M。可以从图中来寻找使泛函取极值的极值曲[%，%]线，如：极大值曲线七⑴，使J«⑴}=吹；极小值曲线U配(x)，使J"a(x))=mn。与函数取极值相似，使泛函取极值的条件是泛函的一阶变分为零5JU(%)}=0x又称之为变分方程。亦可根据极值曲线的二阶变分判断极大或极小值：52JU(X)}<052J{Ui(X)}〉0泛函取极值是在实数范围内的说法，更一般而言，应称为泛函驻定，驻定条件是变分方程的解。解答中的待定系数需按边界条件来确定。于是，求解边值问题n变分方程+边界条件n称为变分问题2.3.2变分问题与Euler边值问题：1.简单泛函的变分方程

6JU(x)}=J七(竺6U)dx=0xQU

1从式中可知：函数变分6U=£^(x)，它的选择有其随意性，一般不为零。所以凡QF lt} qf_qu一°，必有6JU}=0成立；反之，凡6JU}=0，必有qu一°成立，亦即：变分8F方程等价于偏微分方程-qu一°。此偏微分方程就称为Euler方程，或变分方程的Euler方程。上述Euler方程，其边界条件，即未知函数的端点条件U(x)=a，U(x2)=b与该Euler方程一道构成边值问题，与之相对应的等价变分问题是：变分方程+边界条件。2.含二阶偏导数的泛函设多变量函数U侦)的泛函jUG)}=jfI,u,u",u",uff^dvv xxyyzz记函数的变分6U二四侦)，对一阶偏导数的变分6Ux=8^x，二阶偏导数的变分:6U"=8^"，6U〃=£门〃，6U"=8门”xxxx yy yy zz zz于是泛函的一阶变分QF+%6U〃dVQUzzzz」6JU(T)}=j QF+%6U〃dVQUzzzz」VQUQUxxQUyyL xx yydVQF QF 〃 QF h QF 〃dV n+ 门+ 门+ (QU QUxxQU〃lyy QU zxx yy zz=8jIQFv\8Un+Qx\.QU,txjQx[QUffjx-'xx7 'xx7QF一I nQyIQUffy-xyyQ|QFQy[dUQ|QFQy[dUrIyy+\dVQF

—, nQz[QU〃z

'zzQ QFL,[upzz=8』IQFv\dU^~QxQIQFQx[QU”'xxQ2(QFl]IQ

n,TQx2[qu"j QyxxQIQFQy[QU”vyyaFay2[au〃JvyyJ nazaz[au"Jzz—n""dVax2[au rraF—■exau〃n'*xzze也n'*e竺n'dV

yau〃yzau〃zryyzzaF*a2(aFi*a2|aF*a2auq{au1^J*寥[su^.xx yy、az2[auzzJdV+JV•何aF n'.au"zzzaF n'au"xxx(aF1 nax[au"Jxx(aF ,_n'k'yyyaIaF n"dVaz[au"JJ[zzyVUay[au”vyyaF*a2(aF、*a2(aF1*a2(aF、_auax2[对"Jxxay2[au〃Jvyy7az21*〃JzzdV=sjnV「 ，aF a*s£<「 ，aF a*s£<n' -n，xau〃xx虱质Jxx/aF a(aFn' -n——I yaun ayIau〃yyau''yyaFn'-nxau"zza(aF1

az[aunJzz/•-edS基于上述变换，变分方程5JU}=0与相对应的Euler定解问题:覆 a2覆 a2|aF)*Bay2[auyyJ*w[au^尸0zzaF aaF an' -n xau" ax[au"xx(勺-y[*yy刀aF an' -n yau" ayau”aF an'-nzau”zz等价。例：设已知二阶偏导致的泛函JU(r)}=<-V2U,U>—2<U,f>其中：u(r)是未知实函数，f(_)是已知实函数。按L2空间内积定义，泛函为其被积函数为FQ,U,U”,U”,U")=—UU"+U"+U"+xxyyzz xxyyzzdF '"+U〃+U〃+2f)=—C2U+2f)QU xxyydF QFdU" dU" dU”xx yy zz于是Euler定解问题为,n简化写为:—(V2U+2,n简化写为:—(V2U+2f)—U〃—U〃—U〃=—2(V2U+f)=0xxe-VnrU+v\Ux xxzz+^—^u+r|U‘e+(—nru+v\u\Le-(qvu—uvn)=0zznyVU=—f\(QU顷)reV¥一ufkQn Qn)res对上面的结果进行讨论：(一.乂可写为kQU—1u坐=竺+fu=o\Qn门dndn1 /(1)若在边界上U取为零值，则构成的变分问题，将等价于第一类齐次边界条件的Poisson边值问题。V2V2u=—freVuG)=0reSbb…… QU、(2)在边界上当门(r)。0，且U(F)。0时，形成第三类齐次边界条件-Qn+fU=0，则自由边界的变分问题(或称为无条件变分问题)与具有第三类齐次边界的Poisson边值的UG2UG2U+2f%V=03边界条件)V2U=—fon+fu=0由算例分析可得以下有益的重要结论:Euler边值问题所含第三类齐次边界条件(其中包括第二类边界条件)，已包含在泛函的变分方程中，它自然得到满足，所以又称之为自然边界条件Euler边值问题中的第一类边界条件，未能包含于变分方程之中，所以在变分问题应于单独反映，称为强加边界条件，该变分问题又称为条件变分问题一般而言，为保证解的唯一性，若无强加边界条件，至少也应确定位函数的参考点，实际上仍然以强加条件表示。所以，Euler边值问题应等价于条件变分问题由上面的分析可知可以用求解Euler边值问题来求解相应变分问题；也可以通过求解变分问题来求解Euler边值问题。2.3・3线性算子方程转化为变分方程前面所述问题的反问题：要从线性算子方程导出其等价变分方程。定理:设线性正算子A具有定义域DA和值域DA，Db是符合所给边界条件的函数集，则由已知函数fedauH和未知函数UedaaDbuH构成的确定性算子方程(A)AU=f(A)等价于泛函为极小值(驻定)的变分方程(B)JU}=<AU,U>-<U,f>-<f,U>=min[或写为：8,U'}=8"<AU,U>—<u,f>—<f,u>}=0]证明：任意选取已知函数门eDAADbuH(B)1.证明凡(A)式的解U必满足(B)式取V=U+门，由(B)式泛函为jV}=<aU+门)G+n)>-<u+n,f>—<f,u+n>=kAU,U>—<Uf>—<f,U>+<An,门〉+1<au,n>—<f,n>〕+LAn,u>—<n,f>]j^v}—jU}=<An,n>+LAu,n>—<f,n>]+1<An,u>—<n,f>]=<An,n>+<au—f,n>+<n,au—f>由算子方程和正算子的定义

<a丑,丑>>0i=j^v}—jM}=<An,n>>0 — 只要u满足(a*「. JM}=min成立2.证明凡(B)式的解U必满足(A)式i=j^v}-jU}limI=mini=j^v}-jU}limI=mina项=<Aar,an>+<AU一f,an>+<ar|,AU一f>>0(1)若取a=a是实数，应有I=a2<An,n>+a<AU—f,n>+a<n,AU—f>>0由内积定义<AU—f,n>和<n,AU—f>应为共轭复数，有a<AU一f,n>+a<n,AU一f>=2aRe<AU一f,n>(为实数)I=a2<An,n>+2aRe<AU一f,n>>0(2)若取a=ja为虚数，应有I=a2<An,n>—ja<AU一f,n>+ja<n,AU一f>>0I=a2<An,n>+2aI<AU一f,n>>0(3)由limI=min即：a—>0「 61 nlim=0aT06a按(1)和(2)有：6IJ2a<An,n>+2Re<AU—f,n>6a[2a<An,n>+2I<AU—f,n>6I 日lim=0即at06a.•.<au—f,n>=0Re<AU—f,n>=0i<.•.<au—f,n>=0由于门的任意取函数，一般不为零：AU—f=0nA