初中数学重点梳理：关于二次函数及拓展

二次函数知识定位.知识梳理、222)122222222）b2a当h22当当hk22当h2k2xk个2k2当22x2k2当当564b2bb2a2a，4ax2bb若2a随x2axbb2a2a随xx2ybxxxx是21212．212a||xx当x当xx2x）12例题精讲AB21CA2）2222DC256122x222axx的2）x2Cx2当x取x2当x取x2和xax2x356）222b）2222个个个个b2a得由22由得cb2222b222223【题目】若二次函数y2x得256c1,c1,即abc0ab1.2b2abbmnxx2m2mn．xxx0x0x．21212则xxx212xx1212又x即）xx21212122mm被40或m被40或222m或m22561,3,5,2,4,6,mmmmmmn0,n2,n6,n0,n3,n8.与x22xx过22点14x2当xxx212当xxx212过2x为2当P1411xx224456141将411xx2244141AAAxABABABx21231122332为BBBABAA1232213AAA123211xxAAA221232221x222123256AAA1231119AB=AB=AB==．2221122332222AA131kbk229∴32bkb23AA．13235=．22251AB=．222222AAA12311119AB==AB=AB==．22211223322222由已知可得AB∥AB，331111195B=ABB（+．211332222251AB=．222222设A、A、A1231则AB=21121AB=nB=122222332设直线AA131(nkb(n(n1kn122∴132bn21(nkb(n(n122213AAn+．213225613132n+=n2222221311AAB=n-n．2222222222设AAA1231则AB=21121AB=n22221AB=2332ABAB，11331=ABB）211332111==[1）2222213n．2221311AB=nn．22222222222当2C23k56kCLLOxL12xLC1+3233kkL332333x3xa则=3，a11即O，1122又OOO）21121221OO3．12OAOA1OBOB1又=32C5633yx,2y3x.即x-3xx．2AB1]，222x│x）x22ABABAB33L为y=3．122求3LL3x611与y=3x2与x2xByxEA点Px56xBx与x222Cx21∴21∴2x或x22y50|x|2Exyxy=．000005．2①点Ey22000125x`yx6x0y150得②02∴05xx4x0y`2040000E15E，2456121mn5m∴243mn0n213，12221P2③点E25yx④x2002000xx4x320003yx+x，2000212P沿A1Q沿B56DtQ2Qtt长的一半，这时，直线PQt3设434是x3．3x+23Q在43m，222456886555当Q在Q3则Q．513=，251=S2131225222t当Q在11S=．22ttyax2bxcB作3x561P向AQC为tt①求S与t②当t③tyCB4Q321OPAx0-1-2-3图4yax2bxc3ab0∴ab3c03433,b.,c0a33x243∴y.x33过点B作x则3由BEAE3Q.tty3Q作xt，21CB∴2Q56OPx13(4t)t223t23t.4Qt3t.13(4t)3t23.22t33S∵t23tt2)3.2443当.30t43t232tS3∵，02∴S随着t3∴当3.223tS2t3.③Q，tt4∴t.341023∴P((,11333Q和是tt=，tt∴t5255∴P((,2322256A与x20y（1）求经过，，D三点的抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CEA相切；（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．1，2把B（0，4（﹣，（﹣80）代入得：解得∴经过，，D三点的抛物线的函数表达式为：y=x+x+4；（2）∵y=x+x+4=（x+5）﹣，22∴E（﹣，﹣56设直线CE的函数解析式为，直线CE与y轴交于点，则解得．∴y=x+，在y=x+中，令x=0，y=，∴（0，如图1，连接，AC，则BG=OB﹣OG=4﹣=，CG===，∴BG=CG，AB=AC，在△ABG与△ACG中，∴△≌△，∴∠∠，∵⊙A与y轴相切于点（0，4∴∠ABG=90，∴∠∠ABG=90°∵点C⊙A上，∴直线CE与⊙A相切；（3）存在点F，使△BDF面积最大，如图2连接，BF，，设Ft，t+t+456过F作FN∥y轴交BD于点N，设直线BD的解析式为y=kx+d，则，解得．∴直线BD的解析式为y=x+4，∴点N的坐标为（t，t+4∴FN=t+4﹣（t+t+4=﹣t﹣，22∴S=S+S=•FN=（﹣t﹣）2=﹣t﹣﹣（t+4），22∴当t=﹣4时，S最大，最大值是16，当t=﹣4时，t+t+4=﹣，2∴F（﹣，﹣256点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，切线的判定，三角形面积的求法，勾股定理，根据题意正确的画出图形是解题的关键．习题演练xx2）AaCc2256BCc）．222222），22222222a）c．22222aa2222ac22y和yx561x+255c20,abc39,100abc48.1551x+255751x+2557当54．774477563xmx224112=33xmxxx，22121243xxxm212124xx，12112由=3yx．112112xx2xx3=，=，312xx2112m2故=，33m24交xy22P到Pxx562将x2b2ax2P∵CPxxx1221x21x2将x2得2r2117117r=r=2256117117当rr=r=2122117117或．22DDD与y4xB与．CP（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；（2）证明∠ACO=∠；（3）探究是否存在点，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．1DD与y04∴点D的纵坐标是，又∵点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，∴4=，56解得x=5，故点D的坐标是（，4如图1，过点D作DEx轴，垂足为E，连接，，在RT△DAE中，，DE=4，∴AE==3，∴OA=OE﹣AE=2，OB=OA+2AE=8，∴（2，0（8，设抛物线的解析式为（x﹣2x﹣8C（04∴a（02﹣8），解得a=，∴抛物线的解析式为y=﹣x+4．（2）如图2，连接AC，在RT△AOC中，，CO=4，∴tan∠ACO==，在RT△BOC中，，CO=4，∴tan∠CBO==，∴∠ACO=∠．（3）∵（，0（，4∴直线BC的解析式为﹣x+4，如图3，分别过点，P作QF⊥x轴，⊥x轴，垂足分别为F，，56设P（，t2﹣t+4①：AP=1：4，则易得（∵点Q在直线﹣x+4上，，∴﹣+4=，整理得t﹣﹣36=0，解得t=4+2，t=4﹣2，12∴P（4+2，﹣P4﹣2，11+12②：AP=2：4，则易得（∵点Q在直线﹣x+4上，，∴﹣•+4=，整理得t﹣﹣12=0，解得P=4+2，P=4﹣2，34∴P（4+2，5﹣P（﹣2，5+34③：AP=3：4，则易得（∵点Q在直线﹣x+4上，，∴﹣•+4=，整理得t﹣﹣4=0，解得t=4+2，t=4﹣2，56∴P（4+2，3﹣P（﹣2，3+5656综上所述，抛物线上存在六个点P，使Q为线段AP的三等分点，其坐标分别为：P（4+2﹣P（4﹣211+P（425+P（4+23﹣P（4﹣23+P（4+25﹣123456点评：本题主要考查了二次函数的综合题，涉及双曲线，一次函数，三角函数及二次函数的知识，解题的关键是分三种情况讨论求解．二次函数拓展知识定位.知识梳理a0)yxyaxbxc(a,b,c2yaxbxc24b2byaxh2，khk.2a4a①aa0当a0当ayxhyx0.a4acb22byaxbxcax2，2a4a56b4b2（，b.2a）x2a4ayh,kxh.axhk2yaxbxca,b,cax2aya2axbxcb和ay2xb2a①b0yb0a、by0a、by②③abaaxbxccy与y2当x①c0②c0y0ycyaxbxc与yc2③c0yyb0.ayyaxbxcx、y2axhk2xx、yaxxxx.x211256yyaxbxcc2与抛物线yaxbxc有且只有一个交点（2）与y轴平行的直线xh2(h,ahbhc2xyaxbxc2xx、x12bxc0xax20xx0xx0x02kaxbxck2yaxbxca0ykxnk0lG2ykxnyaxbxc2l与Gl与Gl与Gaxbxc（6xy与x为2Ax0Bx0x、xaxbxc021212bcxx,xx12a12ab2c4xxaab2xxxxxx2212121212aa例题精讲561(xq与(+()2x25423431111+=+313423=32．x22x2211322x2332时2pp(x)q(x=24，22p24－p32==3且32，4．4232232=333－2．35上234．34f(x3x6－xx424210(x3x6－xx4242=x4xx－x2x1x422422=(x－x+(x222222(x)及。2x)x22P56,2yx1yx113yx1,3x137,6，y1937,181371937，618(3。22f(x3x6－xx1042425【题目】对于给定的常数、q(0,1)，pq1，p21，试求函数q2f(x)x)pxxqx)（1qxp22221f(x)pq)(pq)]222f2(x)(1x)(px)x[q(1x)]2222222xx)(px)[q(1x)]2222(1x)(px)x[q(1x)]222222x(1x)[(px)q(1x)]2222x(pq1)xp2222q1)2(pq)2p2(xp22222256pq1122(x)pq)(pq)]222241pq)(pq)]22，4pxq(1x)，2222pq122即x21f(x)pq)(pq)]2225x23x10)()1f、ff，，f(x)f(x)x4x4.2解1f(x)ax2bxcbc(2)a2abc2abc1a)b()20c22），3,1,7ab2c3(4)a)b()03ab1221-2）a1,b4,c4.3f(x)x4x4.256解2由f1f(x)a(xxm)1a(mam1a(m)1a2m)1a(mam1a(a(2)21,3,a()[a(m)220）224aam10a()[a(m)0）222aam10(4)a1,m3.3f(x)x4x4.21x2x12x12xx1）22xyx1）22x1x12x56axx221,a1,当时a1a,或3,当a时,a2,当a.a21a2(a22），2a2a21a23．a2a21a23aa2a21x取a2a21a2a21a2a21xa2a21故x=a2当22当a22又yy12且a取y2y，此时x取2或3；12取y1561,a1,当时a1a,a或3,当a时,a2,当a.x21axaxx0x221261．33122a把ta1b,22(aa2bxx,a2a112a6.a2a1xx12x212a2ba-22222635a-223135）+）+2224656x）xx）31212121x·a2aa22．a12a2a2122a222aa222a2a22a22当t22a1∴．7261t=20点为轴正半轴上一点，，两点关于轴对称，过点任作直线交抛ABxAyA2物线y于，两点.PQx23（1）求证：∠ABP=∠ABQ；（2）若点01=60º，试求所有满足条件的直线PQ的函PBQA数解析式.56y3x13解：（1）如图，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，.PQyCDAtt设直线PQ的函数解析式为,并设，的坐ykxtPQ标分别为（x，y（，.由xyPPQQ，2yx，32得，x2t0332于是，即.xxttxx23PQPQ2222xtPxxxx(xx)22BCyBDytx于是3323232PPQPPQ.PPt2xxtxxxx(xx)22QQ3333QQPQQQP又因为xx，所以BCPC.BDQDPQ因为∠BCP∠BDQ，所以△BCP∽△BDQ，90故∠ABP=∠ABQ.（2）设，PCaDQb，不妨设≥>0，由（1）可知ab∠ABP=∠，ABQ30=BCa，BD=，b所以因为AC=，AD=2.a2b∥PCDQ，所以△ACP∽△ADQ.a2PCAC，即a于是，DQADb2b所以ab3ab．5633323xxt23由（1）中，即，所以，abab，22PQ于是可求得ab3.3代入y2，得到点的坐标（，）.31将bQ3x22223再将点的坐标代入1，求得.ykxQk33所以直线PQ的函数解析式为yx1.31xDCD（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．1，56将B点坐标代入函数解析式，得（5﹣）a﹣，2解得a=．故抛物线的解析式为y=（x﹣1）1；2（2）由勾股定理，得OA=1+1=2，OB=5+3=34，212222AB=（5﹣1）（3+1）=32，222OA+AB=OB，222∴∠OAB=90°，O到直线AB的距离是OA=；（3）设M（，ba，0）当y=0时，（x﹣1）﹣1=0，2解得x，x=﹣，12（3，0﹣a．①当△MND∽△OAB时，=，即=，化简，得4b=a﹣3①M在抛物线上，得b=（﹣1）﹣1②2联立①②，得解得aa﹣2，b=，12M（﹣2，1当△MND∽△BAO时，=，即=，化简，得b=12﹣4a③，联立②③，得解得aa﹣17，b=12﹣4（﹣17=80，1256M（﹣，802M2，﹣）CD，且=Ox﹣x+．2（1）求证：△∽△ODE；（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：；（3P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足⊥，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．1，∴∠BDE=∠BCE=90，∵∠BAD=90°，∴∠EDO+∠BDA=∠∠DAB=90°，∴∠EDO=∠，且∠EOD=∠BAD=90°，56∴△∽△ODE；（2）∵=，∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，∴CE=DE=5x，∴AB=OC=CE+OE=8x，又∵△∽△ODE，∴==，∴DA=6x，∴BC=OA=10x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE=BC+CE，222即（5）=（10x）+（），解得x=1，222∴OE=3，OD=4，，AB=8，OA=10，∴抛物线解析式为﹣x+x+3，2当x=10时，代入可得y=，∴AF=，BF=AB﹣﹣=，在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF===，∴BF=DF，又M为△BDE斜边上的中点，∴MD=MB，∴MF为线段BD的垂直平分线，∴MF⊥BD；（3）由（2）可知抛物线解析式为﹣x+x+3，设抛物线与x轴的两个交点2为M、，令y=0，可得﹣x+x+3，解得﹣4或x=12，2∴M4，0（12056过D作⊥BC于点，如图所示，则DG=DM=DN=8，∴点、N即为满足条件的Q点，Q400O顺（1）求、、C三点的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形BOC重叠部分△OD的面积；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．56x，2xx12当x=0y=3，则（，3（2）四边形ABOC为平行四边形，∴AB∥，AB=OC，而C（﹣10A（，∴（1，）∴OB==，S=×3×1=，又∵平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形，∴∠∠OC，OC=OC=1，又∵∠ACO=∠，∴∠∠OC．又∵∠COD=∠，∴△C∽△，∴=（）=（）=，2∴S=×=；C′（3）设M，﹣m+2m+30＜＜3，2作MN∥y轴交直线于N，易得直线的解析式为﹣x+3，则N（，﹣∵MN=﹣m+2m+3﹣（﹣）=﹣m+3m，22∴S=S+S′MNA′56=MN•3=（﹣m）2=﹣m+m2=﹣（﹣）+，2当m=时，SMA60BD为EC2．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以、、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．56600∴解得∴抛物线的解析式是：﹣x2﹣x+8．（2）如图①，作DM⊥抛物线的对称轴于点M，，设G点的坐标为（﹣1n由翻折的性质，可得，∵（4，0（0，D为BC的中点，∴点D的坐标是（，4∴点M的坐标是（﹣4DM=2﹣（﹣1），∵（4，0（0，∴BC==4，∴，在Rt△GDM中，32+4﹣n2=20，解得n=4±，∴G点的坐标为（﹣1，4+）或（﹣1，﹣56（3）抛物线y=ax+bx+8的对称轴上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为FCDEF平行四边形．①当∥EF，且点E在x轴的正半轴时，如图②，由（2D的坐标是（24，设点E的坐标是（c，0F的坐标是（﹣1，解得∴点F的坐标是（﹣1，C的坐标是（1，②当∥EF，且点E在x轴的负半轴时，如图③，，由（2D的坐标是（24设点E的坐标是（c，0F的坐标是（﹣1，解得∴点F的坐标是（﹣1，﹣4C的坐标是（﹣3，056③当CE∥DF时，如图④，，由（2D的坐标是（24设点E的坐标是（c，0F的坐标是（﹣1，解得∴点F的坐标是（﹣1，C的坐标是（30综上，可得抛物线+bx+8的对称轴上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行FCDEF四边形，点F﹣11）习题演练9x329x256x22u222即u3．22933xuyx294x256119．4yay=y|222x1213且y2222131当2229-．4y=y|x12a与x0）yDC（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点BAP为边作等边△APQ（点Q在xP在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为SP的运动时间为tS与t之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以MA为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．56【解析】）∵抛物线2+bx+经过（﹣3，0（1，）两点，∴，解得∴抛物线解析式为y=﹣2﹣则D点坐标为（﹣，x+；（2）∵点D与A横坐标相差1，纵坐标之差为，则tan∠DAP=，∴∠DAP=60°，又∵△APQ为等边三角形