高中必记的基础知识

第一专题集合与常用逻辑用语一、集合1、集合间的基本关系集合A与B的所有元素都相同A=B2、集合的基本运算UAUABABA二、命题及其关系若则q互否q四、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1、命题pq（p且qpq（p或qp（非p）的真假判断。pqpqppq真真假假真假真假假假真真假假假真真假2、全称量词与存在量词（1并用符号“”表示。含有全称量词的命题，叫做全称命题。（2并用符号“”表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题。（3）含有一个量词的命题的否定命题的否定xMpx00xM,p(x)xM,p(x)00（4）一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：正面词语否定词语等于（）大于（）小于（）是）不是不都是正面词语至多有一至少有一任意的……个个有第二专题函数与导数一、映射1、映射定义：设A，B是两个集合，如果按照对应法则f，对于集合A中的任何一个元素在集合BA到集合B的映射，记作：f:AB。2、象与原象：如果给定的一个集合A到集合Ba,bBa与元素b对应，那么把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。二、函数1、函数的概念：如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f:AB就叫高考必记的数学基础知识第2页共24页做A到B的函数，记作：()，其中,。原象的集合A叫做函数yfxxAyByf(x)的定义域，象的集合C叫做函数()的值域。yfx2、函数的三要素：定义域，值域，对应法则3、函数的表示方法主要有：解析法、列表法、图象法4、两个函数能成为同一函数的充要条件是定义域与对应法则都相同5、求函数的定义域：（1）分式的分母不为0。（2）偶次根式的被开方数大于或等于0（考试经常考根式的被开方数大于或等于0）（3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1。（4）零次幂的底数不为零。三、函数的基本性质1、函数的奇偶性：奇函数：对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做奇函数；偶函数：如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。2、奇函数的图象是关于原点成中心对称图形；偶函数的图象是关于y轴成轴对称图图形。反之也成立。yf(x)x取定义域内的每一个值时，f(xT)f(x)都成立，那么f(x)是周期函数，T是它的周期。4、对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。若T是函数的一个周期，则nT(nZn也是函数的周期。5、函数的单调性设函数f(x)的定义域为I：I内某个区间上的任意两个自变量的值x,xxx1212时，都有f(x)f(x)，就说f(x)在这个区间上是增函数；12I内某个区间上的任意两个自变量的值x,xxx1212时，都有f(x)f(x)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。126、单调区间如果函数yf(x)yf(x)在这高考必记的数学基础知识第3页共24页一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做()的单调区间。在单调区yfx间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。7、利用函数的导数判定单调性设函数()()0f(x)在这个区间上为yfxfx增函数；如果()0，则f(x)在这个区间上为减函数。fx四、常见函数：（一）一次函数1、当>0时，一次函数在(,)上是增函数。yb当<0时，一次函数yb在(,)上是减函数。2、当b=0时，一次函数为奇函数。yb当0时，一次函数为非奇非偶函数。byb（二）二次函数1、二次函数的三种表示形式（1）二次函数的一般式为yaxbxc(a0)2（2）二次函数的顶点式为ya(xh)k(a0)，其中顶点为（hk），2（3）二次函数的两根式为ya(xx)(xx)(a0)，其中x,x是方程12122c0的两根。2、二次函数的重要结论：b4b2（1）当二次函数yaxbxc(a0)的顶点坐标为(,)；对称轴方22a4ab程为x。2ab（2）若a>0，则当x时，2a4b24a4b24ayy，此时值域为[,)b（3）若a<0，则当x时，2a4b24a4b24a，此时值域为(,]b（4）当a>0时，二次函数yaxbxc(a0)的增区间为[,)，减区间22a高考必记的数学基础知识第4页共24页b为(,]2ab（5）当<0时，二次函数yaxbxc(a0)的增区间为(,]，减区间22ab为[,)。2a（6）当b=0时，二次函数yaxbxc(a0)为偶函数；2（7）当0时，二次函数yaxbxc(a0)为非奇非偶函数。b2（三）指数函数1、指数的概念（1）指数的定义：形如aN，b叫做指数（其中a>0，1ab（2）指数的性质：aaa，aaa，(a)a。mnmnmnmnmnmn2、根式（1）根式的定义：式子a(n2,nN)，叫根式，这里n叫根指数，a叫做开n方数。（2）根式的性质：①(a)a(n2,nR)nn②当n为奇数时，aa（n2n为偶数时||（n2aannnn3、分数指数幂m（1）正分数指数幂的意义：aa（a0,m,nN,且n1）*nmn1mn（2）负分数指数幂的意义：a（a0,m,nN,且n1）*nam4、形如ya(a且a1)的函数叫指数函数。x5、指数函数的图象和性质a>10<a<1高考必记的数学基础知识第5页共24页yy11xOOx当x>0时，y>1当x<0时，0<y<1当x>0,0<y<1当x<0时，y>1（四）对数函数1、对数的概念：如果aN(a0,a1)，那么幂指数b叫做以a为底数N的对b数，记作：logN，其中a叫做底数，N叫做真数。a2、积、商、幂、方根的对数（M，N都是正数，a>0，且a1,n0（1）log(MN)logMlogNaaaaMN（2）loglogMlogNaa（3）logMnlogMnaa3、对数的换底公式及对数的恒等式。（1）aN（对数恒等式）Na（2）logannaN（3）N（换底公式）baab1（4）b。aab4、形如ylogx(a且a1)的函数叫对数函数。a5、对数函数的图象和性质：高考必记的数学基础知识第6页共24页yy11xOOxx>0,y当x=1时，y=0，即过点（1，0）R当0<<1时，<0当0<x<1时，y>0对函数ylogx的函数值的正负有如下结论，必须记住：a同向大于零，异向小于零。6、指数函数ya与对数函数ylogx(a且a1)互为反函数；它们的图象xa关于直线y=x对称。（五）幂函数1、函数yx(R)叫幂函数。2、幂函数的图象一定经过点（1，1）3、幂函数的图象一定经过第一象限；一定不经过第四象限。1yxyxyxyxyxyxyx，23132yx；是偶函数的是yx；定义域是R的是yx，yx，yx；定义域12231yx21是[0,)的是yxyxyx，；yx232是减函数的是yx。1五、函数与方程（一）函数的零点与方程的根的关系1、函数的零点（1）一般地，如果函数=f(x)在实数a处的值等于零；即f(a)0。则a叫做这个函数的零点。（2）对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：①当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；高考必记的数学基础知识第7页共24页②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。()()()的零点就是方程()()()的Fxfxgxfxgxyfx图象与函数()的图象交点的横坐标。ygx（二）二分法()()0的函数()，通过不断地把fafbyfx函数f到零点近似值的方法，叫做二分法。P90例2）六、导数（一）导数的定义：（二）导数的几何意义与物理意义：导数的几何意义：函数()在点x的导数f(x)()在点M(x,y)处的切yfxyfx0000线的斜率；导数的物理意义：物体的运动方程s=s(t)在t处的导数s(t)，就是物体在时刻t时的瞬时速度000vst()。0（三）求导数的方法：1、常用导数公式：（1）c0（c为常数）（2）(x)nx（nQ）nn111特别地：(x)3x(x)2x(x)1(322xx2（3）xx；（4）xx11（5）(lnx)（6）(logxlogexxaa（7）(e)ex（8）(a)alnaxxx2、两个函数的四则运算的导数：（1）[f(x)g(xf(x)g(x)（2）[f(x)g(xf(x)g(x)f(x)g(x)高考必记的数学基础知识第8页共24页f(x)g(x)()()()()fxgxfxgx（3）[gx(()g(x)（四）导数的应用1、函数的单调性：设函数()0()()0，fxfxfx则()为减函数。fx2、函数的极值：设函数f(x)在点x附近有定义，如果对x附近的所有的点，都有f(x)f(x)，000则f(x)是函数f(x)的一个极大值，记作：yf(x)；如果对x附近的所有0极大值00f(x)f(x)f(x)是函数f(x)yf(x)。00极小值0极大值与极小值统称为极值，极值与函数在端点的函数值中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。3、函数的最大值与最小值求最大值与最小值的步骤：设函数f(x)在（a，b）内可导，在[a，b]上连续，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求f(x)在（，b）内的极值；②将f(x)的各极值及f(a)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。第三专题三角函数与解三角形一、角度制与弧度制1①1的角：周角的称为1的角。oo360②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。③角的弧度数：如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值是|lr④角度与弧度的换算180180radrad()57.30ooo⑤设扇形的弧长为l，圆心角大小为（。则l||r，扇形的面高考必记的数学基础知识第9页共24页积为S11lr||r2。22（1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。（2）角的分类：正角：按逆时针方向旋转所形成的角；负角：按顺时针方向旋转所形成的角；零角：若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零角。（3）终边相同的角。所有与角终边相同的角（连同S|2,kkZ}或{|k360o,kZ}（三）任意角的三角函数1、初中三角函数的定义sin邻cos边2、常用的基础三角函数值：133===ooo223360=1sin60==3ooo2222=45==1ooo2231cos=32sin=tan=332313tan=63sin=cos=62623高考必记的数学基础知识第10页共24页22tan=14sin=42cos=423、任意角的三角函数三角函数正弦设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）,那么y叫做x叫做叫做的正切，记y＋－－＋一全正，二正弦，三正切，四余弦口诀（四）同角三角函数的基本关系：平方关系122sincostan商数关系注意：运用一个公式要注意三用！正用，逆用，变型用。其它公式也一样！（五）诱导公式四2(kZ)22sincossincoscossin函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限规律口诀：半变，整不变，符号看象限！论）1、正弦函数yx的定义域是R；值域是[－1,1]；y1，此时max高考必记的数学基础知识第11页共24页x2kkZ)；(2y1，此时x2kkZ()；奇偶性是奇函数；最小正周期为；单调2min增区间是[2k,2k](kZ)；单调减区间是[2k,2k](kZ)。22222yx的定义域是R[－1,1]y12()；xkkZmaxy1，此时xmin2k(kZ)；奇偶性是偶函数；最小正周期是；单调2增区间是,2)；单调减区间是,2)。kkkZkkkZ3ytanx的定义域是{x|x且xk,kZ}(,)；2奇偶性是奇函数；最小正周期是；单调增区间是(k,k)(kZ)。224、函数yAx)(A0,的最小正周期是T=；最大值是；最小值是－；相位是；初相是。x5、函数yAx)(A0,0)的最小正周期是T=；最大值是；最小值是－。6、函数yAx)的图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点。7、函数yAx)的图象与x轴的交点即为图象的对称中心。a8、若函数sincos)，则；。；。yaxbxa2b2xa2b2b。y，bTa2，最小正周期为aby222a2b2maxmina9、若函数yacosxbsinxabcos(x)，则22a2b2b。y，bTa2，最小正周期为aby222a2b2maxmin（七）图像变换：函数yAx)(A0,0)的图像可由函数yx作如下变换得到：高考必记的数学基础知识第12页共24页（1)0）yyxyx或向右（0）平行移动||个单位。（2）周期变换：))，把)图像上各点的xyxyxy1横坐标伸长（01）或缩短（1）到原来的（3）振幅变换：))，把)图像上各yAyxxyx点的纵坐标伸长（）或缩短（0<A<1）到原来的A（八）两角和与差的正弦、余弦和正切公式)sin)cossin)1sin2sincos22112sin22222tantan。1tan21cos21cos2重要变型：sin；cos222（九）正弦定理与余弦定理2abc1、正弦定理：在ABC中，2R（R为ABC外接圆的半sinAsinBsinC径）2、余弦定理：在ABC中（1）abcbcA222（2）bac2acB222（3）cab2abC222ba22c2a22（4）Acb2（5）B2高考必记的数学基础知识第13页共24页a2b2c2（6）C3、在ABC2中（1）ABC（2）)ABC（3）)ABC1114、SabsinCacsinBbcsinA222ABC第四专题数列一、数列的概念与简单表示法1、数列的概念a}n个数列的项。2、数列的通项公式如果数列a}的第n项与nn叫做这个数列的通项公式。3、数列的表示方法：列举法、公式法、图表法。4、数列的分类：（1）按项数可分为：有穷数列和无穷数列；（2）按相邻两项的大小可分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。5、数列的前n项和如果S是数列a}的前n项和，则Saaa。nnn12nS(n1)数列a}的前n项和S与a之间的关系是a。1SS(n2)nnnnnn1二、等差数列1、等差数列的定义若一个数列从数，则这个数列就叫等差数列。其中的常数叫等差数列的公差，它常用字母第二项起，每一项与其前一项的差等于同一个常高考必记的数学基础知识第14页共24页d表示。即定义的表达式为aad(nN)或aad(n2,nN)。**n1nnn12、等差数列的通项公式若数列a}为等差数列，则aa(nd。nn13、等差数列的前n项和n(aa)＝nan(n1)d若数列a}为等差数列，则前n项和S1n221nn4、等差数列的性质：ab（bA叫做a与b＝2（2）已知等差数列a}的公差为d，且第m项为a，第n项为a，则nmnaa(nm)dnm（3）在等差数列a}中，若，则aaaa。mnpqnmnpq三、等比数列1、等比数列的定义：若一个数列从第二项起，每一项与其前一项的比等于同一个常数，则此q公比定义的表达式为aq(nN)或aq(nnN)。n1a*n*ann12、等比数列的通项公式：等比数列a}的通项公式aaq。n1nn13、等比数列的前n项和：若等比数列a}的前n项和为S，公比为，当q=1时，Sna，当q1时，nnn1aq)aaqnSn＝。11n1q1q4、等比数列的性质：（1）若三个数，，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项，且Gab。（2a}的公差为qm项为an项为aaaqnmnmnnm（3）在等比数列a}中，若klmn，则aaaa。nklmn四、数列的求和及由数列递推公式求通项公式高考必记的数学基础知识第15页共24页1、数列求和的方法有公式法；裂项相消法；分组（并项）求和法；错位相减法；倒序相加法等。2、由数列递推公式求通项公式一般有累加、累乘等方法。第五专题平面向量一、平面向量的的概念及其线性运算1、向量的有关概念：（1）既有大小又有方向的量叫做向量，一般用a，b，c，……来表示，或用有AB记作|AB|。（2）长度为0的向量叫做零向量，记作0；零向量与任一向量平行；长度为1的向量叫做单位向量。（3）方向相同或相反的非零向量叫做平行（共线）向量。（4）长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。2、向量的加法与减法（1）向量的加法：设a，b，则向量叫做a与b的和，记作ab，即ab。向量的加法有“三角形法则”和“平行四边形法则”两种。BCCbbABOaAa特点：首尾相接（2）向量的减法与向量a长度相等，方向相反的量，叫做a的相反向量，记作a，向量a与向量b的相反向量b的和，叫做向量a和b的差，记作ab。高考必记的数学基础知识第16页共24页A特点：起点相同，两向量的终点相连，指向被减向量的终点。abaBbO3、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，规定如下：（1）|aa；（2）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反。a与b，使ba。4、平面向量基本定理：若e，e是同一平面内的两个不共线向量，则对此平面内的任一向量，则对此12平面内的任一向量a，有且只有一对实数，，使aeee；其中，1211221e是一组基底。2二、平面向量的坐标的表示1、平面向量的坐标：向量可以用如图以原点为起点的向量的终点Aa(x,y)y）aOx2、平面向量的坐标运算：（1）若a(x,y)，b(x,y)，则：1122高考必记的数学基础知识第17页共24页ab(xx,yy)，ab(xx,yy)，a(x,y)1212121211（2）若(x,y)，B(x,y)，则(,)xxyy11222121（3）重要结论：a∥bxyxy01221a⊥bxxyy01212三、平面向量的数量积1、两个向量的夹角设有两个非零向量a、b，则它们的夹角的范围是[0,]。2、平面向量数量积的定义：设有两个非零向量a、b，则ab|a||b|叫做向量a与b的数量积；规定0a0。3、平面向量数量积的坐标表示：若(,)，(,)，则axybxy1122abxxyy12124、与平面向量的数量积有关的结论：abab（1）⊥0（2）aa|a|。2（3）若a(,)，则|amn。22高考必记的数学基础知识第18页共24页ab（4）cos|a||b|xxyy(,)，(,)，axybxyabxxyycos。121211221212yxyx21222221第六专题平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率1、直线的倾斜角：①定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角。②结论：直线与x轴平行或重合时倾斜角为0o倾斜角的范围是[0,180)。oo2、直线的斜率：①倾斜角不是的直线，其倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，常用k表示，o即ktan90)o注：倾斜角为的直线，斜率k不存在!o0k020k2②公式：若直线l经过两点P(x,y)，P(x,y)(xx)，则l的斜率11122212yykxx)12xx1221二、直线方程1、直线方程：高考必记的数学基础知识第19页共24页①点斜式：已知条件：(x,y)为直线上一定点，k为斜率11方程形式：yyk(xx)11适用范围：与x轴不垂直的直线②斜截式：已知条件：k为斜率，b是直线在y轴上的截距方程形式：yb适用范围：与x轴不垂直的直线③两点式：已知条件：(x,y)，(x,y)是直线上两定点1122方程形式：yyxx（xx，且yy）11yyxx12122121适用范围：与x轴，y轴都不垂直的直线④截距式：已知条件：在x轴、y轴上的截距分别为a,b（0）abxy方程形式：1ab适用范围：与x轴和y轴都不垂直的且不过原点的直线⑤一般式：已知条件：A、B、C为系数方程形式：C0适用范围：所有的直线2、线段的中点坐标公式：xxyy设A(x,y)，B(x,y)，则线段AB的中点M的坐标为(,)。2121221122三、两条直线的位置关系及距离公式1、两直线的位置关系：平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况。①对于两条直线l:ykxb，l:ykxb。111222l∥lkk且bbl⊥lkk11212121212②对于两条直线l:AxByC0，l:AxByC011112222l⊥lAABB01212122、两条直线的交点：两条直线l:AxByC0，l:AxByC011112222如果两条直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的解；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l和l的交点，12高考必记的数学基础知识第20页共24页因此，l和l是否有交点，就看l和l构成的方程组是否有唯一解。12123、有关距离：（1）两点间的距离：条件：P(x,y)、P(x,y)是平面上的点：111222公式：|PP(xx)(yy)22122121特殊情况：①条件：O（0，0）是原点，(,)是平面上的任一点Pxy公式：|xy22②x轴上的两点间的距离和与x轴平行直线上的两点间的距离公式为：|PP|xx|1221③y轴上的两点间的距离和与y轴平行直线上的两点间的距离公式为：|PP|yy|1221（2）点到直线的距离：|C|点P(x,y)到直线l:AxByC0的距离d。00AB0022（3）两平行直线的距离：若l、l是平行线，求l、l距离的方法：求一条直线上一点到另一条直线的距1212离。四、圆的方程（一）圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆；其中定点是圆心；定长是半径。（二）圆的方程：1、圆的标准方程：圆的标准方程为(xa)(yb)r；222其中圆心为（a。特殊情况：圆心为原点，圆的标准方程为：xyr2222、圆的一般方程：圆的一般方程为xyDxEyF0（DE4F0）2222DE1(,)；半径为DE4F22222高考必记的数学基础知识第21页共24页已知二元二次方程xyDxEyF0。22DE①若方程表示圆，则须满足DE4F0，此时圆心为(,)；半径为222212DE4F；22②若方程表示一个点，则要满足DE4F022③若方程表示的图形不存在，则要满足DE4F022三、点P(x,y)与圆(xa)(yb)r的位置关系：22